関数合成の導関数に対する連鎖法則
ここまでに学んできた内容により、ほとんどあらゆる導関数を計算するための基本的な道具はすでにそろっています。しかし、ある導関数を「計算できる」ことと、その計算を実際に行う際に必要となる労力とは区別しなければなりません。そして、まさにこの点において、1 変数の場合の連鎖法則などの定理が重要な役割を果たします。連鎖法則を用いれば、本来であればかなり煩雑で面倒な計算を要する導関数を、迅速に求めることができるようになります。
目次
実数値 1 変数における連鎖法則の定理
連鎖法則の証明
一変数関数における連鎖法則の利用例
連鎖法則を用いる際に留意すべき点
連鎖法則から得られる有用な結果
逆関数定理
指数関数の導関数
逆三角関数の導関数
陰関数の微分
有理べきの導関数
有理べきの導関数
演習問題集
実数値 1 変数における連鎖法則の定理
f と g を合成可能な 2 つの関数とする susceptibles de composición
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
もし f が A で微分可能であり、g が B で微分可能であるならば、合成関数 g\circ f はすべての x\in A について微分可能であり、次の公式が成り立ちます。
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
連鎖法則の証明
関数を考える f と g を、先に定義したものと同じとします。合成の導関数を計算すると、次のようになります。
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
以上で証明すべきことが証明されました。
一変数関数における連鎖法則の利用例
少なくとも一見すると明らかなように思われること ですが、操作的な観点からは必ずしも自明ではない点として、連鎖法則は「関数の合成に出会ったとき、外側から内側へと微分してよい」という事実を述べています。これをより理解しやすく説明するためには、例を用いるのが最も速く、かつ分かりやすい方法です。
- もし f(x) = (2x^2+1)^{12} を微分せよと言われた場合、まず冪を展開し、その後で得られた巨大な多項式の各部分に対して冪関数の微分を適用する、という手順を踏むことになります。これは不必要に労力のかかる方法です。連鎖法則を使えば、導関数の計算は次のように数行で済みます：
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- g(x) = \sin(\cos(x)) の導関数を基本的な微分技法だけで計算しようとすれば、永遠の苦しみに直面することになります。しかし、連鎖法則を使えば、涙を流すことなく数ステップで次の結果が得られます：
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- また、多くの関数を重ね合わせた合成関数の導関数も計算できます。もし f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), とすれば、df/dx は次のようになります：
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
ご覧のとおり、連鎖法則を適用するとは、外側から内側へと順に微分を重ねていくことに他なりません。
連鎖法則に関して留意すべき点
文献では、連鎖法則の大きな利点が繰り返し強調されています が、その使用に先立って必要となる注意点を強調するものは多くありません。たとえこの定理が強力であっても、連鎖法則を用いる前には、常に関数の定義域（ドメイン）と値域（レンジ）に細心の注意を払わなければなりません。作業に入る前に、関数同士の定義域と値域が合成に適合していることを確認する必要があります。そうしないと、定義されていない導関数を計算してしまう危険性があります。例えば、次のような関数を微分する場合を考えてみましょう。
f(x)=\ln(\cos(x))
もし連鎖法則を盲目的に信じてしまうと、次のような計算を行うことになります：
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
明らかに、正接関数（タンジェント）は x=2\pi/3 でよく定義されており、その値は \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3} です。しかし、関数 f(x)=\ln(\cos(x)) はその点では定義されていません。というのも、f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), となり、負の数の対数は存在しないためです。このような場合には、連鎖法則を適用する前に、考える x の値が余弦関数を正に保つ範囲に属することを明示し（すなわち、合成が適合するようにし）、そのうえで初めて連鎖法則が成立することを確認しなければなりません。
連鎖法則から得られる有用な結果
連鎖法則は、他の方法では計算が非常に困難になる導関数の計算を容易にするだけでなく、多くの関数に対して微分の技法を拡張する際にも役立ちます。以下では、これらの技法とその結果、さらに証明を確認していきます。
逆関数定理
f を全単射（双射） とし、ある区間 I\subseteq \mathbb{R} で微分可能とします。連鎖法則を用いることで、恒等写像 (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. の導関数の計算が可能になります。計算すると次の結果が得られます：
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
ここから df^{-1}(f(x))/df(x) を解くと、次のようになります：
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
これは導関数の計算における逆関数定理として知られています。文献では、この定理が次の形で書かれることがよくあります：
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
これら 2 つの形式は等価であり、単に y=f(x)、x=f^{-1}(y). と書き換えたものに対応しています。
ここまでで逆関数定理の内容を概観しました。次に、この定理をどのように活用して、通常ではかなり難しい導関数を計算できるかを見ていきます。
指数関数の導関数
基本的な微分技法を学んだとき、 次の公式を見ました：
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
この結果と逆関数定理を用いると、次を示すのは容易です：
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
証明：
y=\ln(x) は x=e^y と言うことと同値です。よって、逆関数定理を適用すると次が成り立ちます：
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
つまり：
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
この最後の式において、”y” を “x” に置き換えれば、示すべき式が得られます：
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
逆三角関数の導関数
逆関数定理 は、逆三角関数すべての導関数を求める際にも利用できます。結果は次のとおりです：
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
証明
アークサイン
証明を表示関数 \sin(x) は、その定義域を \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right]（ただし k は任意の整数）に制限すれば単射かつ全射（双射）となります。一般性を失うことなく主値領域 k=0 の場合に限定すると、双射となる正弦関数は次のようになります：
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
このとき、次の関係が成立します：
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
逆関数定理を適用すると次が得られます：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
ここで、三角恒等式
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
を思い出すと、x\in [-\pi/2, \pi/2] であれば次が成り立ちます：
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
これを先ほどの式に代入すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
さらに y=\sin(x) を用いて：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
最後に、この式の “y” を “x” に置き換えると、示すべき結論が得られます：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
アークコサイン
証明を表示関数 \cos(x) は、その定義域を \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]（ただし k は任意の整数）に制限すれば双射となります。一般性を失うことなく主値領域 k=0 の場合に限定すると、双射となる余弦関数は次のようになります：
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
このとき、次の関係が成立します：
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
逆関数定理を適用すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
