Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Матрицы как преобразования плоскости

Краткое содержание

В этом уроке каждая матрица с двумя строками и двумя столбцами истолковывается как преобразование плоскости, а именно то, которое переводит каждый вектор v⃗\vec{v}, записанный в виде столбца, в вектор Av⃗A\vec{v}. Доказывается, что такие преобразования суть в точности линейные и что каждое из них определяется образами двух базисных векторов, которые являются столбцами его матрицы. С помощью этого принципа находятся матрицы поворотов, проекций и отражений относительно прямых, проходящих через начало координат, гомотетий и сдвигов. Доказывается, что композиция преобразований равносильна умножению их матриц, откуда вытекают сложение углов двух поворотов, тот факт, что композиция двух отражений есть поворот на удвоенный угол между их прямыми, и то, что отражения, вообще говоря, не перестановочны. Определитель истолковывается как множитель, на который преобразование умножает площади, со знаком минус, когда оно меняет ориентацию, а биективные преобразования характеризуются как преобразования с ненулевым определителем. В конце поворот осей в общем уравнении второй степени переписывается в матричной форме.

Цели обучения

  1. Узнавать в матрице линейное преобразование плоскости и находить матрицу преобразования по образам базисных векторов.
  2. Записывать и выводить матрицы поворотов, проекций, отражений, гомотетий и сдвигов и описывать геометрически действие данной матрицы.
  3. Доказывать, что композиции преобразований соответствует произведение матриц, и применять это к композиции поворотов и отражений.
  4. Истолковывать определитель как коэффициент изменения площади и ориентации, решать, когда преобразование обратимо, и записывать с помощью матриц поворот осей в уравнении второй степени.

Матрицы как преобразования

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» о векторах на плоскости вектор был определён как упорядоченная пара действительных чисел, а в уроке о матрицах и операциях над матрицами было определено произведение одной матрицы на другую, строка на столбец. Если пару (x,y)(x, y) записать в виде столбца, то есть в виде матрицы с двумя строками и одним столбцом, то матрица AA с двумя строками и двумя столбцами может умножить её, и в результате получится другой столбец из двух элементов, то есть другой вектор. Тем самым каждая матрица перемещает точки плоскости, и алгебра матриц приобретает геометрический смысл. В дальнейшем мы отождествляем пару (x,y)(x, y) со столбцом с элементами xx и yy и называем e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0) и e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1) базисными векторами, так что всякий вектор записывается в виде v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2.

Преобразованием плоскости называется функция, которая сопоставляет каждому вектору плоскости другой вектор плоскости. Если AA есть матрица с двумя строками и двумя столбцами, то преобразование с матрицей AA сопоставляет каждому v⃗\vec{v} произведение Av⃗A\vec{v}.
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

Например, матрица с элементами 22, 00, 00 и 33 переводит точку (x,y)(x, y) в точку (2x,3y)(2x, 3y): она растягивает плоскость вдвое в горизонтальном направлении и втрое в вертикальном. Преобразования с матрицей обладают свойством, которое отличает их от прочих функций на плоскости и которое выражается таким определением.

Преобразование TT плоскости называется линейным, если оно сохраняет сумму векторов и умножение вектора на число: для всех u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} из плоскости и всякого действительного числа tt выполняются два равенства, приведённые ниже.
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
ТеоремаСтолбцы матрицы

Всякое преобразование с матрицей линейно, и столбцы его матрицы являются образами базисных векторов: первый столбец есть образ e⃗1\vec{e}_1, а второй есть образ e⃗2\vec{e}_2. Обратно, всякое линейное преобразование плоскости есть преобразование с единственной матрицей, а именно с той, столбцами которой служат T(e⃗1)T(\vec{e}_1) и T(e⃗2)T(\vec{e}_2).

Используются дистрибутивность произведения матриц и его согласованность с умножением на число, доказанные в уроке о матрицах и операциях над матрицами. На рисунке прослежено преобразование с матрицей AA со столбцами (2,1)(2, 1) и (−1,1)(-1, 1).

Доказательство

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    Пусть AA есть матрица, а TT есть её преобразование. Дистрибутивность и согласованность с умножением на число дают оба условия линейности; на рисунке параллелограмм, построенный на u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}, переходит в параллелограмм, построенный на их образах.

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    Вычислим образ e⃗1\vec{e}_1: при умножении строки на столбец от каждой строки матрицы AA остаётся только первый элемент.

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    Точно так же в образе e⃗2\vec{e}_2 остаётся только второй элемент каждой строки.

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    Пусть теперь TT есть произвольное линейное преобразование, и пусть AA есть матрица, столбцами которой служат T(e⃗1)T(\vec{e}_1) и T(e⃗2)T(\vec{e}_2). Запишем v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 и применим линейность; по двум предыдущим вычислениям, T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1 и T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2. На рисунке сетка плоскости переходит в сетку из параллелограммов.

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    Если бы другая матрица BB тоже удовлетворяла условию T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v} для всякого v⃗\vec{v}, то столбцы матрицы BB, равные Be⃗1B\vec{e}_1 и Be⃗2B\vec{e}_2, совпали бы со столбцами матрицы AA; значит, матрица единственна.

Теорема сводит изучение линейного преобразования к изучению двух векторов: чтобы знать матрицу, достаточно знать, куда переходят e⃗1\vec{e}_1 и e⃗2\vec{e}_2, а чтобы знать, что делает матрица, достаточно прочитать её столбцы. Из линейности вытекает ещё несколько геометрических свойств. Начало координат остаётся неподвижным, поскольку A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}; поэтому параллельные переносы, которые сдвигают начало координат, не линейны. Прямая с векторным уравнением p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d}, изученная в уроке курса I о векторах, переходит в множество точек Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d}, которое является прямой, если Ad⃗A\vec{d} не нулевой, и одной точкой, если он нулевой. Точно так же отрезок переходит в отрезок или в точку, параллельные прямые переходят в параллельные прямые или в точки, а квадрат с вершинами 0⃗\vec{0}, e⃗1\vec{e}_1, e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2 и e⃗2\vec{e}_2, который мы будем называть единичным квадратом, переходит в параллелограмм, возможно вырожденный, построенный на двух столбцах матрицы.