Wie berechnet man die Normalverteilung mithilfe der Tabelle?
Zusammenfassung
In dieser Vorlesung befassen wir uns mit dem Thema der Normalverteilung, einer der gebräuchlichsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Wir analysieren, wie eine Zufallsvariable X mit den Parametern μ und σ einer Normalverteilung folgen kann und wie diese Verteilung durch eine Substitution im Integral standardisiert werden kann. Allerdings werden wir feststellen, dass trotz der Vereinfachung durch die Standardisierung die analytische Berechnung des Integrals eine Herausforderung bleibt, da keine algebraischen Ausdrücke existieren, die eine exakte Darstellung des Ergebnisses ermöglichen. Um dieses Problem zu überwinden, stellen wir eine in Excel erstellte Tabelle der Standardnormalverteilung vor, die numerische Näherungen für die Funktionswerte bietet. Wir erklären ausführlich, wie die Tabelle zu verwenden ist, einschließlich der Interpretation der kumulierten Wahrscheinlichkeiten als Flächen unter der Kurve. Abschließend endet die Vorlesung mit einer Reihe praktischer Übungen, die sich auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Schätzungen mithilfe der Tabelle der Normalverteilung und des Konzepts der Standardnormalverteilung konzentrieren.
LERNZIELE:
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:
- Die Beziehung aufzuzeigen zwischen der Standardnormalverteilung und der Normalverteilung mit den festgelegten Parametern \mu und \sigma durch eine Integralsubstitution.
- Praktische Probleme zu lösen mithilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung.
- Eine Tabelle der Standardnormalverteilung zu erstellen und diese mithilfe von Excel zu verwenden.
INHALTSVERZEICHNIS:
Das Problem und die Lösung der Normalverteilung
Wie verwende ich diese Tabelle?
Übungen
Das Problem und die Lösung der Normalverteilung
Eine der am häufigsten verwendeten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die Normalverteilung. Eine Zufallsvariable X hat eine Normalverteilung mit den Parametern \mu,\sigma, wenn gilt:
\displaystyle P(X\leq x) =\Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt
und außerdem haben wir auch gesehen, dass sich diese Verteilung „standardisieren“ lässt, wenn wir in dem Integral eine Substitution der Form \displaystyle z= \frac{t-\mu}{\sigma}, durchführen, wodurch wir erhalten:
\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} }dt = \Phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)
Obwohl dieser Standardisierungsprozess das Integral vereinfacht, reicht er noch nicht aus, um auch nur eine einzige Wahrscheinlichkeit für diese Verteilung berechnen zu können. Es zeigt sich, dass die analytische Auswertung dieses Integrals nicht durchführbar ist; tatsächlich existieren keine algebraischen Ausdrücke, die das Ergebnis dieser Integrale darstellen könnten, was uns vor Schwierigkeiten stellt. Wenn wir jedoch numerische Näherungen für einige Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zur Verfügung haben, können wir bereits erste Schätzungen vornehmen. Diese Werte sind in dieser Tabelle für die Standardnormalverteilung zusammengefasst, die ich für dich in Excel erstellt habe >:D
Du kannst diese Tabelle im Excel-Format unter folgendem Link herunterladen. Ich empfehle dir, diese Datei zu überprüfen, da du so lernst, deine eigene Tabelle zu erstellen, falls du keine findest 🙂
Wie verwende ich diese Tabelle?
Um diese Tabelle problemlos zu verwenden, musst du dir bewusst machen, dass sie neben der Angabe einer kumulierten Wahrscheinlichkeit auch eine Fläche unter der Kurve (der Dichtefunktion) darstellt. Dies sehen wir in der folgenden Abbildung dargestellt:
Verstanden, bleibt nun die eigentliche Nutzung der Tabelle zu erklären. Was wir hier sehen, ist, dass der Wert z, an dem wir die Funktion \Phi_{0,1}(z) auswerten, in zwei Teile getrennt erscheint: In der Spalte findest du seine Entwicklung bis zur ersten Dezimalstelle, und in der Zeile findest du die zweite Dezimalstelle; sodass man zum Beispiel die Zahl z=1,72 wie durch „Koordinaten“ finden kann: die Vertikale ist 1,7, und die Horizontale 0,02. Schließlich erscheint die numerische Näherung von \Phi_{0,1}(1,72) im Koordinatenblock „1,7“ und „0,02“, der einen Wert von 0,957284. anzeigt.
Übungen
- Schätzen Sie den Wert von \Phi_{0,1}(2,93)
- Schätzen Sie den Wert von \Phi_{\mu=12,\sigma=3}(11,5)
- Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt N(\mu=37,\sigma=9). Berechnen Sie P(35 \lt X \lt 43).
- Die Anzahl der Tomaten, die täglich am Stand eines Markthändlers verderben, hat einen Mittelwert \mu=50 mit einer Standardabweichung \sigma=15. Bringt der Händler dreimal pro Woche Tomaten, schätzen Sie die Anzahl der Tage, an denen im Verlauf des Monats mehr als 60 Tomaten verderben.
- Unter der Annahme, dass X \sim N(\mu,\sigma), berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
- P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)
- P(X \leq \mu - \sigma \vee \mu + \sigma \leq X)
- P(X \leq \mu - n\sigma \vee \mu + n\sigma \leq X)