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Topos Uranos
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함수의 연산, 역함수와 그래프의 변환

요약

이 수업은 함수를 연산의 대상으로 다룬다. 실함수의 합, 곱, 몫, 합성을 그 정의역과 함께 정의하고, 합성이 교환법칙을 만족하지 않음을 보인다. 집합, 관계, 함수 수업에서 합성의 결합성, 단사성, 역함수 정리를 가져오고, 실함수에 고유한 내용을 덧붙인다. 곧 합성의 정의역, 단조함수, 엄격하게 단조인 함수의 역함수, 변수에 대하여 풀고 정의역을 제한하여 역함수를 구하는 방법, 그리고 역함수의 그래프인데, 이것은 원래 그래프를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 것이다. 이어서 우함수와 기함수, 그래프의 평행이동, 확대와 축소, 대칭이동, 구간별로 정의된 함수와 절댓값을 포함하는 함수를 다룬다.

학습 목표

  1. 함수를 더하고, 곱하고, 나누고, 합성하며, 연산에 쓰인 함수들의 정의역으로부터 각 결과의 정의역을 구한다.
  2. 함수가 단사, 전사, 전단사인지 판정하고, 필요하면 정의역을 제한하여 역함수를 구한다.
  3. 그래프의 대칭성을 알아본다. 곧 세로축에 대한 대칭, 원점에 대한 대칭, 직선 y=xy = x에 대한 대칭이다.
  4. 평행이동, 확대와 축소, 대칭이동, 절댓값을 이용하여 한 함수의 그래프로부터 다른 함수의 그래프를 얻되, 그것들을 적용하는 순서를 지킨다.
  5. 함수의 연산과 역함수를 응용 문제에서 해석한다. 예를 들어 렌즈 공식에서는 역함수가 물체와 상의 역할을 맞바꾼다.

함수의 연산

대수 함수 수업에서 함수는 정의역의 각 원소에 정확히 하나의 상을 대응시키는 규칙으로 정의되었고, 대수 함수가 변수로부터 합, 곱, 몫, 거듭제곱근을 통해 만들어진다는 것을 보았다. 이 연산들은 함수 사이의 연산으로 이해할 수 있다. 두 함수는 점마다 더하고, 곱하고, 나눌 수 있으며, 한 함수를 다른 함수의 결과에 적용할 수도 있다. 그렇다면 복잡한 함수는 더 간단한 함수들로 분해하여 연구할 수 있다.

ff와 gg를 실변수 실함수라 하자. 그 합 f+gf + g, 차 f−gf - g, 곱 f⋅gf \cdot g는 각 xx에 상들의 합, 차, 곱을 각각 대응시키는 함수이고, 몫 fg\frac{f}{g}는 각 xx에 상들의 몫을 대응시킨다.

f+g:x↦f(x)+g(x),f⋅g:x↦f(x)⋅g(x),fg:x↦f(x)g(x)f + g : x \mapsto f(x) + g(x), \qquad f \cdot g : x \mapsto f(x) \cdot g(x), \qquad \frac{f}{g} : x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}

이 식들이 의미를 가지려면 xx는 두 정의역 모두에 속해야 한다. 몫에서는 또한 상 g(x)g(x)가 영이 되어서는 안 된다. 이로부터 연산들의 정의역이 나온다.

dom⁡(f+g)=dom⁡(f)∩dom⁡(g),dom⁡(fg)={x∈dom⁡(f)∩dom⁡(g):g(x)≠0}\operatorname{dom}(f + g) = \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g), \qquad \operatorname{dom}\left( \frac{f}{g} \right) = \{ x \in \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g) : g(x) \neq 0 \}

차의 정의역과 곱의 정의역은 합의 정의역과 같고, 함수와 수 cc의 곱은 상수함수 cc와의 곱이며, 그 정의역은 R\mathbb{R}이다. 그러나 연산의 정의역은 연산에 쓰인 함수들로부터 정해지는 것이지, 간단히 한 뒤에 얻은 식으로부터 정해지는 것이 아니다. f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1이고 g(x)=x−1g(x) = x - 1이면, 몫은 그 정의역 전체에서 x+1x + 1과 일치하지만, 그 정의역은 수 11을 포함하지 않는다. g(1)=0g(1) = 0이기 때문이다. 몫의 그래프는 직선 y=x+1y = x + 1에서 점 (1,2)(1, 2)를 뺀 것이다. 마찬가지로 f(x)=xf(x) = \sqrt{x}이고 g(x)=−xg(x) = \sqrt{-x}이면, 합은 x=0x = 0에서만 정의되며, 이것은 두 정의역의 유일한 공통점이다. 첫 번째 예처럼 제외되는 점은 부호표와 부등식 수업에서 제거 가능한 점이라 불리게 되고, 그래프에 미치는 영향은 유리함수 수업에서 연구된다.

함수의 합성

함수 사이의 가장 중요한 연산은 수 사이에는 비슷한 것이 없다. 그것은 한 함수를 다른 함수의 결과에 적용하는 것이다. ff와 gg의 합성은 f∘gf \circ g로 나타내고 「ff와 gg의 합성」이라고 읽으며, 먼저 gg를, 이어서 ff를 적용하는 함수이다.

