Regla de la Cadena para la derivada de la composición de funciones
Con lo que hemos visto hasta ahora, ya tenemos todo lo básico para calcular casi cualquier derivada. Sin embargo, debemos distinguir entre la posibilidad de calcular una derivada y el esfuerzo que invertimos en realizar tales cuentas, y aquí es donde entran en juego los teoremas como el de la regla de la cadena para el cálculo de una variable. La regla de la cadena nos permitirá calcular rápidamente derivadas que de otra forma implicarían un trabajo bastante tedioso y complicado.
INDICE DE CONTENIDOS
El teorema de la regla de la cadena en una variable real
Demostración de la regla de la cadena
Ejemplos de uso de la regla de la cadena en funciones de una variable
Precaución a tener en cuenta frente a la regla de la cadena
Resultados útiles obtenidos a partir de la regla de la cadena
Teorema de la función inversa
Derivada de la función exponencial
Derivada de las Trigonométricas Inversas
Derivación Implícita
Derivadas de potencias racionales
Derivadas de potencias racionales
Guía de Ejercicios
El teorema de la regla de la cadena en una variable real
Sean f y g dos funciones susceptibles de composición
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
Si f es derivable en A y g es derivable en B, entonces la función compuesta g\circ f es derivable para todos los x\in A y valdrá la fórmula
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
Demostración de la regla de la cadena
Consideremos las funciones f y g tal y como las definidas anteriormente. Si calculamos la derivada de la composición entonces se tendrá
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
Que es lo que se quería demostrar.
Ejemplos de uso de la regla de la cadena en funciones de una variable
Algo que queda claro, al menos a primera vista, pero que no lo es tanto desde una perspectiva operacional, es el hecho de que la regla de la cadena nos está diciendo que cuando nos encontramos con una composición de funciones, podemos derivar «de afuera hacia adentro». Para explicar esto de una forma que sea fácil de entender, los ejemplos son por lejos el camino más rápido.
- Si nos piden derivar f(x) = (2x^2+1)^{12} primero desarrollaríamos las potencias y luego aplicaríamos la derivada de la potencia sobre cada una de las partes de ese gran polinomio que habríamos obtenido como resultado. Un trabajo innecesariamente extenuante. Con la regla de la cadena el cálculo de la derivada se puede hacer en pocas líneas:
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- Intenta calcular la derivada de g(x) = \sin(\cos(x)) sólo con las técnicas básicas de derivación y enfrenta al sufrimiento eterno. Hazlo usando la regla de la cadena y el resultado aparecerá sin lágrimas y en pocos pasos:
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- También puedes calcular la derivada de funciones que son la composición de muchas funciones. Si f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), la derivada de df/dx te queda como:
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
Como puedes ver, aplicar la regla de la cadena es simplemente derivar encadenadamente desde afuera hasta dentro.
Precaución a tener en cuenta frente a la regla de la cadena
En la literatura, todos muestran los grandes beneficios de usar la regla de la cadena, pero muy pocos son enfáticos en las precauciones que se deben tomar antes de utilizarla. A pesar de la potencia de este teorema, siempre debes prestar mucha atención a los dominios y recorridos de las funciones antes de aplicar la regla de la cadena. Antes de trabajar debes asegurarte de que los dominios y recorrido de las funciones sean compatibles para la composición; porque si no lo haces, corres el riesgo de calcular derivadas donde no existen. Si derivas, por ejemplo, una función del estilo
f(x)=\ln(\cos(x))
si confias ciegamente en la regla de la cadena, harás cálculos como el siguiente:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
Claramente la función tangente esta bien definida para un valor de x=2\pi/3, porque su valor es \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3}. Pero, la función f(x)=\ln(\cos(x)) no está bien definida ahí porque f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), y no existe el logaritmo de números negativos! En casos como esto es necesario indicar, antes de aplicar la regla de la cadena, que los valores de x a considerar son tales que mantienen positiva a la función coseno (de modo tal que se asegure la compatibilidad bajo composición) y sólo entonces valdrá la regla de la cadena.
Resultados útiles obtenidos a partir de la regla de la cadena
La regla de la cadena no sólo es útil para lograr cálculos de derivadas que de otra forma serían insufribles, es útil también para expandir aún más las técnicas de derivación a muchas otras funciones. A continuación, revisaremos esas técnicas, sus resultados y demostraciones
Teorema de la función inversa
Sea f una función biyectiva y derivable en algún intervalo I\subseteq \mathbb{R}. Utilizando la regla de la cadena es factible el cálculo de la derivada de la función identidad (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. Las cuentas dan el siguiente resultado:
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
A partir de esto se puede despejar df^{-1}(f(x))/df(x) y se tiene como resultado:
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
Esto es lo que se conoce como el teorema de la función inversa para el cálculo de las derivadas. En la literatura es común ver este teorema escrito en la forma
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
Ambas formas de expresar el teorema de la función inversa son equivalentes y se obtienen de escribir y=f(x) y x=f^{-1}(y).
Hasta aquí hemos visto todo lo que se puede decir sobre lo que trata el teorema de la función inversa, ahora veremos cómo lo podemos utilizar para calcular algunas derivadas que de otra forma sería bastante difícil.
