Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Аналитическая геометрия на плоскости: итоги и задачи

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел, посвящённый аналитической геометрии на плоскости. Он соединяет в одну дедуктивную цепь то, что было доказано в девяти уроках раздела, от формулы расстояния до теоремы о вершинах в линейном программировании; показывает, как раздел опирается на предыдущие разделы, в частности на выделение полного квадрата, дискриминант и таблицы знаков, и как он готовит следующий раздел, трансцендентные функции которого снова описывают гиперболу. Затем он предлагает итоговую проверку, параллельную входной, и заканчивается десятью задачами повышенной трудности, более сложными, чем предложенные задачи уроков, которые требуют сочетать несколько уроков и в каждом случае найти идею, открывающую путь.

Цели обучения

  1. Формулировать основные результаты раздела и объяснять, как каждый из них зависит от предыдущих.
  2. Связывать методы раздела с методами предшествующих разделов и с методами следующего раздела.
  3. Решать задачи, в которых сочетаются прямые, векторы, конические сечения и неравенства, выбирая среди метрического определения кривой, её уравнения и дискриминанта наиболее действенное средство.
  4. Переводить условия минимума, касания и геометрического места точек в уравнения и проверять, что полученное уравнение описывает в точности искомое множество.

Чего достиг раздел

Координаты, прямая и векторы

Раздел начался с одной-единственной идеи: отождествить каждую точку плоскости с парой её координат. Из этого следовало, в уроке об уравнении прямой, что расстояние между двумя точками есть следствие теоремы Пифагора и что угловой коэффициент прямой не зависит от точек, по которым он вычисляется, в силу подобия треугольников. Эти две теоремы вместе со свободным выбором осей, равенством соответственных углов при параллельных прямых, суммой углов треугольника и углами равнобедренного треугольника являются теми фактами евклидовой геометрии, которые раздел явно принимает в начале, поскольку их доказательство принадлежит аксиоматическому построению этой геометрии. Из инвариантности углового коэффициента было выведено, что точки прямой суть в точности решения уравнения Ax+By+C=0Ax + By + C = 0; из вычисления с уравнениями двух прямых, что две невертикальные прямые параллельны тогда и только тогда, когда у них один и тот же угловой коэффициент; из теоремы Пифагора и обратной к ней теоремы вместе с равенством соответственных углов, что они перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1-1; и из теоремы Пифагора, что перпендикуляр, опущенный из точки, есть кратчайший путь до прямой.

Урок о векторах на плоскости переформулировал эти результаты так, что они не зависят от выбора осей. Векторы со своим сложением и умножением на число удовлетворяют восьми аксиомам векторного пространства; скалярное произведение решает вопрос о перпендикулярности условием u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, которое уже не исключает вертикальных прямых, и даёт неравенство Коши-Шварца, неравенство треугольника и ортогональную проекцию. Отсюда были получены векторное уравнение прямой, вектор нормали (A,B)\left( A, B \right) прямой Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 и формула расстояния от точки до прямой, которая встречается почти во всех последующих уроках:

d⁡(P,r)=∣Ax1+By1+C∣A2+B2\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Конические сечения, определённые через расстояния

Пять последующих уроков применили один и тот же метод к четырём кривым: определить кривую свойством расстояний, перевести его в уравнение возведением в квадрат и затем доказать обратное утверждение, поскольку возведение в квадрат может добавить посторонние точки. Урок об уравнении параболы определил параболу через фокус и директрису, доказал, что графики квадратных трёхчленов суть в точности параболы с вертикальной осью, и доказал её оптическое свойство; урок об описании парабол по уравнению получил выделением полного квадрата её элементы через коэффициенты, доказал, что вершина есть точка экстремума и что дискриминант определяет пересечения с горизонтальной осью.

