Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum

Der Elektromagnetismus im leeren Raum weist einige Eigenschaften auf, die es wert sind, hervorgehoben zu werden. Es zeigt sich, dass die Maxwellschen Gleichungen, welche die elektrischen und magnetischen Felder beschreiben, im Vakuum die folgende Form annehmen:

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

Daraus lässt sich bestätigen, dass jede Störung der elektrischen und magnetischen Felder sich als Welle im leeren Raum ausbreitet. Wie wissen wir das? Durch die Analyse dieser Ausdrücke erhält man eine Wellengleichung für beide Felder.

Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen

Aus [4] und [5] ergibt sich, dass das elektrische Feld die folgende Beziehung erfüllt:

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

Dann erfüllt jedes Vektorfeld die folgende Beziehung:

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A},\;\;\;[7]

Aus [2, 6] und [7] lässt sich schreiben:

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

Das, was hier in Blau hervorgehoben ist, ist genau eine Wellenausbreitungsgleichung für das elektrische Feld.

Völlig analog verhält es sich für das magnetische Feld.

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

und dann

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\nabla^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

Daraus folgt, dass die elektromagnetischen Felder im Vakuum viele mögliche Modi besitzen, und eine Familie dieser Modi hat die Form einer elektromagnetischen Welle, die sich durch Raum und Zeit ausbreitet.

Die Lichtgeschwindigkeit ist eine universelle Konstante

Mit anderen Worten: Störungen in den elektromagnetischen Feldern breiten sich stets mit der Geschwindigkeit c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s], aus, was der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum entspricht. Experimentell lässt sich beobachten, dass diese Geschwindigkeit für alle Inertialsysteme gleich ist, was nicht mit dem übereinstimmt, was sich bei Anwendung der Galilei-Transformationen ergeben würde, wie in Die Galilei-Transformationen und ihre Grenzen gezeigt wird; denn gemäß diesen verändert sich sogar die Struktur der Welle, wenn man von einem Inertialsystem in ein anderes übergeht. Diese Ergebnisse sind das entscheidende Argument, um die Galilei-Transformationen beiseitezulegen und den Lorentz-Transformationen der speziellen Relativitätstheorie den Vorrang zu geben, da eine korrekt formulierte Koordinatentransformation die physikalischen Gesetze für alle Inertialbeobachter bewahren muss.