El problema y la solución de la distribución normal

Una de las distribuciones continuas de probabilidad más utilizadas es la distribución normal. Una variable aleatoria X tiene distribución normal con parámetros \mu,\sigma si se cumple que

\displaystyle P(X\leq x) =\Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt

y también hemos visto que esta distribución se puede «estandarizar» si hacemos en la integral una sustitución de la forma \displaystyle z= \frac{t-\mu}{\sigma}, obteniendo:

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} }dt = \Phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

Si bien este proceso de estandarización nos simplifica la integral, aún no es suficiente para permitirnos calcular ni una sola probabilidad para esta distribución. Ocurre que evaluar esta integral de forma analítica no es algo que podamos realizar; de hecho, no existen expresiones algebraicas que permitan expresar el resultado de éstas integrales y eso nos pone en dificultades. Sin embargo, si contamos con aproximaciones numéricas para algunos valores de la función de distribución normal estándar y con esto ya podemos comenzar a realizar algunas estimaciones. Estos valores se encuentran resumidos esta tabla para la distribución normal estándar que construí en Excel para ti >:D

Puedes descargar esta tabla en formato excel en el siguiente enlace. Te recomiendo revisar ese archivo porque así aprenderás a armar tu propia tabla en caso de que no encuentres una 🙂

¿Cómo utilizo esta tabla?

Para usar sin dificultad esta tabla debes recordar que, además de indicarte una probabilidad acumulada, esta representa un área bajo la curva (de la función de densidad). Esto lo podemos ver representado en la siguiente figura:

Entendido esto, lo siguiente es explicar el uso en si de la tabla. Lo que aqui vemos es que el valor z en que vamos a evaluar la función \Phi_{0,1}(z) aparece separado en dos partes: en la columna encontrarás su expansión hasta el primer dígito decimal, y en la fila encontrarás el segundo digito decimal; de modo que, por ejemplo: el número z=1,72 puede ser encontrado como si estuviera formado por «coordenadas»: la vertical es 1,7, y la horizontal 0,02. Finalmente, la aproximación numérica de \Phi_{0,1}(1,72) aparecerá en el bloque de coordenadas «1,7» y «0,02», el que muestra un valor de 0,957284.

Ejercicios

1. Estime el valor de \Phi_{0,1}(2,93)
2. Estime el valor de \Phi_{\mu=12,\sigma=3}(11,5)
3. Una variable aleatoria X tiene distribución normal N(\mu=37,\sigma=9). Calcule P(35 \lt X \lt 43).
4. La cantidad de tomates que se pudren diariamente en el puesto de un feriante tiene una media \mu=50 con una desviación típica \sigma=15. Si el feriante lleva tomates 3 veces a la semana, estime el número de días en que se le pudrirán más de 60 tomates durante el mes.
5. Asumiendo que X \sim N(\mu,\sigma) calcule las siguientes probabilidades:
   1. P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)
   2. P(X \leq \mu - \sigma \vee \mu + \sigma \leq X)
   3. P(X \leq \mu - n\sigma \vee \mu + n\sigma \leq X)