次に三角恒等式
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
より、x\in [0, \pi] のとき：
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
これを代入すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
さらに y=\cos(x) であるから：
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
最後に、”y” を “x” に置き換えると示すべき式が得られます：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
アークタンジェント
証明を表示関数 \tan(x) は、その定義域を \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right]（ただし k は任意の整数）に制限すれば双射となります。一般性を失うことなく主値領域 k=0 に限定すると、双射となる正接関数は次のようになります：
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
このとき、次の関係が成立します：
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
逆関数定理を適用すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
さらに、三角恒等式
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
より：
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
これを代入すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
さらに y=\tan(x) を用いると：
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
最後に、この式の “y” を “x” に置き換えれば、示すべき結果が得られます：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
アークコタンジェント
証明を表示関数 cot(x) は、その定義域を \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]（ただし k は任意の整数）に制限すれば双射となります。一般性を失うことなく主値領域 k=0 の場合に限定すると、双射となる余接関数は次のようになります：
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
このとき次が成立します：
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
逆関数定理を適用すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
次に三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
より：
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
これを代入すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
さらに y=ctg(x) を使うと：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
最後に、この式の “y” を “x” に置き換えると：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
アークセカント
証明を表示関数 \sec(x) は、その定義域を \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}（ただし k は任意の整数）に制限すれば双射となります。一般性を失うことなく主値領域 k=0 に限定すると、双射となる正割関数は次のようになります：
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
このとき、次が成立します：
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
逆関数定理を適用すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
次に三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
より：
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
これを代入すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
さらに y=\sec(x) を用いると：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
最後に、この式の “y” を “x” に置き換えれば、示すべき結果が得られます：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
アークコセカント
証明を表示関数 \csc(x) は、その定義域を \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\}（ただし k は任意の整数）に制限すれば双射となります。一般性を失うことなく主値領域 k=0 に限定すると、双射となる余割関数は次のようになります：
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
このとき次が成立します：
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
逆関数定理を適用すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
次に三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
より：
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
これを代入すると：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
さらに y=\csc(x) を使うと：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
最後に、この式の “y” を “x” に置き換えれば、示すべき結果が得られます：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
陰関数の微分
これまで計算してきた導関数はすべて、明示的に定義された関数 y=f(x) に対して行ってきました。しかし、変数同士の関係が与えられても、関数を陽的に解くことが難しい場合や、そもそも解けない場合があります。このような状況で役立つのが陰関数の微分であり、その基礎にもやはり連鎖法則が存在します。
この技法を理解するには、証明よりも例を見る方がはるかに有益です。そこで、変数 x と y の関係が次の等式で与えられている場合を考えましょう。
x^3 +y^3- 9xy=0
この関係をグラフにすると、それはどのような関数のグラフでもなく、「デカルトの葉（hoja de Descartes）」と呼ばれる曲線になります。
さて、例えば y を x で微分したいとします。このとき、方程式 y=f(x) を満たす明示的な関数を求めることは非常に困難であり、その後で微分するのは事実上不可能です。しかし、実際にはその段階を省略し、y が x の関数であると暗黙に仮定します。つまり y=y(x) とするのです。こうすると、デカルトの葉に対する関係式は次のようになります：
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
したがって、連鎖法則を用いれば全体を微分できます。これを実行すると次の結果に到達します：
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
これを用いれば、曲線上のある点が分かっているとき、その点における接線の傾きを求めることができます。例えば、グラフから点 (2,4) が曲線上にあると推測できます。実際、2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0 なので確かに曲線上にあります。これを知れば、その点を通る接線の傾きは：
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
有理べきの導関数
陰関数微分を使えば、基本的な微分技法の一つである f(x)=x^n（ただし n\in\mathbb{Z}）を有理数にまで拡張でき、次の公式が容易に導かれます：
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
ここで、p,q\in\mathbb{Z} かつ q\neq 0 です。
これを示すには、まず y=x^{p/q} と置き、自然対数をとれば：
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
次に、この式を陰微分すると：
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}
\displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
演習問題集：
1 変数の連鎖法則
- 次の関数の導関数を求めよ：
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - 次の関数の導関数を求めよ：
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)