Las ecuaciones de Maxwell en el vacío

El electromagnetismo del espacio vacío tiene algunas propiedades que vale la pena mencionar. Resulta que las ecuaciones de Maxwell que describen los campos eléctricos y magnéticos, en el vacío adquieren la siguiente forma

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

A partir de esto se puede corroborar que cualquier perturbación en los campos eléctricos y magnéticos se propaga como una onda en el espacio vacío. ¿Cómo sabemos esto? Porque de analizar estas expresiones se obtiene una ecuación de onda para ambos campos.

La propagación de las ondas electromagnéticas

A partir de [4] y [5] se tiene que el campo eléctrico satisface la siguiente relación:

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

Luego, como todo campo vectorial satisface la relación:

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A},\;\;\;[7]

A partir de [2, 6] y [7] se puede escribir:

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

Esto que aparece marcado en azul es justo una ecuación de propagación de ondas para el campo eléctrico.

De forma completamente análoga ocurre para el campo magnético

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

y luego

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\nabla^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

Es a partir de esto que se dice que los campos electromagnéticos en el vacío tienen muchos modos posible de ser, y una familia de esos modos tiene la forma de una onda electromagnética que se propaga por el espacio y el tiempo.

La velocidad de la luz es una constante universal

En otras palabras, las perturbaciones en los campos electromagnético siempre se propagan con rapidez c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s], que es la velocidad de la luz en el vacío. Experimentalmente se observa que ésta velocidad es la misma para todos los referenciales inerciales, cosa que no calza con lo que se obtendría si se aplican las transformaciones de Galileo, como se muestra en Las Transformaciones de Galileo y sus Limitaciones; porque según estas, hasta la propia estructura de la onda se altera al pasar de un referencial inercial a otro. Estos resultado son la pieza clave para dejar a un lado las transformaciones de Galileo, dando paso a las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial porque: una transformación de coordenadas correctamente formulada deberá preservar la las leyes de la física para todos los observadores inerciales.