Derivadas de polinomios, trigonométricas y logaritmo

La derivada es una herramienta central del cálculo diferencial, con aplicaciones fundamentales en las ciencias, la ingeniería y la economía. Este artículo ofrece una guía progresiva para dominar la derivación de funciones, desde polinomios hasta funciones trigonométricas y logarítmicas. A través de demostraciones y ejemplos concretos, se busca comprender tanto la aplicación de las reglas como su fundamento.

Objetivos de Aprendizaje

1. Comprender el concepto general de derivada y sus propiedades fundamentales.
2. Aplicar la definición formal de derivada para calcular derivadas básicas.
3. Demostrar mediante límites la derivada de funciones constantes y funciones identidad.
4. Obtener las reglas para derivar funciones trigonométricas partiendo de las derivadas fundamentales del seno y coseno.
5. Calcular derivadas de funciones trigonométricas compuestas utilizando reglas algebraicas.
6. Demostrar formalmente la derivada del logaritmo natural mediante límites.

ÍNDICE DE CONTENIDOS:
Derivada de las funciones algebraicas
Derivadas de las funciones trascendentales

Hasta ahora sólo hemos revisado qué es la derivada y algunas de sus propiedades algebraicas, pero nada hemos dicho sobre cómo se calculan. Aquí resolveremos ese problema mostrando cada una de las técnicas de derivación y como se obtienen para cada caso.

Derivada de las funciones algebraicas

Función constante

Si f(x) = c, siendo c una constante real cualquiera, entonces se tendrá que

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{d}{dx}c = 0

DEMOSTRACIÓN: En realidad esta demostración se hace en un solo paso:

\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}c &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{c - c}{\Delta x} \quad \text{; Def. de derivada de $f(x)=c$} \\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{0}{\Delta x} = 0 \end{array}

Función identidad

Si f(x) = x, entonces:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx}{dx}=1

DEMOSTRACIÓN: Casi igual al anterior, también sale en un solo paso:

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x &= \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} \quad \text{; Def. de derivada para $f(x) = x$}\\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1 \end{array}

Potencias naturales

Si f(x) = x^n, donde n es un natural cualquiera, entonces se tendrá que:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx^n}{dx} =nx^{n-1}

DEMOSTRACIÓN: Para demostrar este teorema, tendremos que usar el teorema del binomio de Newton

\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n -x^n}{\Delta x} &\text{ ; Def. de límite para $f(x)= x^n$} \\ \\ & \displaystyle \phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{; Teorema del Binomio de Newton, sobre $(1)$} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle x^n + \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{; Separando el primer término de la suma} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right]}{\Delta x} & \text{; Cancelando términos semejantes} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[ {{n}\choose{1}} x^{n-1}(\Delta x)^{0} + \sum_{k=2}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \text{; Extrayendo el primer término de la suma} \\ \\ & \displaystyle \color{blue} {\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} = n x^{n-1} & \color{black} \end{array}

Potencias Enteras

La demostración que se acaba de revisar sólo fundamenta el caso en que las potencias son números naturales, pero se puede extender para números enteros cualesquiera. Si a\in \mathbb{Z}, entonces se tendrá que

\displaystyle \frac{dx^a}{dx} = ax^{a-1}

Ya sabemos que esto funciona para los enteros positivos, sólo nos basta ver lo que pasa cuando tomamos potencias negativas. Es suficiente con probar, por lo tanto, que se cumple

\displaystyle \frac{dx^{-n}}{dx} = {-n}x^{-n-1}

DEMOSTRACIÓN: Para hacer esto basta con considerar la derivada del cociente

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x^{-n} &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x^n}\right) \\ \\ & &= \dfrac{0 \cdot nx^{n-1} - nx^{n-1} \cdot 1}{x^{2n}}\\ \\ & &= -nx^{n-1-2n} \\ \\ & &= -nx^{-n-1} \end{array}

Derivadas de las funciones trascendentales

Funciones trigonométricas

Estas engloban las siguiente reglas de derivación:

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x)
\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x)
\displaystyle \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x)

Para obtener cada una de estas reglas, el mejor camino es partir por las derivadas del seno y del coseno; y luego, a partir de estos resultados, utilizando el álgebra de las derivadas obtener la de las demás trigonométricas.

Demostración de la derivada del seno

\begin{array}{rll} (1) &\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} & \text{; Def. de derivada del seno} \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(\Delta x) + \sin(\Delta x)\cos(x) - \sin(x)}{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin(x)\left[\cos(\Delta x) -1\right] + \sin(\Delta x)\cos(x) }{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0} \left[\dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \right] & \\ \\ (2)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} = 1 & \text{; Por el teorema del Sandwich}\\ \\ (3)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \cdot \dfrac{\cos(\Delta x) + 1}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos^2(\Delta x) - 1}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-\sin^2(\Delta x)}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- (1)\cdot(0) = 0 \\ \\ (4) &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \color{black} & \text{; De (1,2,3)} \end{array}

Demostración de la derivada del coseno

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}\cos(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x + \Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} & \text{; Def. de derivada del coseno} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x)\cos(\Delta x) - \sin(x)\sin(\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x) [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ [ \cos(\Delta x) - 1]}{\Delta x} - \sin(x) \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \cdot(0) - \sin(x)\cdot (1)\\ \\ &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\cos(x) = - \sin(x) \color{black} \end{array}

Derivadas de la tangente, secante, cosecante y cotangente

Teniendo los resultados para el seno y el coseno, la obtención de la derivada para las demás trigonométricas ahora son fáciles de obtener.

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\tan(x) &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = \color{blue}\sec^2(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\sec(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)} =\color{blue}\sec(x)\tan(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\csc(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right) = -\dfrac{cos(x)}{\sin^2(x)} =\color{blue} - \csc(x)\cot(x)\color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx} \cot(x) &= \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = \dfrac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\dfrac{1}{\sin^2(x)} =\color{blue} -\csc^2(x)\color{black} \end{array}

Derivada de las funciones logarítmicas

La derivada del logaritmo natural está dada por

\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}

DEMOSTRACIÓN: Razonando desde la definición de la derivada se tiene el siguiente razonamiento:

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left [\dfrac{\ln(x+\Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} \right] &\text{; Def. de derivada para Logaritmo Natural} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{\Delta x} \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right) \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\color{red}x\color{black}} \frac{\color{red}x\color{black}}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{x} \ln \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} =\dfrac{1}{x} \ln \displaystyle \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ (2) & n=\dfrac{x}{\Delta x} & \text{; sustitución}\\ \\ (3) & (\Delta x \to 0^+) \longrightarrow (n\to +\infty) \\ \\ (4) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \ln\left[ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right] = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \color{blue}\dfrac{1}{x} \color{black} & \text{; De (1,2,3)} \end{array}

Con esto hemos recorrido paso a paso las derivadas fundamentales que todo estudiante debe dominar: desde funciones algebraicas básicas hasta las principales funciones trascendentales como las trigonométricas y el logaritmo natural. Dominando estas demostraciones podrás aplicar las reglas de derivación, comprender su origen y justificación formal. Este conocimiento es la base para abordar con confianza problemas más complejos que requieren un análisis preciso del cambio.