函数复合求导的链式法则
根据前面所学的内容，我们已经具备计算几乎任意导数的基本工具。然而，能够计算导数与为此投入的计算工作量是两回事，而这正是诸如单变量链式法则等定理发挥作用的地方。链式法则能帮助我们快速求出一些原本需要耗费大量繁琐计算才能得到的导数。
内容索引
单变量链式法则定理
链式法则的证明
单变量链式法则的应用示例
应用链式法则时需注意的事项
由链式法则推导出的有用结果
反函数定理
指数函数的导数
反三角函数的导数
隐函数求导
有理幂函数的导数
有理幂函数的导数
练习指南
单变量链式法则定理
设 f 与 g 为两个 可复合的函数
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
若 f 在 A 上可导，且 g 在 B 上可导，则复合函数 g\circ f 在所有 x\in A 上可导，并满足公式
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
链式法则的证明
考虑函数 f 与 g，其定义如前。若计算复合函数的导数，则有
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
这正是所要证明的。
单变量函数中链式法则的应用示例
至少从表面上看似乎显而易见的事情， 但从运算角度来看却并非如此，即链式法则告诉我们：当面对函数的复合时，可以“由外向内”求导。为了以更直观的方式说明这一点，示例无疑是最快的途径。
- 若要求对 f(x) = (2x^2+1)^{12} 求导，按照基本方法我们必须先展开幂次，再对得到的巨大多项式逐项求导，这是完全没有必要且极为繁琐的工作。利用链式法则，计算可以在几行内完成：
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- 试着仅用最基本的求导技巧计算 g(x) = \sin(\cos(x)) 的导数，你将坠入永恒的痛苦之中。但若运用链式法则，结果将轻松且无泪地在数步内出现：
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- 你也可以求导那些由多重函数复合而成的函数。若 f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), 则其导数 df/dx 为：
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
正如你所见，应用链式法则就是由外向内逐层求导。
应用链式法则时需注意的事项
在文献中，大家普遍强调 使用链式法则的巨大优势，但很少有人明确强调在使用之前必须注意的事项。尽管该定理非常强大，你在应用链式法则前仍需特别注意各函数的定义域和值域。如果不先确认这些集合在复合时是兼容的，就有可能试图计算在某些点上并不存在的导数。例如，对于函数
f(x)=\ln(\cos(x))
如果盲目信赖链式法则，你可能会进行如下计算：
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
显然，正切函数在 x=2\pi/3 处是有定义的，其值为 \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3}。然而，函数 f(x)=\ln(\cos(x)) 在该点并无定义，因为 f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), 而负数是没有对数的！在此类问题中，必须在应用链式法则之前指出：所考虑的 x 值必须保证余弦函数为正（以确保复合的可行性），只有在此条件满足时链式法则才真正适用。
由链式法则推导出的有用结果
链式法则不仅能帮助我们完成原本极为繁琐的求导任务，还能用于扩展求导技巧，使其适用于更多类型的函数。下面我们将回顾这些技巧、结论及其证明。
反函数定理
设 f 是一个双射函数， 且在某区间 I\subseteq \mathbb{R} 上可导。利用链式法则可以计算恒等函数的导数，即 (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. 其计算得到：
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
由此可以解出 df^{-1}(f(x))/df(x)，得到：
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
这就是用于求导的反函数定理。在文献中，经常可以看到它写成：
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
两种表达方式是等价的，只需写出 y=f(x) 与 x=f^{-1}(y).