Урок об эллипсах и окружностях определил эллипс постоянной суммой 2a2a расстояний до двух фокусов, вывел его приведённое уравнение с b2=a2−c2b^2 = a^2 - c^2 и доказал, что расстояния от каждой точки до фокусов равны a+exa + ex и a−exa - ex; окружность оказалась эллипсом с совпадающими фокусами. Урок об окружности измерил положение точки её степенью, определил положение прямой, сравнивая с радиусом расстояние от центра, доказал, что касательная перпендикулярна радиусу, классифицировал шесть случаев взаимного расположения двух окружностей с помощью их радикальной оси и доказал теорему о степени точки, из которой следуют теорема о пересекающихся хордах, теорема о касательной и секущей и теорема о радикальном центре. Урок об уравнении гиперболы заменил сумму разностью, с c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, изучил асимптоты, доказал, что график y=1xy = \frac{1}{x} есть равнобочная гипербола, и показал, что прямая, параллельная асимптоте, пересекает гиперболу в единственной точке, не будучи касательной.

Единая теория и неравенства

Урок о конических сечениях объединил четыре кривые в одну теорию. Всякое уравнение Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 задаёт, в зависимости от знака ACAC и от знака правой части GG, которую оставляет выделение полных квадратов, эллипс, гиперболу, параболу или один из их вырожденных случаев; а теорема о фокусе и директрисе описывает эллипс, параболу и гиперболу как геометрические места точек, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть фиксированное число ee, меньшее, равное или большее 11.

Последний урок, о неравенствах на плоскости и линейном программировании, перешёл от равенств к неравенствам. Теорема о полуплоскостях утверждает, что выражение Ax+By+CAx + By + C сохраняет знак по каждую сторону от прямой, откуда метод пробной точки; области, заданные линейными неравенствами, выпуклы, поскольку линейное выражение меняется вдоль отрезка между своими значениями на концах; выражение второй степени, не обращающееся в нуль на отрезке, сохраняет на нём знак, и поэтому метод пробной точки годится и для областей, ограниченных коническими сечениями; наконец, линейная функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на ограниченном выпуклом многоугольнике в одной из его вершин. Если область не ограничена, оптимум может не существовать, а если и существует, может не достигаться в вершине, как в полосе; но если у области есть хотя бы одна вершина, то есть если она не содержит целых прямых, всякий существующий оптимум достигается также в одной из вершин.

Три средства проходят через весь раздел. Первое есть формула расстояния, на которой основаны все определения кривых. Второе есть выделение полного квадрата, приводящее каждое уравнение второй степени к виду, в котором читаются его элементы. Третье есть дискриминант, который для всех конических сечений решает, пересекает ли их прямая в двух точках, в одной или ни в одной, и который, с оговоркой о прямых, параллельных оси параболы или асимптотам гиперболы, характеризует касательные без обращения к пределам.

Рисунок ниже соединяет три участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, что принимаются без доказательства или взяты из предыдущих разделов: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

  • AЕвклидова геометрия. В начале раздела принимаются свободный выбор осей, теорема Пифагора и обратная к ней теорема, равенство соответственных углов при параллельных прямых, теорема Фалеса и подобие треугольников, сумма углов треугольника и равенство углов, противолежащих равным сторонам равнобедренного треугольника. В этом модуле принимается без доказательства.
  • BФормула расстояния. Расстояние между (x1,y1)(x_1, y_1) и (x2,y2)(x_2, y_2) равно (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}; на ней основаны все определения кривых в разделе. Устанавливается в: 1. Расстояние и середина отрезка.
  • CОбщее уравнение прямой. Точки всякой прямой суть в точности решения уравнения Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, где AA и BB не равны нулю одновременно. Устанавливается в: 2. Уравнение прямой.
  • DРасстояние от точки до прямой. Расстояние от точки (x1,y1)(x_1, y_1) до прямой Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 равно ∣Ax1+By1+C∣A2+B2\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Устанавливается в: 10. Расстояние от точки до прямой.
  • EВыделение полного квадрата. Выполняется ax2+bx+c=a(x+b2a)2−Δ4aax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}, где Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac; доказано в разделе об алгебраических функциях. В этом модуле принимается без доказательства.
  • FДискриминант. Квадратное уравнение имеет два корня, один двойной или ни одного в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен его дискриминант, и при отсутствии корней многочлен сохраняет знак своего старшего коэффициента; доказано в разделе об алгебраических функциях. В этом модуле принимается без доказательства.
  • GСдвиг графиков. Замена xx на x−hx - h и yy на y−ky - k сдвигает график на hh единиц по горизонтали и на kk по вертикали; доказано в разделе об алгебраических функциях. В этом модуле принимается без доказательства.
  • HПравило знаков. Произведение двух множителей положительно, если они одного знака, и отрицательно, если они противоположных знаков; это основа таблиц знаков из раздела об алгебраических функциях. В этом модуле принимается без доказательства.

