Formalização da linguagem natural

Do enunciado à fórmula

A aula sobre a linguagem da lógica proposicional construiu uma linguagem sem significado: cadeias de círculos e discos, uma regra de formação e algumas abreviaturas. A aula sobre a indução sobre as fórmulas demonstrou que cada fórmula se lê de um único modo. Ora, essa linguagem foi construída para algo: para representar a forma dos enunciados com que raciocinamos na vida cotidiana, nas ciências, no direito e na matemática, de modo que a correção de um raciocínio possa ser estudada na própria forma, independentemente do seu assunto. Esta aula lança a ponte entre os dois mundos. Não é uma ponte mecânica: a língua natural é rica, ambígua e dependente do contexto, e a linguagem formal é pobre, precisa e rígida. Disso se segue que formalizar é interpretar, e que toda formalização deve ser justificada.

Um enunciado, no sentido desta aula, é uma oração declarativa que, no seu contexto, é verdadeira ou falsa: “A água ferve a cem graus ao nível do mar”, “Ana chegou atrasada”, “$7$ é primo”. As perguntas, as ordens e os desejos (“Ana chegou?”, “Feche a porta”, “Tomara que chova”) não são enunciados. Um enunciado é composto quando contém outros enunciados unidos por partículas como “não”, “e”, “ou”, “se… então”; é atômico quando não se decompõe assim. A lógica proposicional não analisa o interior dos enunciados atômicos: para ela, “Ana chegou atrasada” é uma peça indivisível, que só pode ser verdadeira ou falsa.

A convenção das letras

As fórmulas da língua base são cadeias de círculos e discos; a $n$-ésima variável é $v_n = \sigO^{n}\sigI$, isto é, $n$ círculos seguidos de um disco. Escrever cadeias assim é tão seguro quanto cansativo, e para formalizar convém dispor de nomes breves. Adotamos a convenção seguinte, que vale nesta aula e no resto do curso salvo aviso expresso:

Sendo assim, as letras latinas $p$, $q$, $r$, $s$ e $t$ são nomes de cinco variáveis determinadas, do mesmo modo que $7$ é o nome de um número determinado: $p$ não varia, mas designa sempre a cadeia $\sigO\sigI$. As letras gregas $\varphi$, $\psi$, $\chi$ e $\theta$, ao contrário, continuam sendo metavariáveis, como na aula sobre a linguagem: designam fórmulas quaisquer, e um enunciado escrito com elas, como $(\varphi \downarrow \psi)$, é um esquema que abrange infinitas fórmulas. Disso se segue uma diferença que importa: $(p \downarrow q)$ é uma só fórmula, a cadeia $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$; $(\varphi \downarrow \psi)$ é uma forma de fórmulas, da qual $(p \downarrow q)$, $(p \downarrow p)$ e $(q \downarrow (p \downarrow r))$ são casos. Alguns textos usam $p$ e $q$ como metavariáveis; aqui não, porque ao formalizar precisamos que duas letras distintas designem com segurança variáveis distintas, e uma metavariável não oferece essa garantia: nada impede que $\varphi$ e $\psi$ designem a mesma fórmula.

O dicionário de uma formalização

Formalizar um enunciado consiste em três operações: identificar os seus enunciados atômicos, atribuir a cada um uma variável e reconstruir o enunciado composto com os conectivos. A atribuição da segunda operação chama-se dicionário da formalização, e deve ser declarada sempre, porque sem ela a fórmula não diz nada. O dicionário obedece a duas regras: o mesmo enunciado atômico recebe sempre a mesma variável, e enunciados atômicos distintos recebem variáveis distintas. A primeira garante que a fórmula registre as repetições do texto; a segunda, que não invente identidades que o texto não afirma.