Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Итоговый обзор курса «Математический анализ I»

Краткое содержание

Эта запись не очередной урок, а итоговый обзор курса: она напоминает семь учебных целей, которые учебный план поставил в начале, показывает на одном рисунке, к какой из них отнесён каждый урок каждого раздела, объясняет, как прорабатывалась каждая цель на протяжении трёх содержательных разделов, отличает цели, у которых есть собственный раздел, от нитей, проходящих через все три, и от целей, проходящих через весь курс, учит читать самопроверку по целям, которая сводит первую попытку итоговых проверок, и указывает, что курс оставляет курсам «Математический анализ II» и «Математический анализ III».

Цели обучения

  1. Формулировать семь общих целей курса и узнавать, в каких разделах и на каких уроках прорабатывалась каждая из них.
  2. Отличать цели, у которых есть собственный раздел, от целей, проходящих через несколько разделов, таких как полнота и приближение, и от целей, проходящих через весь курс, то есть дедуктивного рассуждения и моделирования, и объяснять, как отрабатываются эти последние.
  3. Объяснять, как определение предела и аксиома полноты поддерживают, через производную и теорему о среднем, то, что курс знает о форме функции, и что курс оставляет курсам «Математический анализ II» и «Математический анализ III».
  4. Решать на основе самопроверки по целям, рисунка и задач повышенной трудности каждого урока итогов, какие разделы и какие уроки стоит повторить перед переходом к курсу «Математический анализ II».

Что курс ставил своей целью

К математическому анализу привели три старые задачи: скорость движущегося тела в данный момент, наклон касательной к кривой и площадь криволинейной фигуры. Курс взял первые две, которые ведут к производной, и возник с общей целью: обосновать дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной на определении предела и аксиоме полноты и вывести из них, с полными доказательствами, то, что производная позволяет узнать об изменении, о форме и об экстремумах функции. Урок об учебном плане развернул эту цель в семь общих учебных целей, которые полезно иметь перед глазами в той нумерации, в которой их называет рисунок:

  1. Доказывать посредством явного дедуктивного рассуждения: записывать определения как утверждения с кванторами и строить их отрицания, рассуждать на языке эпсилон и дельта, выводить теоремы существования из аксиомы полноты, показывать контрпримерами, что условие не лишнее, и различать выведенное и принятое.
  2. Определять и вычислять пределы конечные, односторонние, на бесконечности и бесконечные, раскрывать неопределённости, в том числе по правилу Лопиталя, и находить с их помощью асимптоты и график функции.
  3. Решать вопрос о непрерывности функции, классифицировать её точки разрыва и применять теоремы Больцано, о промежуточном значении и Вейерштрасса, которые опираются на аксиому полноты.
  4. Определять производную, характеризовать её через линейное приближение и через разложение Каратеодори, доказывать её правила и дифференцировать с их помощью функции всевозможных видов, уточняя область определения каждой производной.
  5. Доказывать и применять теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши и исследовать с их помощью монотонность, экстремумы, выпуклость, перегиб и кривизну графика.
  6. Вычислять приближённо значения и корни с помощью дифференциала, деления отрезка пополам и метода Ньютона-Рафсона, оценивать погрешность каждого приближения и распознавать, когда метод не срабатывает.
  7. Моделировать с помощью производной скорости изменения, связанные скорости изменения и задачи оптимизации и излагать письменно постановки, вычисления и доказательства.

Каждый урок курса заявил, кроме того, свои частные цели. Уроки не говорят, какой общей цели служит каждая из них; это соответствие есть прочтение извне, выполненное тем же методом, что и в других курсах сайта. Каждая частная цель относится к одной главной общей цели и, если она их затрагивает, к другим, второстепенным; каждая засчитывается целиком в своей главной и наполовину в каждой второстепенной, а урок связывается как с главной с той общей целью, которая набирает наибольший вес, и как со второстепенными с остальными, получившими какой-либо вес. Если две цели набирают поровну, решает цель с меньшим номером. Цели введений, которые лишь описывают путь раздела, ни к какой цели не относятся. Уроки итогов следуют критерию, общему для всех математических курсов сайта: их главная цель есть цель 1, потому что их ядро восстанавливает дедуктивную цепь раздела. Наконец, у урока о задачах оптимизации главной является цель 7, хотя с небольшим перевесом правило дало бы цель 5, потому что его заявленный предмет есть постановка: перевести задачу на язык математики, зафиксировать область определения и обосновать, что найденное значение является наибольшим или наименьшим на всей области. Если это так, весь курс принимает форму хребта: голова есть общая цель; столб есть порядок разделов, каждый со своим отделом; каждый урок есть узел этого отдела, связанный со своей главной целью, а семь целей парят вокруг столба, опираясь на питающие их уроки.