  1. Участок 1 Координаты, прямая и векторы

    • Получить из теоремы Пифагора расстояние между двумя точками и середину отрезка.
    • Доказать, что точки прямой суть в точности решения уравнения первой степени, и охарактеризовать параллельность и перпендикулярность через угловые коэффициенты.
    • Наделить векторы плоскости сложением, умножением на число, длиной и скалярным произведением и вывести неравенство Коши-Шварца, неравенство треугольника и ортогональную проекцию.
    • Получить векторное уравнение прямой, её вектор нормали и расстояние от точки до прямой.

    1. Расстояние и середина отрезка. Расстояние между P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) и P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) равно (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, а точка (x1+x22,y1+y22)\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) делит отрезок на две равные половины.

      Опирается на: A (Евклидова геометрия). Доказывается в уроке: Уравнение прямой и декартовы системы координат.

    2. Уравнение прямой. Угловой коэффициент не зависит от точек, по которым он вычисляется, и точка лежит на прямой с угловым коэффициентом mm, проходящей через (x0,y0)(x_0, y_0), тогда и только тогда, когда y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0); отсюда всякая прямая имеет уравнение Ax+By+C=0Ax + By + C = 0.

      Опирается на: A (Евклидова геометрия). Доказывается в уроке: Уравнение прямой и декартовы системы координат.

    3. Параллельные и перпендикулярные прямые. Две различные невертикальные прямые параллельны тогда и только тогда, когда у них один и тот же угловой коэффициент, и перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1-1.

      Использует: 2. Уравнение прямой. Опирается на: A (Евклидова геометрия), B (Формула расстояния). Доказывается в уроке: Уравнение прямой и декартовы системы координат.

    4. Перпендикуляр есть кратчайший путь. Если QQ есть основание перпендикуляра, опущенного из PP на прямую rr, то всякая другая точка RR прямой rr удовлетворяет d(P,R)>d(P,Q)d(P, R) > d(P, Q).

      Использует: 3. Параллельные и перпендикулярные прямые. Опирается на: A (Евклидова геометрия), B (Формула расстояния). Доказывается в уроке: Уравнение прямой и декартовы системы координат.

    5. Действия над векторами. Сложение векторов и умножение на число удовлетворяют восьми аксиомам векторного пространства, и два ненулевых вектора с u1v2−u2v1≠0u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0 порождают каждый вектор плоскости единственным образом.

      Доказывается в уроке: Векторы на плоскости и параметрические уравнения прямой.

    6. Скалярное произведение и перпендикулярность. Скалярное произведение u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 коммутативно и дистрибутивно, удовлетворяет u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2, и два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

      Использует: 5. Действия над векторами. Опирается на: A (Евклидова геометрия), B (Формула расстояния). Доказывается в уроке: Векторы на плоскости и параметрические уравнения прямой.

    7. Коши-Шварц и неравенство треугольника. Выполняется ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}, откуда ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}} и, для трёх точек, d(P,R)≤d(P,Q)+d(Q,R)d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R).

      Использует: 6. Скалярное произведение и перпендикулярность. Опирается на: F (Дискриминант). Доказывается в уроке: Векторы на плоскости и параметрические уравнения прямой.

    8. Ортогональная проекция. Если v⃗\vec{v} не нулевой, существует единственное число tt, при котором u⃗−tv⃗\vec{u} - t \vec{v} перпендикулярен v⃗\vec{v}, а именно t=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}.

      Использует: 6. Скалярное произведение и перпендикулярность. Доказывается в уроке: Векторы на плоскости и параметрические уравнения прямой.

    9. Векторное уравнение и вектор нормали. Точки прямой, проходящей через P0P_0 с направляющим вектором d⃗\vec{d}, суть точки P0+td⃗P_0 + t \vec{d}, каждая с единственным значением параметра tt; а n⃗=(A,B)\vec{n} = \left( A, B \right) перпендикулярен прямой Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, точки которой суть те PP, для которых n⃗⋅P0P⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0.

