सशर्त प्रायिकता

क्या संभावना है कि घटना A घटित होगी जब पहले से ही घटना B घट चुकी है? इस प्रकार की प्रायिकताओं की गणना सशर्त प्रायिकता की अवधारणा को शामिल करती है। आगे हम सशर्त प्रायिकता, इसकी परिभाषा और घटनाओं के बीच निर्भरता और स्वतंत्रता के संबंधों का अध्ययन करेंगे।

मान लें कि हम नियमित रूप से मिठाई खाने वालों में दांतों की सड़न की प्रचलितता को मापना चाहते हैं। यदि हम N व्यक्तियों के नमूना स्थान \Omega_N का निरीक्षण करते हैं, तो हम देखेंगे कि इसे 4 उपसमूहों में विभाजित किया जा सकता है:

• A:=\left\{ {व्यक्ति\;जिनके\;दांत\;सड़े\;हैं}\right\}
• A^c:=\left\{{व्यक्ति\;जिनके\;दांत\;नहीं\;सड़े\;हैं}\right\}
• B:=\left\{ {व्यक्ति\;जो\;नियमित\;रूप\;से\;मिठाई\;खाते\;हैं}\right\}
• B^c:=\left\{{व्यक्ति\;जो\;नियमित\;रूप\;से\;मिठाई\;नहीं\;खाते}\right\}

इससे यह स्पष्ट है कि A\cup A^c = \Omega_N और B\cup B^c = \Omega_N, लेकिन A\cap B आवश्यक रूप से खाली नहीं है। सामान्य परिदृश्य निम्नलिखित चित्र द्वारा दर्शाया गया है:

तब, यदि हम प्रायिकता की परिभाषा को याद करते हैं जैसे कि सापेक्षिक आवृत्तियों की सीमा, हम कह सकते हैं कि किसी व्यक्ति के दांतों की सड़न की संभावना, जब यह सत्यापित हो चुका है कि वह मिठाई खाता है, P(A|B) होगी:

P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}

दूसरी ओर, यह है:

P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}

↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)

P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}

↳ \#B = \#\Omega_N P(B)

इसलिए यदि हम इन अंतिम दो अभिव्यक्तियों को P(A|B) पर प्रतिस्थापित करते हैं, तो यह होगा:

P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

इससे निम्नलिखित परिभाषा बनती है

सशर्त प्रायिकता की औपचारिक परिभाषा

परिभाषा: A की प्रायिकता, यह देखते हुए कि B घटित हो चुका है, P(A|B), को निम्नलिखित संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है:

P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■

सामान्य सोच में लोग P(A|B) और P(B|A) के बीच कुछ भ्रम करते हैं। इस अंतर को स्पष्ट करने के लिए, एक चरम मामले पर आधारित एक उदाहरण की समीक्षा करें: ध्यान दें कि जबकि सभी फुटबॉल खिलाड़ी के दो पैर होते हैं, केवल बहुत कम प्रतिशत दो पैरों वाले व्यक्ति फुटबॉल खिलाड़ी होते हैं।

घटनाओं के बीच संबंध

मिठाई के उपभोक्ताओं में दांतों की सड़न की प्रचलितता के उदाहरण को जारी रखते हुए। यदि मिठाई का सेवन करने से व्यक्ति दांतों की सड़न के प्रति अधिक प्रवण हो जाते हैं, तो यह होना चाहिए कि

P(A|B) \gt P(A).यहां हमारे पास B A को बढ़ाता है और इसलिए हम कहते हैं कि घटनाओं के बीच एक सकारात्मक संबंध है।

यदि इसके विपरीत, मिठाई का सेवन करने से दांतों की सड़न को रोका जाता है, तो यह होना चाहिए:

P(A|B) \lt P(A).इस मामले में B A को रोकता है और इसलिए हम कहते हैं कि घटनाओं के बीच एक नकारात्मक संबंध है।

और यदि इन दो घटनाओं के बीच कोई संबंध नहीं है, न तो सकारात्मक और न ही नकारात्मक, तो यह होना चाहिए कि

P(A|B) = P(A).यहां से यह अनुमान लगाया गया है कि अधिकांश प्रायिकता पुस्तकों में यह परिभाषा के रूप में प्रस्तुत किया गया है:

यह तर्क हमें सशर्त प्रायिकता और घटनाओं की स्वतंत्रता के बीच संबंध दिखाता है।

परिभाषा: दो घटनाओं A और B को स्वतंत्र कहा जाता है यदि वे संबंध को संतुष्ट करते हैं:

\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■

घटनाओं और उनके पूरक के बीच स्वतंत्रता

दो घटनाओं A और B के बीच स्वतंत्रता साबित होती है A और B^c के साथ स्वतंत्रता के बराबर होती है, A^c और B के साथ स्वतंत्रता के बराबर होती है, और A^c और B^c के साथ स्वतंत्रता के बराबर होती है।

सिद्धांत

यह अंतिम अभिव्यक्ति इस प्रकार पढ़ी जाती है: “इस तथ्य से कि A और B स्वतंत्र हैं, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि A और B^c भी स्वतंत्र हैं।

उल्टा सिद्धांत समान रूप से किया जाता है।

और यह अभिव्यक्ति इस प्रकार पढ़ी जाती है: “इस तथ्य से कि A और B^c स्वतंत्र हैं, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि A और B भी स्वतंत्र हैं।

अंत में, इन दो तर्कों से यह साबित होता है कि A और B की स्वतंत्रता और A और B^c की स्वतंत्रता के बीच समानता है।

अन्य साबित समानताएं समान तरीके से प्राप्त की जा सकती हैं। ये पाठक के लिए एक चुनौती के रूप में छोड़ दिए जाएंगे।