真空中のマクスウェル方程式

真空空間における電磁気学には、注目すべきいくつかの特性がある。マクスウェル方程式は電場と磁場を記述するが、真空中では次のような形をとる。

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

これに基づき、電場および磁場におけるあらゆる摂動は、真空中で波として伝播することが確認できる。なぜそう言えるのか。それは、これらの式を解析すると、両方の場に対して波動方程式が導かれるからである。

電磁波の伝播

式 [4] と [5] から、電場は次の関係式を満たすことがわかる。

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

次に、任意のベクトル場は次の関係式を満たす。

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A},\;\;\;[7]

式 [2], [6], [7] に基づくと、次のように表すことができる。

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

青色で示されたものは、まさに電場に対する波動伝播方程式である。

磁場に対しても、全く同様に成り立つ。

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

そして次のようになる。

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\nabla^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

ここから、真空中の電磁場には多くの可能なモードが存在し、その中の一つの族が空間と時間を伝播する電磁波の形をとると言われる。

光速度は普遍定数である

言い換えると、電磁場における摂動は常に速度 c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s], で伝播し、これは真空中の光速度である。実験的に、この速度はすべての慣性参照系において同一であることが観測される。これは ガリレイ変換とその限界 に示されるように、ガリレイ変換を適用した場合に得られる結果とは一致しない。なぜなら、ガリレイ変換によれば、慣性系から別の慣性系へ移る際に波の構造そのものが変化してしまうからである。これらの結果は、ガリレイ変換を退け、特殊相対性理論におけるローレンツ変換へと進むための重要な要素である。なぜなら、正しく定式化された座標変換は、すべての慣性観測者に対して物理法則を保存しなければならないからである。