      Использует: 2. Уравнение прямой, 6. Скалярное произведение и перпендикулярность. Опирается на: C (Общее уравнение прямой). Доказывается в уроке: Векторы на плоскости и параметрические уравнения прямой.

    10. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от (x1,y1)(x_1, y_1) до прямой Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 равно ∣Ax1+By1+C∣A2+B2\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}} и достигается в основании перпендикуляра.

      Использует: 4. Перпендикуляр есть кратчайший путь, 8. Ортогональная проекция, 9. Векторное уравнение и вектор нормали. Опирается на: C (Общее уравнение прямой). Доказывается в уроке: Векторы на плоскости и параметрические уравнения прямой.

  2. Участок 2 Конические сечения, определённые через расстояния

    • Определить параболу через фокус и директрису, получить её уравнение и доказать, что графики квадратных трёхчленов суть в точности параболы с вертикальной осью.
    • Находить выделением полного квадрата вершину параболы и определять с помощью дискриминанта её пересечения с горизонтальной осью.
    • Вывести приведённое уравнение эллипса и простейшее уравнение гиперболы с доказательством обратного утверждения и распознать в окружности эллипс с совпадающими фокусами.
    • Исследовать положение прямой и другой окружности относительно окружности и доказать теорему о степени точки.
    • Охарактеризовать касательные к коническим сечениям с помощью дискриминанта, с оговоркой о прямых, параллельных оси или асимптотам, и отдельно рассмотреть вертикальные прямые.

    1. Уравнение параболы. Точки, равноудалённые от фокуса (h,k+f)(h, k + f) и от директрисы y=k−fy = k - f, суть в точности точки кривой (x−h)2=4f(y−k)(x - h)^2 = 4f(y - k), симметричной относительно своей оси x=hx = h.

      Опирается на: B (Формула расстояния), G (Сдвиг графиков). Доказывается в уроке: Уравнение параболы: определения и свойства.

    2. Парабола и квадратный трёхчлен. Графики y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, где a≠0a \neq 0, суть в точности параболы с вертикальной осью, причём f=14af = \frac{1}{4a}, и модуль этого числа есть фокусное расстояние.

      Использует: 11. Уравнение параболы. Опирается на: E (Выделение полного квадрата). Доказывается в уроке: Уравнение параболы: определения и свойства.

    3. Оптическое свойство. Касательная в точке PP параболы образует равные углы с прямой, параллельной оси и проведённой через PP, и с прямой, соединяющей PP с фокусом.

      Использует: 11. Уравнение параболы. Опирается на: A (Евклидова геометрия), B (Формула расстояния), F (Дискриминант). Доказывается в уроке: Уравнение параболы: определения и свойства.

    4. Вершина и пересечения с осью. Вершина параболы y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c есть (−b2a,−Δ4a)\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right), её самая низкая точка при a>0a > 0 и самая высокая при a<0a < 0, и парабола пересекает ось xx в двух точках, в одной или ни в одной в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен Δ\Delta.

      Использует: 12. Парабола и квадратный трёхчлен. Опирается на: E (Выделение полного квадрата), F (Дискриминант). Доказывается в уроке: Описание парабол по уравнению и их графики.

    5. Приведённое уравнение эллипса. При b2=a2−c2b^2 = a^2 - c^2 эллипс с фокусами (±c,0)(\pm c, 0) и суммой расстояний 2a2a есть в точности кривая x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, и расстояния от каждой его точки до фокусов равны a+caxa + \frac{c}{a} x и a−caxa - \frac{c}{a} x.

      Опирается на: B (Формула расстояния). Доказывается в уроке: Уравнение эллипса и окружности.

    6. Уравнение окружности. Окружность с центром (h,k)(h, k) и радиусом rr есть кривая (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, и она есть эллипс, оба фокуса которого совпадают с центром.

      Использует: 15. Приведённое уравнение эллипса. Опирается на: B (Формула расстояния), G (Сдвиг графиков). Доказывается в уроке: Уравнение эллипса и окружности.

    7. Касание эллипса. Невертикальная прямая касается эллипса тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения, получаемого её подстановкой, равен нулю; если он положителен, прямая пересекает эллипс в двух точках, а если отрицателен, не касается его. Единственные вертикальные касательные суть x=ax = a и x=−ax = -a.

