Le problème et la solution de la distribution normale

L’une des distributions continues de probabilité les plus utilisées est la distribution normale. Une variable aléatoire X suit une distribution normale avec des paramètres \mu,\sigma si

\displaystyle P(X\leq x) =\Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt

et aussi nous avons vu que cette distribution peut être « standardisée » si nous faisons dans l’intégrale une substitution du type \displaystyle z= \frac{t-\mu}{\sigma}, obtenant ainsi :

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} }dt = \Phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

Bien que ce processus de standardisation simplifie l’intégrale, il n’est toujours pas suffisant pour nous permettre de calculer une seule probabilité pour cette distribution. En fait, évaluer cette intégrale de manière analytique n’est pas quelque chose que nous pouvons faire ; en réalité, il n’existe pas d’expressions algébriques permettant d’exprimer le résultat de ces intégrales, ce qui nous met en difficulté. Cependant, si nous disposons d’approximations numériques pour certaines valeurs de la fonction de distribution normale standard, nous pouvons commencer à faire certaines estimations. Ces valeurs sont résumées dans cette table de distribution normale standard que j’ai construite dans Excel pour vous >:D

Vous pouvez télécharger cette table au format Excel en suivant ce lien. Je vous recommande de consulter ce fichier car il vous apprendra à créer votre propre table si vous ne trouvez pas celle dont vous avez besoin 🙂

Comment utiliser cette table ?

Pour utiliser cette table sans difficulté, vous devez vous rappeler que, en plus de vous indiquer une probabilité cumulative, elle représente une aire sous la courbe (de la fonction de densité). Cela se voit dans l’illustration suivante :

Après avoir compris cela, l’étape suivante consiste à expliquer l’utilisation de la table elle-même. Ce que nous voyons ici, c’est que la valeur z à laquelle nous allons évaluer la fonction \Phi_{0,1}(z) apparaît divisée en deux parties : dans la colonne, vous trouverez son extension jusqu’au premier chiffre décimal, et dans la ligne, vous trouverez le deuxième chiffre décimal ; par exemple : le nombre z=1,72 peut être trouvé comme s’il était formé par des « coordonnées » : l’axe vertical est 1,7, et l’axe horizontal 0,02. Enfin, l’approximation numérique de \Phi_{0,1}(1,72) apparaîtra dans le bloc de coordonnées « 1,7 » et « 0,02 », qui montre une valeur de 0,957284.

Exercices

1. Estimez la valeur de \Phi_{0,1}(2,93)
2. Estimez la valeur de \Phi_{\mu=12,\sigma=3}(11,5)
3. Une variable aléatoire X suit une distribution normale N(\mu=37,\sigma=9). Calculez P(35 \lt X \lt 43).
4. La quantité de tomates qui pourrissent chaque jour sur l’étal d’un marchand a une moyenne \mu=50 avec un écart-type \sigma=15. Si le marchand apporte des tomates 3 fois par semaine, estimez le nombre de jours où plus de 60 tomates pourriront pendant le mois.
5. En supposant que X \sim N(\mu,\sigma), calculez les probabilités suivantes :
   1. P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)
   2. P(X \leq \mu - \sigma \vee \mu + \sigma \leq X)
   3. P(X \leq \mu - n\sigma \vee \mu + n\sigma \leq X)