Derivada de la función exponencial
Cuando estudiamos las técnicas básicas de derivación vimos que
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
Con este resultado y el teorema de la función inversa es facil probar que
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
DEMOSTRACIÓN:
Es claro que y=\ln(x) es equivalente a decir que x=e^y. Luego, aplicando el teorema de la función inversa se tiene:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
Es decir:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
Si en esta ultima expresión remplazamos las «y» por «x», obtenemos lo que se quería demostrar:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
Derivada de las Trigonométricas Inversas
El teorema de la función inversa también nos permitirá obtener las derivadas; de todas las inversas trigonométricas. Estas son:
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
DEMOSTRACIÓN
Arco seno
Mostrar DemostraciónLa función \sin(x) es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], siendo k un entero cualquiera. Sin pérdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde k=0, de modo que la función seno biyectivo será de la forma
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
y bajo estas condiciones se cumple que
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
Si aplicamos el teorema de la función inversa se tiene:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
Ahora, recordemos la identidad trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
de donde se infiere que, si x\in [-\pi/2, \pi/2], entonces se cumple
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco seno se llegará a la expresión
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
Y como y=\sin(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Finalmente, sustituyendo las «y» por «x» en esta última expresión llegamos a lo que se quería demostrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arco coseno
Mostrar DemostraciónLa función \cos(x) es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], siendo k un entero cualquiera. Sin pérdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde k=0, de modo que la función coseno biyectivo será de la forma
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
y bajo estas condiciones se cumple que
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
Si aplicamos el teorema de la función inversa se tiene:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
Ahora, recordemos la identidad trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
de donde se infiere que, si x\in [0, \pi], entonces se cumple
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco coseno se llegará a la expresión
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
Y como y=\cos(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Finalmente, sustituyendo las «y» por «x» en esta última expresión llegamos a lo que se quería demostrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arco tangente
Mostrar DemostraciónLa función \tan(x) es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], siendo k un entero cualquiera. Sin perdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde k=0, de modo que la función coseno biyectivo será de la forma
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
y bajo estas condiciones se cumple que
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
Si aplicamos el teorema de la función inversa se tiene:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
Ahora, recordemos la identidad trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
de donde se infiere que
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco tangente se llegará a la expresión
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
Y como y=\tan(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
Finalmente, sustituyendo las «y» por «x» en esta última expresión llegamos a lo que se quería demostrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
Arco cotangente
Mostrar DemostraciónLa función cot(x) es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], siendo k un entero cualquiera. Sin pérdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde k=0, de modo que la función cotangente biyectivo será de la forma
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
y bajo estas condiciones se cumple que
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
Si aplicamos el teorema de la función inversa se tiene:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
Ahora, recordemos la identidad trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
de donde se infiere que
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco cotangente se llegará a la expresión
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
Y como y=ctg(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
Finalmente, sustituyendo las «y» por «x» en esta última expresión llegamos a lo que se quería demostrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
Arco secante
Mostrar DemostraciónLa función \sec(x) es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, siendo k un entero cualquiera. Sin perdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde k=0, de modo que la función secante biyectivo será de la forma
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
y bajo estas condiciones se cumple que
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
Si aplicamos el teorema de la función inversa se tiene:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
Ahora, recordemos la identidad trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
de donde se infiere que
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco secante se llegará a la expresión
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
Y como y=\sec(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
Finalmente, sustituyendo las «y» por «x» en esta última expresión llegamos a lo que se quería demostrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Arco cosecante
Mostrar DemostraciónLa función \csc(x) es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\}, siendo k un entero cualquiera. Sin perdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde k=0, de modo que la función cosecante biyectivo será de la forma
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
y bajo estas condiciones se cumple que
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
Si aplicamos el teorema de la función inversa se tiene:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
Ahora, recordemos la identidad trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
de donde se infiere que
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco cosecante se llegará a la expresión
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
Y como y=\csc(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
Finalmente, sustituyendo las «y» por «x» en esta última expresión llegamos a lo que se quería demostrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Derivación Implícita
Todas las derivadas que hemos calculado hasta ahora se han realizado sobre funciones que se han definido de forma explícita: y=f(x). Sin embargo, hay situaciones en que a partir de la relación entre variables, o no es sencillo obtener la expresión explicita de la función, o simplemente tal tarea no es realizable. Para este tipo de casos es que sirve la técnica de la derivación implícita y sus fundamentos se encuentran, una vez mas, en la regla de la cadena.
Para entender esta técnica valen más los ejemplos que las demostraciones, así que consideremos la relación entre las variables x e y dada por la ecuación
x^3 +y^3- 9xy=0
Si graficamos esta relación nos daremos cuenta de que no es el gráfico de ninguna función. Es el gráfico de una curva llamada «hoja de Descartes».
Ahora, si quisiéramos calcular, por ejemplo: la derivada de y con respecto a x, entonces tendríamos serias dificultades con encontrar de forma explicita expresión f(x) que satisface la ecuación y=f(x) para luego derivar. Lo que hacemos, sin embargo, es saltarnos ese paso y asumimos implícitamente que y es función de x, es decir: y=y(x). Haciendo esto, la relación de la hoja de Descartes se transforma en:
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
Y podemos, en consecuencia, derivar todo utilizando la regla de la cadena. Si lo hacemos, llegaremos al siguiente resultado:
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
A partir de esto podemos calcular, si conocemos un punto de la curva, la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto. Por ejemplo, a partir del gráfico podemos intuir que el punto (2,4) está sobre la curva; y de hecho, esto se corrobora porque 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. Sabiendo esto podemos decir rápidamente que la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto será:
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
Derivadas de potencias racionales
Derivando implícitamente es posible ampliar el alcance de una de las técnicas básicas de derivación. Esta es la derivada de funciones del tipo f(x)=x^n, con n\in\mathbb{Z}. Ahora podemos pasar de considerar enteros a racionales y demostrar sin dificultad que
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
Donde p,q\in\mathbb{Z} y q\neq 0.
Para demostrar esto decimos: sea y=x^{p/q} y le aplicamos logaritmo natural para obtener:
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
Ahora, derivando implícitamente esta expresión se tendrá
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
Guía de Ejercicios:
Regla de la Cadena Una Variable
- Calcule las derivadas del siguiente grupo de funciones:
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - Calcule la derivada del siguiente grupo de funciones:
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)