      Использует: 15. Приведённое уравнение эллипса. Опирается на: F (Дискриминант). Доказывается в уроке: Уравнение эллипса и окружности.

    8. Положение прямой. Если δ\delta есть расстояние от центра до прямой, то прямая не касается окружности при δ>r\delta > r, касается её только в основании перпендикуляра при δ=r\delta = r и пересекает её в двух точках при δ<r\delta < r.

      Использует: 4. Перпендикуляр есть кратчайший путь, 16. Уравнение окружности. Опирается на: A (Евклидова геометрия), D (Расстояние от точки до прямой), F (Дискриминант). Доказывается в уроке: Окружность: касательные, взаимное расположение и степень точки.

    9. Касательная перпендикулярна радиусу. Прямая, проходящая через точку TT окружности, есть касательная тогда и только тогда, когда она перпендикулярна радиусу, соединяющему центр с TT; через каждую точку проходит только одна касательная.

      Использует: 3. Параллельные и перпендикулярные прямые, 4. Перпендикуляр есть кратчайший путь, 18. Положение прямой. Доказывается в уроке: Окружность: касательные, взаимное расположение и степень точки.

    10. Радикальная ось и взаимное расположение. Точки, имеющие равные степени относительно двух окружностей с различными центрами, образуют прямую, перпендикулярную линии центров, и окружности имеют две общие точки при ∣r1−r2∣<d<r1+r2\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2, одну, если dd равно одному из этих крайних значений, причём, кроме точки касания, точки меньшей окружности лежат внутри большей при внутреннем касании, а точки каждой лежат вне другой при внешнем, и ни одной в остальных случаях.

      Использует: 3. Параллельные и перпендикулярные прямые, 7. Коши-Шварц и неравенство треугольника, 16. Уравнение окружности, 18. Положение прямой. Опирается на: C (Общее уравнение прямой), D (Расстояние от точки до прямой). Доказывается в уроке: Окружность: касательные, взаимное расположение и степень точки.

    11. Степень точки. Если прямая, проходящая через PP, пересекает окружность в AA и BB, то выполняется d(P,A)⋅d(P,B)=∣p∣d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}, где p=d2−r2p = d^2 - r^2; а из внешней точки выходят ровно две касательные, обе длины p\sqrt{p}.

      Использует: 18. Положение прямой, 19. Касательная перпендикулярна радиусу, 20. Радикальная ось и взаимное расположение. Опирается на: A (Евклидова геометрия). Доказывается в уроке: Окружность: касательные, взаимное расположение и степень точки.

    12. Уравнение гиперболы. При b2=c2−a2b^2 = c^2 - a^2 гипербола с фокусами (±c,0)(\pm c, 0) и разностью расстояний 2a2a есть в точности кривая x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, ветви которой приближаются к асимптотам y=±baxy = \pm \frac{b}{a} x.

      Опирается на: B (Формула расстояния). Доказывается в уроке: Уравнение гиперболы и его вывод.

    13. Равнобочная гипербола. График y=1xy = \frac{1}{x} есть гипербола с фокусами (2,2)(\sqrt{2}, \sqrt{2}) и (−2,−2)(-\sqrt{2}, -\sqrt{2}), расстояния от точек которой до них различаются на 222\sqrt{2}; она равнобочная, и её асимптоты суть оси координат.

      Использует: 22. Уравнение гиперболы. Опирается на: A (Евклидова геометрия), B (Формула расстояния). Доказывается в уроке: Уравнение гиперболы и его вывод.

    14. Касание гиперболы. Прямая, не параллельная асимптотам, касается гиперболы ровно тогда, когда дискриминант равен нулю; прямая, параллельная асимптоте и не совпадающая с ней, пересекает гиперболу в единственной точке и переходит через неё; а единственные вертикальные касательные суть x=ax = a и x=−ax = -a.

      Использует: 22. Уравнение гиперболы. Опирается на: F (Дискриминант). Доказывается в уроке: Уравнение гиперболы и его вывод.

