Dérivées des polynômes, fonctions trigonométriques et logarithme
La dérivée est un outil central du calcul différentiel, avec des applications fondamentales dans les sciences, l’ingénierie et l’économie. Cet article propose un guide progressif pour maîtriser la dérivation de fonctions, allant des polynômes aux fonctions trigonométriques et logarithmiques. À travers des démonstrations et des exemples concrets, il s’agit de comprendre à la fois l’application des règles et leur fondement.
Objectifs d’apprentissage
- Comprendre le concept général de dérivée et ses propriétés fondamentales.
- Appliquer la définition formelle de la dérivée pour calculer des dérivées de base.
- Démontrer à l’aide de limites la dérivée des fonctions constantes et de la fonction identité.
- Obtenir les règles de dérivation des fonctions trigonométriques à partir des dérivées fondamentales du sinus et du cosinus.
- Calculer les dérivées de fonctions trigonométriques composées en utilisant des règles algébriques.
- Démontrer formellement la dérivée du logarithme naturel à l’aide de limites.
TABLE DES MATIÈRES :
Dérivée des fonctions algébriques
Dérivées des fonctions transcendantes
Jusqu’à présent, nous avons seulement examiné ce qu’est une dérivée et quelques-unes de ses propriétés algébriques, mais nous n’avons encore rien dit sur la manière de les calculer. Nous allons ici résoudre ce problème en montrant chacune des techniques de dérivation et comment elles sont obtenues dans chaque cas.
Dérivée des fonctions algébriques
Fonction constante
Si f(x) = c, avec c une constante réelle quelconque, alors on a :
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{d}{dx}c = 0
DÉMONSTRATION : En réalité, cette démonstration se fait en une seule étape :
\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}c &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{c - c}{\Delta x} \quad \text{; Définition de la dérivée de $f(x)=c$} \\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{0}{\Delta x} = 0 \end{array}
Fonction identité
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx}{dx}=1
DÉMONSTRATION : Presque identique à la précédente, elle se fait également en une seule étape :
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x &= \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} \quad \text{; Définition de la dérivée pour $f(x) = x$}\\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1 \end{array}
Puissances naturelles
Si f(x) = x^n, où n est un entier naturel quelconque, alors on aura :
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx^n}{dx} =nx^{n-1}
DÉMONSTRATION : Pour démontrer ce théorème, nous devons utiliser le théorème du binôme de Newton
\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n -x^n}{\Delta x} &\text{ ; Définition de la limite pour $f(x)= x^n$} \\ \\ & \displaystyle \phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{ ; Théorème du binôme de Newton appliqué à (1)} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle x^n + \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{ ; Séparation du premier terme de la somme} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right]}{\Delta x} & \text{ ; Annulation des termes similaires} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[ {{n}\choose{1}} x^{n-1}(\Delta x)^{0} + \sum_{k=2}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \text{ ; Extraction du premier terme de la somme} \\ \\ & \displaystyle \color{blue} {\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} = n x^{n-1} & \color{black} \end{array}
Puissances entières
La démonstration précédente ne justifie que le cas où les puissances sont des nombres naturels, mais elle peut être étendue à n’importe quel entier. Si a\in \mathbb{Z}, alors on aura :
\displaystyle \frac{dx^a}{dx} = ax^{a-1}
Nous savons déjà que cela fonctionne pour les entiers positifs ; il suffit donc d’examiner ce qui se passe lorsqu’on considère des puissances négatives. Il est donc suffisant de montrer que :
\displaystyle \frac{dx^{-n}}{dx} = {-n}x^{-n-1}
DÉMONSTRATION : Pour cela, il suffit de considérer la dérivée d’un quotient :
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x^{-n} &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x^n}\right) \\ \\ & &= \dfrac{0 \cdot nx^{n-1} - nx^{n-1} \cdot 1}{x^{2n}}\\ \\ & &= -nx^{n-1-2n} \\ \\ & &= -nx^{-n-1} \end{array}
Dérivées des fonctions transcendantes
Fonctions trigonométriques
Celles-ci regroupent les règles de dérivation suivantes :
| \displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x) |
| \displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x) |
| \displaystyle \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x) |
Pour obtenir chacune de ces règles, le meilleur chemin est de commencer par les dérivées du sinus et du cosinus ; puis, à partir de ces résultats, en utilisant l’algèbre des dérivées, on peut obtenir celles des autres fonctions trigonométriques.
Démonstration de la dérivée du sinus
\begin{array}{rll} (1) &\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} & \text{; Définition de la dérivée du sinus} \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(\Delta x) + \sin(\Delta x)\cos(x) - \sin(x)}{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin(x)\left[\cos(\Delta x) -1\right] + \sin(\Delta x)\cos(x) }{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0} \left[\dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \right] & \\ \\ (2)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} = 1 & \text{; Par le théorème du Sandwich} \\ \\ (3)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \cdot \dfrac{\cos(\Delta x) + 1}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos^2(\Delta x) - 1}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-\sin^2(\Delta x)}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- (1)\cdot(0) = 0 \\ \\ (4) &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \color{black} & \text{; D’après (1,2,3)} \end{array}
Démonstration de la dérivée du cosinus
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}\cos(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x + \Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} & \text{; Définition de la dérivée du cosinus} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x)\cos(\Delta x) - \sin(x)\sin(\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x) [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ [ \cos(\Delta x) - 1]}{\Delta x} - \sin(x) \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \cdot(0) - \sin(x)\cdot (1)\\ \\ &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\cos(x) = - \sin(x) \color{black} \end{array}
Dérivées de la tangente, sécante, cosécante et cotangente
Ayant obtenu les résultats pour le sinus et le cosinus, les dérivées des autres fonctions trigonométriques s’obtiennent désormais facilement.
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\tan(x) &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = \color{blue}\sec^2(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\sec(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)} =\color{blue}\sec(x)\tan(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\csc(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\sin(x)}\right) = -\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)} =\color{blue} - \csc(x)\cot(x)\color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx} \cot(x) &= \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = \dfrac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\dfrac{1}{\sin^2(x)} =\color{blue} -\csc^2(x)\color{black} \end{array}
Dérivée des fonctions logarithmiques
La dérivée du logarithme naturel est donnée par :
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
DÉMONSTRATION : En raisonnant à partir de la définition de la dérivée, on obtient le raisonnement suivant :
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left [\dfrac{\ln(x+\Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} \right] &\text{; Définition de la dérivée du logarithme naturel} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{\Delta x} \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right) \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\color{red}x\color{black}} \frac{\color{red}x\color{black}}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{x} \ln \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} =\dfrac{1}{x} \ln \displaystyle \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ (2) & n=\dfrac{x}{\Delta x} & \text{; Substitution} \\ \\ (3) & (\Delta x \to 0^+) \longrightarrow (n\to +\infty) \\ \\ (4) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \ln\left[ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right] = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \color{blue}\dfrac{1}{x} \color{black} & \text{; D’après (1,2,3)} \end{array}
Nous avons ainsi parcouru, étape par étape, les dérivées fondamentales que tout étudiant doit maîtriser : des fonctions algébriques de base jusqu’aux principales fonctions transcendantes telles que les fonctions trigonométriques et le logarithme naturel. En maîtrisant ces démonstrations, vous serez en mesure d’appliquer les règles de dérivation, de comprendre leur origine ainsi que leur justification formelle. Cette connaissance constitue la base nécessaire pour aborder avec confiance des problèmes plus complexes nécessitant une analyse précise du changement.