(f∘g)(x)=f(g(x))\left( f \circ g \right)(x) = f(g(x))

두 기계를 이어 놓은 것으로 생각할 수 있다. xx가 gg에 들어가 g(x)g(x)가 나오고, 그 수가 ff에 들어가 f(g(x))f(g(x))가 나온다. 이 연결이 작동하려면 xx가 gg의 정의역에 속하고, 그 상이 ff의 정의역에 속해야 한다.

dom⁡(f∘g)={x∈dom⁡(g):g(x)∈dom⁡(f)}\operatorname{dom}(f \circ g) = \{ x \in \operatorname{dom}(g) : g(x) \in \operatorname{dom}(f) \}

순서에 주의하라. f∘gf \circ g에서는 오른쪽에 쓰인 함수가 먼저 작용한다. 대수 함수는 더 간단한 함수들의 합성이다. 예를 들어 1−x2\sqrt{1 - x^2}는 제곱근과 1−x21 - x^2의 합성이며, 이 구조를 알아보는 것이 그 정의역을 구하는 열쇠이다.

예시서로 다른 두 합성

f(x)=xf(x) = \sqrt{x}, g(x)=1−x2g(x) = 1 - x^2라 하자. 함수 f∘gf \circ g와 g∘fg \circ f를 그 정의역과 함께 구하고 비교하라. 그림은 각 합성을 세 수직선 위의 경로로 나타낸다. 곧 xx의 수직선, 첫 번째 상의 수직선, 두 번째 상의 수직선이다.

증명

  1. (f∘g)(x)=1−x2,1−x2≥0\left( f \circ g \right)(x) = \sqrt{\resaltar{1 - x^2}}, \quad 1 - x^2 \geq 0

    gg의 정의역은 R\mathbb{R}이고, ff의 정의역은 음이 아닌 실수들로 이루어진다. f∘gf \circ g를 계산하려면 상 g(x)g(x)가 음이 아니어야 한다. 그것을 음으로 만드는 xx의 값, 예를 들어 x=2x = 2는 두 번째 기계를 통과하지 못한다.

  2. (1−x)(1+x)≥0↔dom⁡(f∘g)=[−1,1]\resaltar{(1 - x)(1 + x)} \geq 0 \leftrightarrow \dato{fg}{\operatorname{dom}(f \circ g) = \icc{-1}{1}}

    제곱의 차를 인수분해한다. 곱의 부호에 관한 보조정리에 의해 두 인수는 모두 음이 아니어야 한다. 둘 다 음이려면 x>1x > 1과 x<−1x < -1이 동시에 성립해야 하기 때문이다.

  3. (g∘f)(x)=1−(x)2=1−x,dom⁡(g∘f)=[0,∞)\left( g \circ f \right)(x) = 1 - \resaltar{\left( \sqrt{x} \right)^2} = \resaltar{1 - x}, \quad \dato{gf}{\operatorname{dom}(g \circ f) = \ico{0}{\infty}}

    g∘fg \circ f에 대해서는 수 xx가 ff의 정의역에 속해야 하고, x\sqrt{x}는 언제나 gg의 정의역에 속한다. 간단히 하면 식에서 근호의 흔적이 사라지지만, 정의역은 그것을 간직한다.

  4. (f∘g)(12)=34=32,(g∘f)(12)=12\left( f \circ g \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \left( g \circ f \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}

    두 합성은 서로 다른 함수이다. 정의역이 다르고, 둘 다에 공통인 같은 점, 예를 들어 x=12x = \frac{1}{2}에서 서로 다른 값을 가진다. 따라서 합성은 교환법칙을 만족하지 않는다.

합성은 교환법칙을 만족하지 않지만 결합법칙은 만족한다. 세 함수를 잇달아 적용할 때 앞의 두 함수를 먼저 묶든 뒤의 두 함수를 먼저 묶든 결과는 같다. 주어진 집합 사이의 함수에 대해서는 첫 번째 단원의 집합, 관계, 함수 수업에서 증명되었다. 실함수에 고유한 것은 정의역뿐이며, 여기서 정의역은 미리 선언되는 것이 아니라 식으로부터 유도된다. 그런데 합성의 정의역의 정의를 두 번 적용하면, 수 xx가 h∘(g∘f)h \circ (g \circ f)의 정의역에 속하는 것은 그것이 ff의 정의역에 속하고, 그 상 f(x)f(x)가 gg의 정의역에 속하며, g(f(x))g(f(x))가 hh의 정의역에 속할 때이고, 또 그때뿐이다. 그리고 (h∘g)∘f(h \circ g) \circ f에 대해서도 같은 조건이 나온다. 이 공통의 정의역으로 제한하면 잇달아 적용되는 함수들은 집합 사이의 함수이고, 그 수업의 정리는 두 경우 모두 값 h(g(f(x)))h(g(f(x)))를 준다. 그래서 간단히 h∘g∘fh \circ g \circ f로 쓴다.

dom⁡(h∘g∘f)={x∈dom⁡(f):f(x)∈dom⁡(g)∧g(f(x))∈dom⁡(h)}\operatorname{dom}(h \circ g \circ f) = \{ x \in \operatorname{dom}(f) : f(x) \in \operatorname{dom}(g) \wedge g(f(x)) \in \operatorname{dom}(h) \}