  3. Участок 3 Единая теория и неравенства

    • Классифицировать уравнения Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 по знаку ACAC и по правой части, которую оставляет выделение полных квадратов.
    • Описать эллипс, параболу и гиперболу как геометрические места точек, связанные с фокусом и директрисой, в зависимости от их эксцентриситета.
    • Доказать, что линейное выражение сохраняет знак по каждую сторону от своей прямой, и обосновать этим метод пробной точки.
    • Доказать, что области, заданные линейными неравенствами, выпуклы, распространить метод пробной точки на конические сечения и доказать, что линейная функция достигает своих экстремальных значений на ограниченном выпуклом многоугольнике в вершине, а также в вершине на неограниченной области с вершинами, когда эти значения существуют.

    1. Общее уравнение второй степени. Всякое уравнение Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, где AA и CC не равны нулю одновременно, задаёт эллипс, гиперболу или параболу в зависимости от того, положительно, отрицательно или равно нулю ACAC, либо один из их вырожденных случаев, выбор между которыми определяет правая часть GG, оставляемая выделением полных квадратов.

      Использует: 11. Уравнение параболы, 15. Приведённое уравнение эллипса, 16. Уравнение окружности, 22. Уравнение гиперболы. Опирается на: E (Выделение полного квадрата), F (Дискриминант), G (Сдвиг графиков). Доказывается в уроке: Конические сечения: параболы, эллипсы, гиперболы и их графики.

    2. Теорема о фокусе и директрисе. Точки, расстояние от которых до фокуса FF в ee раз больше расстояния до директрисы LL, образуют эллипс при e<1e < 1, параболу при e=1e = 1 и гиперболу при e>1e > 1.

      Использует: 11. Уравнение параболы, 15. Приведённое уравнение эллипса, 22. Уравнение гиперболы, 25. Общее уравнение второй степени. Опирается на: A (Евклидова геометрия), B (Формула расстояния), E (Выделение полного квадрата). Доказывается в уроке: Конические сечения: параболы, эллипсы, гиперболы и их графики.

    3. Директрисы эллипса и гиперболы. У эллипса и у гиперболы с эксцентриситетом e=cae = \frac{c}{a} расстояние от каждой точки до фокуса (c,0)(c, 0) в ee раз больше её расстояния до прямой x=aex = \frac{a}{e}; окружность же не имеет директрисы.

      Использует: 15. Приведённое уравнение эллипса, 22. Уравнение гиперболы, 26. Теорема о фокусе и директрисе. Доказывается в уроке: Конические сечения: параболы, эллипсы, гиперболы и их графики.

    4. Теорема о полуплоскостях. Выражение Ax+By+CAx + By + C положительно во всех точках по одну сторону от прямой Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 и отрицательно во всех точках по другую; отсюда метод пробной точки.

      Опирается на: C (Общее уравнение прямой), H (Правило знаков). Доказывается в уроке: Неравенства на плоскости и линейное программирование.

    5. Выражения вдоль отрезка. На отрезке с концами PP и QQ линейное выражение удовлетворяет L(Pt)=(1−t)L(P)+tL(Q)L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q), так что области решений систем линейных неравенств выпуклы; а выражение второй степени, не обращающееся в нуль на отрезке, сохраняет на нём знак, так что каждое коническое сечение делит плоскость на области, две или три, в которых годится метод пробной точки.

      Использует: 2. Уравнение прямой, 28. Теорема о полуплоскостях, 7. Коши-Шварц и неравенство треугольника, 14. Вершина и пересечения с осью. Опирается на: F (Дискриминант), H (Правило знаков). Доказывается в уроке: Неравенства на плоскости и линейное программирование.

    6. Теорема о вершинах. Функция ax+by+cax + by + c достигает своего наибольшего и наименьшего значений на непустой и ограниченной области системы нестрогих линейных неравенств, причём каждого в одной из её вершин; если область не ограничена, но имеет вершину, то есть если она не содержит целых прямых, всякое достигаемое наибольшее или наименьшее значение достигается также в вершине.

      Использует: 29. Выражения вдоль отрезка. Доказывается в уроке: Неравенства на плоскости и линейное программирование.

К трансцендентным функциям. Цепь завершает изучение алгебраических кривых первой и второй степени. Следующий раздел выходит за пределы алгебраических функций, но гипербола появляется в нём снова: площади под y=1xy = \frac{1}{x} ведут себя как логарифмы, а точка (cosh⁡t,sinh⁡t)(\cosh t, \sinh t) пробегает правую ветвь x2−y2=1x^2 - y^2 = 1.