Règle de la chaîne pour la dérivée de la composition de fonctions
Avec ce que nous avons vu jusqu’à présent, nous disposons déjà de tout le nécessaire pour calculer presque n’importe quelle dérivée. Toutefois, il convient de distinguer entre la possibilité de calculer une dérivée et l’effort investi pour effectuer ces calculs, et c’est ici que les théorèmes tels que celui de la règle de la chaîne pour le calcul d’une variable entrent en jeu. La règle de la chaîne nous permettra de calculer rapidement des dérivées qui, autrement, impliqueraient un travail assez fastidieux et complexe.
INDICE DE CONTENUS
Le théorème de la règle de la chaîne en une variable réelle
Démonstration de la règle de la chaîne
Exemples d’utilisation de la règle de la chaîne dans des fonctions d’une variable
Précaution à considérer face à la règle de la chaîne
Résultats utiles obtenus à partir de la règle de la chaîne
Théorème de la fonction inverse
Dérivée de la fonction exponentielle
Dérivée des fonctions trigonométriques inverses
Dérivation implicite
Dérivées de puissances rationnelles
Dérivées de puissances rationnelles
Guide d’exercices
Le théorème de la règle de la chaîne en une variable réelle
Soient f et g deux fonctions susceptibles de composition
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
Si f est dérivable en A et g est dérivable en B, alors la fonction composée g\circ f est dérivable pour tous les x\in A et la formule suivante sera valable
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
Démonstration de la règle de la chaîne
Considérons les fonctions f et g telles que définies précédemment. Si nous calculons la dérivée de la composition, nous aurons alors
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
Ce qui était à démontrer.
Exemples d’utilisation de la règle de la chaîne dans des fonctions d’une variable
Quelque chose qui paraît évident, du moins à première vue, mais qui ne l’est pas autant d’un point de vista opérationnel, est le fait que la règle de la chaîne nous indique que, lorsqu’on rencontre une composition de fonctions, on peut dériver « de l’extérieur vers l’intérieur ». Pour l’expliquer de manière simple, les exemples sont de loin le chemin le plus rapide.
- Si l’on nous demande de dériver f(x) = (2x^2+1)^{12}, nous développerions d’abord les puissances puis appliquerions la dérivée de la puissance sur chacune des parties de ce grand polynôme obtenu comme résultat. Un travail inutilement épuisant. Avec la règle de la chaîne, le calcul de la dérivée peut être réalisé en quelques lignes :
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- Essaie de calculer la dérivée de g(x) = \sin(\cos(x)) uniquement avec les techniques basiques de dérivation et tu connaîtras la souffrance éternelle. Fais-le en utilisant la règle de la chaîne et le résultat apparaîtra sans larmes et en quelques étapes :
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- Tu peux également calculer la dérivée de fonctions qui sont la composition de nombreuses fonctions. Si f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), la dérivée de df/dx devient :
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
Comme tu peux le voir, appliquer la règle de la chaîne revient simplement à dériver en chaîne de l’extérieur vers l’intérieur.
Précaution à prendre en compte face à la règle de la chaîne
Dans la littérature, tous présentent les grands avantages de l’utilisation de la règle de la chaîne, mais très peu insistent sur les précautions à prendre avant de l’employer. Malgré la puissance de ce théorème, tu dois toujours prêter une grande attention aux domaines et aux images des fonctions avant d’appliquer la règle de la chaîne. Avant de travailler, tu dois t’assurer que les domaines et les images des fonctions soient compatibles pour la composition ; autrement, tu risques de calculer des dérivées là où elles n’existent pas. Si tu dérives, par exemple, une fonction du type
f(x)=\ln(\cos(x))
et que tu fais confiance aveuglément à la règle de la chaîne, tu effectueras des calculs comme le suivant :
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
Il est clair que la fonction tangente est bien définie pour une valeur x=2\pi/3, puisque sa valeur est \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3}. Mais la fonction f(x)=\ln(\cos(x)) n’est pas bien définie à cet endroit, car f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), et il n’existe pas de logarithme de nombres négatifs ! Dans de tels cas, il est nécessaire d’indiquer, avant d’appliquer la règle de la chaîne, que les valeurs de x à considérer sont telles qu’elles maintiennent la fonction cosinus positive (afin d’assurer la compatibilité sous composition), et seulement alors la règle de la chaîne sera valable.
Résultats utiles obtenus à partir de la règle de la chaîne
La règle de la chaîne n’est pas seulement utile pour effectuer des calculs de dérivées qui seraient autrement pénibles, elle sert aussi à étendre encore davantage les techniques de dérivation à de nombreuses autres fonctions. Nous examinerons ci-dessous ces techniques, leurs résultats et leurs démonstrations.
