Derivadas de polinômios, trigonométricas e logaritmo
A derivada é uma ferramenta central do cálculo diferencial, com aplicações fundamentais nas ciências, na engenharia e na economia. Este artigo oferece um guia progressivo para dominar a diferenciação de funções, desde polinômios até funções trigonométricas e logarítmicas. Por meio de demonstrações e exemplos concretos, busca-se compreender tanto a aplicação das regras quanto seu fundamento.
Objetivos de Aprendizagem
- Compreender o conceito geral de derivada e suas propriedades fundamentais.
- Aplicar a definição formal de derivada para calcular derivadas básicas.
- Demonstrar por meio de limites a derivada de funções constantes e da função identidade.
- Obter as regras para derivar funções trigonométricas a partir das derivadas fundamentais do seno e do cosseno.
- Calcular derivadas de funções trigonométricas compostas utilizando regras algébricas.
- Demonstrar formalmente a derivada do logaritmo natural por meio de limites.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
Derivada das funções algébricas
Derivadas das funções transcendentes
Até agora revisamos apenas o que é a derivada e algumas de suas propriedades algébricas, mas nada foi dito sobre como calculá-las. Aqui resolveremos esse problema mostrando cada uma das técnicas de diferenciação e como elas são obtidas em cada caso.
Derivada das funções algébricas
Função constante
Se f(x) = c, sendo c uma constante real qualquer, então teremos que
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{d}{dx}c = 0
DEMONSTRAÇÃO: Na verdade, essa demonstração é feita em um único passo:
\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}c &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{c - c}{\Delta x} \quad \text{; Def. da derivada de $f(x)=c$} \\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{0}{\Delta x} = 0 \end{array}
Função identidade
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx}{dx}=1
DEMONSTRAÇÃO: Quase igual à anterior, também se resolve em um único passo:
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x &= \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} \quad \text{; Def. da derivada para $f(x) = x$}\\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1 \end{array}
Potências naturais
Se f(x) = x^n, onde n é um número natural qualquer, então teremos que:
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx^n}{dx} =nx^{n-1}
DEMONSTRAÇÃO: Para demonstrar este teorema, teremos que usar o teorema do binômio de Newton
\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n -x^n}{\Delta x} &\text{ ; Def. de limite para $f(x)= x^n$} \\ \\ & \displaystyle \phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{; Teorema do Binômio de Newton, sobre $(1)$} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle x^n + \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{; Separando o primeiro termo da soma} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right]}{\Delta x} & \text{; Cancelando termos semelhantes} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[ {{n}\choose{1}} x^{n-1}(\Delta x)^{0} + \sum_{k=2}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \text{; Extraindo o primeiro termo da soma} \\ \\ & \displaystyle \color{blue} {\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} = n x^{n-1} & \color{black} \end{array}
Potências Inteiras
A demonstração que acabamos de revisar fundamenta apenas o caso em que as potências são números naturais, mas pode ser estendida para quaisquer números inteiros. Se a\in \mathbb{Z}, então teremos que
\displaystyle \frac{dx^a}{dx} = ax^{a-1}
Já sabemos que isso funciona para os inteiros positivos, só precisamos ver o que acontece quando tomamos potências negativas. É suficiente, portanto, provar que se cumpre
\displaystyle \frac{dx^{-n}}{dx} = {-n}x^{-n-1}
DEMONSTRAÇÃO: Para fazer isso, basta considerar a derivada do quociente
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x^{-n} &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x^n}\right) \\ \\ & &= \dfrac{0 \cdot nx^{n-1} - nx^{n-1} \cdot 1}{x^{2n}}\\ \\ & &= -nx^{n-1-2n} \\ \\ & &= -nx^{-n-1} \end{array}
Derivadas das funções transcendentes
Funções trigonométricas
Estas englobam as seguintes regras de derivação:
| \displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x) |
| \displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x) |
| \displaystyle \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x) |
Para obter cada uma dessas regras, o melhor caminho é começar pelas derivadas do seno e do cosseno; e depois, a partir desses resultados, utilizando a álgebra das derivadas, obter as das demais funções trigonométricas.
Demonstração da derivada do seno
\begin{array}{rll} (1) &\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} & \text{; Def. da derivada do seno} \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(\Delta x) + \sin(\Delta x)\cos(x) - \sin(x)}{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin(x)\left[\cos(\Delta x) -1\right] + \sin(\Delta x)\cos(x) }{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0} \left[\dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \right] & \\ \\ (2)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} = 1 & \text{; Pelo teorema do sanduíche} \\ \\ (3)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \cdot \dfrac{\cos(\Delta x) + 1}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos^2(\Delta x) - 1}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-\sin^2(\Delta x)}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- (1)\cdot(0) = 0 \\ \\ (4) &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \color{black} & \text{; De (1,2,3)} \end{array}
Demonstração da derivada do cosseno
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}\cos(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x + \Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} & \text{; Def. da derivada do cosseno} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x)\cos(\Delta x) - \sin(x)\sin(\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x) [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ [ \cos(\Delta x) - 1]}{\Delta x} - \sin(x) \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \cdot(0) - \sin(x)\cdot (1)\\ \\ &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\cos(x) = - \sin(x) \color{black} \end{array}
Derivadas da tangente, secante, cossecante e cotangente
Com os resultados para o seno e o cosseno, a obtenção da derivada das demais funções trigonométricas agora se torna simples.
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\tan(x) &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = \color{blue}\sec^2(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\sec(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)} =\color{blue}\sec(x)\tan(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\csc(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\sin(x)}\right) = -\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)} =\color{blue} - \csc(x)\cot(x)\color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx} \cot(x) &= \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = \dfrac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\dfrac{1}{\sin^2(x)} =\color{blue} -\csc^2(x)\color{black} \end{array}
Derivada das funções logarítmicas
A derivada do logaritmo natural é dada por
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
DEMONSTRAÇÃO: Raciocinando a partir da definição da derivada, temos o seguinte desenvolvimento:
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left [\dfrac{\ln(x+\Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} \right] &\text{; Def. da derivada para o Logaritmo Natural} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{\Delta x} \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right) \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\color{red}x\color{black}} \frac{\color{red}x\color{black}}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{x} \ln \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} =\dfrac{1}{x} \ln \displaystyle \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ (2) & n=\dfrac{x}{\Delta x} & \text{; substituição} \\ \\ (3) & (\Delta x \to 0^+) \longrightarrow (n\to +\infty) \\ \\ (4) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \ln\left[ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right] = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \color{blue}\dfrac{1}{x} \color{black} & \text{; De (1,2,3)} \end{array}
Com isso, percorremos passo a passo as derivadas fundamentais que todo estudante deve dominar: desde funções algébricas básicas até as principais funções transcendentes, como as trigonométricas e o logaritmo natural. Dominando essas demonstrações, você poderá aplicar as regras de derivação, compreender sua origem e justificativa formal. Esse conhecimento é a base para enfrentar com confiança problemas mais complexos que exigem uma análise precisa da mudança.