到此为止，我们已解释完反函数定理的内容。下面将展示如何利用该定理来计算一些否则十分困难的导数。
指数函数的导数
在之前学习基本求导技巧时， 我们已经看到：
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
利用这一结果及反函数定理，可以轻松证明：
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
证明：
显然 y=\ln(x) 等价于 x=e^y. 于是，根据反函数定理：
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
Es decir:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
Si en esta ultima expresión remplazamos las “y” por “x”, obtenemos lo que se quería demostrar:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
反三角函数的导数
反函数定理 也可以用来求出所有反三角函数的导数。它们为：
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
证明
反正弦函数
Mostrar Demostración函数 \sin(x) 在将其定义域限制为形如 \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], 的区间（其中 k 为任意整数）时为双射。无需失一般性，我们可只考虑主值区间，即 k=0，此时双射的正弦函数为：
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
在此条件下，有：
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
应用反函数定理可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
回忆三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
由此可推知，当 x\in [-\pi/2, \pi/2] 时：
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
将其代入反正弦导数中得到：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
而由于 y=\sin(x)，则：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
最后，将此式中的 “y” 换为 “x” 即得到所要证明的结果：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
反余弦函数
Mostrar Demostración函数 \cos(x) 在将其定义域限制为形如 \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], 的区间（其中 k 为任意整数）时为双射。无需失一般性，我们可只考虑主值区间，即 k=0，此时双射的余弦函数为：
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
在此条件下，有：
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
应用反函数定理可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
回忆三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
由此可推知，当 x\in [0, \pi] 时：
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
将其代入反余弦导数可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
由于 y=\cos(x)，则：
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
最后，将“y”换为“x”即可得到所要证明的结果：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
反正切函数
Mostrar Demostración函数 \tan(x) 在将其定义域限制为形如 \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], 的区间（其中 k 为任意整数）时为双射。无需失一般性，我们可只考虑主值区间，即 k=0，此时双射的正切函数为：
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
在此条件下，有：
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
应用反函数定理可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
回忆三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
从而有：
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
将其代入反正切导数可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
由于 y=\tan(x)，则：
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
最后，将此式中的“y”换为“x”即可得到所要证明的结果：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
反余切函数
Mostrar Demostración函数 cot(x) 在将其定义域限制为形如 \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], 的区间（其中 k 为任意整数）时为双射。无需失一般性，我们可只考虑主值区间，即 k=0，此时双射的余切函数为：
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
在此条件下，有：
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
应用反函数定理可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
回忆三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
由此可推知：
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
将其代入反余切导数可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
由于 y=ctg(x)，则：
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
最后，将“y”换为“x”即可得到所要证明的结果：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
反正割函数
Mostrar Demostración函数 \sec(x) 在将其定义域限制为形如 \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, 的集合（其中 k 为任意整数）时为双射。无需失一般性，我们可只考虑主值区间，即 k=0，此时双射的正割函数为：
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
在此条件下，有：
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
应用反函数定理可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
回忆三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
由此可推知：
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
将其代入反正割导数可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
由于 y=\sec(x)，则：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
最后，将此式中的“y”换为“x”即可得到所要证明的结果：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
反余割函数
Mostrar Demostración函数 \csc(x) 在将其定义域限制为形如 \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\} 的区间（其中 k 为任意整数）时为双射。无需失一般性，我们可只考虑主值区间，即 k=0，此时双射的余割函数为：
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
在此条件下，有：
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
应用反函数定理可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
回忆三角恒等式：
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
由此可推知：
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
将其代入反余割导数可得：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
由于 y=\csc(x)，则：
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
最后，将此式中的“y”换为“x”即可得到所要证明的结果：
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
隐函数求导
到目前为止，我们所计算的导数都对应于以显式方式定义的函数：y=f(x)。然而，在某些情形下，由于变量之间的关系，想要得到函数的显式表达式要么非常困难，要么根本无法做到。在这种情况下，隐式求导技术便派上用场，而其基础同样源于链式法则。
为了理解这种技巧，示例往往比证明更有效，因此考虑由方程给出的变量 x 与 y 之间的关系：
x^3 +y^3- 9xy=0
若将其作图，可以发现它并不是某个函数的图像，而是一条称为“笛卡尔叶线”的曲线。
Ahora, si quisiéramos calcular, por ejemplo: la derivada de y con respecto a x, entonces tendríamos serias dificultades con encontrar de forma explicita expresión f(x) que satisface la ecuación y=f(x) para luego derivar. Lo que hacemos, sin embargo, es saltarnos ese paso y asumimos implícitamente que y es función de x, es decir: y=y(x). Haciendo esto, la relación de la hoja de Descartes se transforma en:
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
Y podemos, en consecuencia, derivar todo utilizando la regla de la cadena. Si lo hacemos, llegaremos al siguiente resultado:
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
A partir de esto podemos calcular, si conocemos un punto de la curva, la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto. Por ejemplo, a partir del gráfico podemos intuir que el punto (2,4) está sobre la curva; y de hecho, esto se corrobora porque 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. Sabiendo esto podemos decir rápidamente que la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto será:
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
有理数幂的导数
通过隐式求导，我们可以扩展基本求导技巧之一——即对 f(x)=x^n（其中 n\in\mathbb{Z}）求导的方法。现在我们可以将整数指数推广到有理指数，并容易证明：
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
其中 p,q\in\mathbb{Z} 且 q\neq 0。
为证明此式，设 y=x^{p/q}，并取自然对数，得到：
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
对该式进行隐式求导可得：
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
练习指南：
单变量链式法则
- 计算下列函数的导数：
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - 计算下列函数的导数：
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)