Théorème de la fonction inverse
Soit f une fonction bijective et dérivable sur un intervalle I\subseteq \mathbb{R}. En utilisant la règle de la chaîne, il est possible de calculer la dérivée de la fonction identité (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. Les calculs donnent le résultat suivant :
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
À partir de là, on peut isoler df^{-1}(f(x))/df(x) et obtenir le résultat suivant :
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
C’est ce qu’on appelle le théorème de la fonction inverse pour le calcul des dérivées. Dans la littérature, il est courant de voir ce théorème écrit sous la forme
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
Les deux formes d’expression du théorème de la fonction inverse sont équivalentes et s’obtiennent en écrivant y=f(x) et x=f^{-1}(y).
Jusqu’ici, nous avons vu tout ce qu’il est possible de dire sur le contenu du théorème de la fonction inverse ; nous verrons maintenant comment l’utiliser pour calculer quelques dérivées qui, autrement, seraient assez difficiles.
Dérivée de la fonction exponentielle
Lorsque nous avons étudié les techniques élémentaires de dérivation, nous avons vu que
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
Avec ce résultat et le théorème de la fonction inverse, il est facile de montrer que
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
DÉMONSTRATION :
Il est clair que y=\ln(x) est équivalent à dire que x=e^y. Ensuite, en appliquant le théorème de la fonction inverse, on obtient :
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
C’est-à-dire :
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
Si, dans cette dernière expression, nous remplaçons les « y » par « x », nous obtenons ce qu’il fallait démontrer :
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
Dérivée des fonctions trigonométriques inverses
Le théorème de la fonction inverse nous permettra également d’obtenir les dérivées de toutes les fonctions trigonométriques inverses. Celles-ci sont :
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
DÉMONSTRATION
Arc sinus
Mostrar DemostraciónLa fonction \sin(x) est bijective à condition de restreindre son domaine à un ensemble de la forme \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], où k est un entier quelconque. Sans perte de généralité, il est possible de se limiter au cas principal, où k=0, de sorte que la fonction sinus bijective sera de la forme
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
et dans ces conditions, on a
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
Si l’on applique le théorème de la fonction inverse, on obtient :
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
Rappelons maintenant l’identité trigonométrique
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
d’où il s’ensuit que, si x\in [-\pi/2, \pi/2], alors
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
En remplaçant cela dans la dérivée de l’arc sinus, on obtient :
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
Et comme y=\sin(x),
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Finalement, en remplaçant les « y » par « x » dans cette dernière expression, nous obtenons ce qu’il fallait démontrer :
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arc cosinus
Mostrar DemostraciónLa fonction \cos(x) est bijective à condition de restreindre son domaine à un ensemble de la forme \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right],, où k est un entier quelconque. Sans perte de généralité, il est possible de se limiter au cas principal, où k=0, de sorte que la fonction cosinus bijective sera de la forme
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
et dans ces conditions on a
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
Si nous appliquons le théorème de la fonction inverse, nous obtenons :
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
Rappelons maintenant l’identité trigonométrique
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
d’où il s’ensuit que, si x\in [0, \pi], alors
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
En remplaçant cela dans la dérivée de l’arc cosinus, on obtient :
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
Et comme y=\cos(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Finalement, en remplaçant les « y » par « x » dans cette dernière expression, nous obtenons ce qu’il fallait démontrer :
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arc tangente
Mostrar DemostraciónLa fonction \tan(x) est bijective à condition de restreindre son domaine à un ensemble de la forme \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right],, où k est un entier quelconque. Sans perte de généralité, on peut se limiter au cas principal, où k=0, de sorte que la fonction tangente bijective sera de la forme
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
et dans ces conditions on a
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
Si nous appliquons le théorème de la fonction inverse, nous obtenons :
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
Rappelons maintenant l’identité trigonométrique
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
d’où il s’ensuit que
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
En remplaçant cela dans la dérivée de l’arc tangente, on obtient :
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
Et comme y=\tan(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
Finalement, en remplaçant les « y » par « x » dans cette dernière expression, nous obtenons ce qu’il fallait démontrer :
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
Arc cotangente
Mostrar DemostraciónLa fonction cot(x) est bijective à condition de restreindre son domaine à un ensemble de la forme \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right],, où k est un entier quelconque. Sans perte de généralité, il est possible de se limiter au cas principal, où k=0, de sorte que la fonction cotangente bijective sera de la forme
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
