Les équations de Maxwell dans le vide

L’électromagnétisme de l’espace vide présente certaines propriétés qui méritent d’être mentionnées. Il s’avère que les équations de Maxwell décrivant les champs électriques et magnétiques prennent la forme suivante dans le vide

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

À partir de cela, on peut confirmer que toute perturbation dans les champs électriques et magnétiques se propage comme une onde dans l’espace vide. Comment le savons-nous ? Parce qu’en analysant ces expressions, on obtient une équation d’onde pour les deux champs.

La propagation des ondes électromagnétiques

À partir de [4] et [5], il est établi que le champ électrique satisfait la relation suivante :

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

Ensuite, comme tout champ vectoriel satisfait la relation :

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A},\;\;\;[7]

À partir de [2, 6] et [7], on peut écrire :

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

Ce qui est marqué en bleu est justement une équation de propagation des ondes pour le champ électrique.

De manière complètement analogue, cela se produit pour le champ magnétique

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

et ensuite

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\nabla^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

C’est à partir de cela que l’on dit que les champs électromagnétiques dans le vide ont de nombreux modes possibles d’être, et une famille de ces modes prend la forme d’une onde électromagnétique qui se propage dans l’espace et le temps.

La vitesse de la lumière est une constante universelle

En d’autres termes, les perturbations dans les champs électromagnétiques se propagent toujours rapidement c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s], qui est la vitesse de la lumière dans le vide. Expérimentalement, on observe que cette vitesse est la même pour tous les référentiels inertiels, ce qui ne correspond pas à ce qui serait obtenu en appliquant les transformations de Galilée, comme montré dans Les Transformations de Galilée et leurs Limitations ; car selon celles-ci, même la structure même de l’onde est altérée lors du passage d’un référentiel inertiel à un autre. Ces résultats sont la clé pour abandonner les transformations de Galilée, faisant place aux transformations de Lorentz de la relativité restreinte car : une transformation de coordonnées correctement formulée doit préserver les lois de la physique pour tous les observateurs inertiels.