Производные многочленов, тригонометрических функций и логарифма

Производная является центральным инструментом дифференциального исчисления, с фундаментальными приложениями в науке, инженерии и экономике. Данная статья представляет собой пошаговое руководство по освоению процесса дифференцирования функций — от многочленов до тригонометрических и логарифмических функций. Посредством доказательств и конкретных примеров стремимся понять как применение правил, так и их обоснование.

Цели обучения

1. Понять общее понятие производной и её фундаментальные свойства.
2. Применять формальное определение производной для вычисления базовых производных.
3. Доказывать с помощью пределов производную постоянных функций и функции идентичности.
4. Вывести правила дифференцирования тригонометрических функций, начиная с производных синуса и косинуса.
5. Вычислять производные сложных тригонометрических функций с использованием алгебраических правил.
6. Доказывать строгое выражение производной натурального логарифма с помощью пределов.

СОДЕРЖАНИЕ:
Производная алгебраических функций
Производные трансцендентных функций

До настоящего момента мы лишь рассмотрели, что такое производная, и некоторые её алгебраические свойства, но пока ничего не сказали о методах её вычисления. Здесь мы решим эту задачу, показав каждую из техник дифференцирования и способы их получения для каждого случая.

Производная алгебраических функций

Постоянная функция

Если f(x) = c, где c — произвольная действительная константа, тогда имеем:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{d}{dx}c = 0

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: На самом деле это доказательство выполняется всего в один шаг:

\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}c &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{c - c}{\Delta x} \quad \text{; определение производной $f(x)=c$} \\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{0}{\Delta x} = 0 \end{array}

Функция идентичности

Если f(x) = x, тогда:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx}{dx}=1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Почти как в предыдущем случае, также получается в один шаг:

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x &= \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} \quad \text{; определение производной для $f(x) = x$}\\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1 \end{array}

Натуральные степени

Если f(x) = x^n, где n — произвольное натуральное число, тогда имеем:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx^n}{dx} =nx^{n-1}

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Чтобы доказать эту теорему, необходимо использовать биниомиальную теорему Ньютона

\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n -x^n}{\Delta x} &\text{ ; определение предела для $f(x)= x^n$} \\ \\ & \displaystyle \phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{; бином Ньютона, применённый к (1)} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle x^n + \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{; выделяя первый член суммы} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right]}{\Delta x} & \text{; сокращая подобные члены} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[ {{n}\choose{1}} x^{n-1}(\Delta x)^{0} + \sum_{k=2}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \text{; выделяя первый член суммы} \\ \\ & \displaystyle \color{blue} {\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} = n x^{n-1} & \color{black} \end{array}

Целые степени

Приведённое выше доказательство обосновывает случай, когда степень является натуральным числом, но оно может быть обобщено на любые целые числа. Если a\in \mathbb{Z}, тогда выполняется:

\displaystyle \frac{dx^a}{dx} = ax^{a-1}

Мы уже знаем, что это работает для положительных целых чисел; нам остаётся рассмотреть, что происходит, когда степень отрицательна. Достаточно, следовательно, показать, что выполняется:

\displaystyle \frac{dx^{-n}}{dx} = {-n}x^{-n-1}

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Для этого достаточно рассмотреть производную частного:

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x^{-n} &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x^n}\right) \\ \\ & &= \dfrac{0 \cdot nx^{n-1} - nx^{n-1} \cdot 1}{x^{2n}}\\ \\ & &= -nx^{n-1-2n} \\ \\ & &= -nx^{-n-1} \end{array}

Производные трансцендентных функций

Тригонометрические функции

Они охватывают следующие правила дифференцирования:

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x)
\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x)
\displaystyle \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x)

Чтобы получить каждое из этих правил, наилучший путь — начать с производных синуса и косинуса, а затем, используя алгебру производных, вывести остальные тригонометрические производные.

Доказательство производной синуса

\begin{array}{rll} (1) &\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} & \text{; определение производной синуса} \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(\Delta x) + \sin(\Delta x)\cos(x) - \sin(x)}{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin(x)\left[\cos(\Delta x) -1\right] + \sin(\Delta x)\cos(x) }{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0} \left[\dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \right] & \\ \\ (2)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} = 1 & \text{; по теореме «бутерброда» (сандвича)}\\ \\ (3)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \cdot \dfrac{\cos(\Delta x) + 1}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos^2(\Delta x) - 1}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-\sin^2(\Delta x)}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- (1)\cdot(0) = 0 \\ \\ (4) &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \color{black} & \text{; из (1,2,3)} \end{array}

Доказательство производной косинуса

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}\cos(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x + \Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} & \text{; определение производной косинуса} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x)\cos(\Delta x) - \sin(x)\sin(\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x) [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ [ \cos(\Delta x) - 1]}{\Delta x} - \sin(x) \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \cdot(0) - \sin(x)\cdot (1)\\ \\ &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\cos(x) = - \sin(x) \color{black} \end{array}

Производные тангенса, секанса, косеканса и котангенса

Имея результаты для синуса и косинуса, вычисление производных остальных тригонометрических функций становится простым.

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\tan(x) &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = \color{blue}\sec^2(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\sec(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)} =\color{blue}\sec(x)\tan(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\csc(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right) = -\dfrac{cos(x)}{\sin^2(x)} =\color{blue} - \csc(x)\cot(x)\color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx} \cot(x) &= \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = \dfrac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\dfrac{1}{\sin^2(x)} =\color{blue} -\csc^2(x)\color{black} \end{array}

Производная логарифмических функций

Производная натурального логарифма задаётся следующим образом:

\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассуждая, исходя из определения производной, получаем следующий вывод:

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left [\dfrac{\ln(x+\Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} \right] &\text{; определение производной натурального логарифма} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{\Delta x} \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right) \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\color{red}x\color{black}} \frac{\color{red}x\color{black}}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{x} \ln \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} =\dfrac{1}{x} \ln \displaystyle \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ (2) & n=\dfrac{x}{\Delta x} & \text{; подстановка}\\ \\ (3) & (\Delta x \to 0^+) \longrightarrow (n\to +\infty) \\ \\ (4) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \ln\left[ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right] = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \color{blue}\dfrac{1}{x} \color{black} & \text{; из (1,2,3)} \end{array}

Таким образом, мы пошагово рассмотрели основные производные, которые должен освоить каждый студент: от простейших алгебраических функций до важнейших трансцендентных функций, таких как тригонометрические функции и натуральный логарифм. Освоив эти доказательства, вы сможете применять правила дифференцирования, понимать их происхождение и формальное обоснование. Эти знания являются основой для уверенного решения более сложных задач, требующих точного анализа изменения.