et dans ces conditions on a
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
Si nous appliquons le théorème de la fonction inverse, nous obtenons :
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
Rappelons maintenant l’identité trigonométrique
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
d’où il s’ensuit que
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
En remplaçant cela dans la dérivée de l’arc cotangente, on obtient :
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
Et comme y=ctg(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
Finalement, en remplaçant les « y » par « x » dans cette dernière expression, nous obtenons ce qu’il fallait démontrer :
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
Arc sécante
Mostrar DemostraciónLa fonction \sec(x) est bijective à condition de restreindre son domaine à un ensemble de la forme \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, où k est un entier quelconque. Sans perte de généralité, il est possible de se limiter au cas principal, où k=0, de sorte que la fonction sécante bijective sera de la forme
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
et dans ces conditions on a
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
Si nous appliquons le théorème de la fonction inverse, nous obtenons :
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
Rappelons maintenant l’identité trigonométrique
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
d’où il s’ensuit que
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
En remplaçant cela dans la dérivée de l’arc sécante, on obtient :
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
Et comme y=\sec(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
Finalement, en remplaçant les « y » par « x » dans cette dernière expression, nous obtenons ce qu’il fallait démontrer :
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Arc cosécante
Mostrar DemostraciónLa fonction \csc(x) est bijective à condition de restreindre son domaine à un ensemble de la forme \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\}, où k est un entier quelconque. Sans perte de généralité, il est possible de se limiter au cas principal, où k=0, de sorte que la fonction cosécante bijective sera de la forme
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
et dans ces conditions, on a
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
Si nous appliquons le théorème de la fonction inverse, nous obtenons :
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
Rappelons maintenant l’identité trigonométrique
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
d’où il s’ensuit que
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
En remplaçant cela dans la dérivée de l’arc cosécante, on obtient :
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
Et comme y=\csc(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
Finalement, en remplaçant les « y » par « x » dans cette dernière expression, nous obtenons ce qu’il fallait démontrer :
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Différentiation implicite
Toutes les dérivées que nous avons calculées jusqu’à présent ont été réalisées sur des fonctions définies de manière explicite : y=f(x). Cependant, il existe des situations où, à partir de la relation entre variables, soit il n’est pas simple d’obtenir l’expression explicite de la fonction, soit une telle tâche n’est tout simplement pas réalisable. Pour ce type de cas, la technique de la différentiation implicite est utile, et ses fondements se trouvent, encore une fois, dans la règle de la chaîne.
Pour comprendre cette technique, les exemples valent mieux que les démonstrations ; considérons donc la relation entre les variables x et y donnée par l’équation
x^3 +y^3- 9xy=0
Si nous représentons graphiquement cette relation, nous nous rendrons compte qu’il ne s’agit pas du graphe d’une fonction. Il s’agit du graphe d’une courbe appelée « feuille de Descartes ».
Maintenant, si nous voulions calculer, par exemple, la dérivée de y par rapport à x, nous aurions alors de grandes difficultés à trouver explicitement l’expression f(x) qui satisfait l’équation y=f(x) pour ensuite dériver. Ce que nous faisons, toutefois, est de sauter cette étape et d’assumer implicitement que y est une fonction de x, c’est-à-dire : y=y(x). En procédant ainsi, la relation de la feuille de Descartes devient :
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
Et nous pouvons, en conséquence, tout dériver en utilisant la règle de la chaîne. Si nous le faisons, nous arriverons au résultat suivant :
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
À partir de cela, si nous connaissons un point de la courbe, nous pouvons calculer la pente de la droite tangente qui passe par ce point. Par exemple, à partir du graphique, nous pouvons supposer que le point (2,4) appartient à la courbe ; et en effet, cela se vérifie puisque 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. Sachant cela, nous pouvons dire immédiatement que la pente de la tangente en ce point sera :
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
Dérivées de puissances rationnelles
En dérivant implicitement, il est possible d’élargir la portée d’une des techniques fondamentales de dérivation. Il s’agit de la dérivée des fonctions du type f(x)=x^n, avec n\in\mathbb{Z}. Nous pouvons désormais passer d’entiers à rationnels et démontrer sans difficulté que
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
où p,q\in\mathbb{Z} et q\neq 0.
Pour démontrer cela, disons : soit y=x^{p/q} et appliquons le logarithme naturel pour obtenir :
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
Ensuite, en dérivant implicitement cette expression, nous avons :
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
Guide d’exercices :
Règle de la chaîne – Une variable
- Calculez les dérivées du groupe de fonctions suivant :
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - Calculez la dérivée du groupe de fonctions suivant :
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)