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평면 해석기하학: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 평면 해석기하학을 다루는 단원을 마무리한다. 단원의 아홉 수업에서 증명한 것을, 거리 공식에서부터 선형계획법의 꼭짓점 정리에 이르기까지, 하나의 연역 사슬로 모은다. 또한 단원이 앞 단원들, 특히 완전제곱식 만들기, 판별식, 부호표에 어떻게 기대는지, 그리고 그 초월함수들이 쌍곡선을 다시 그려 내는 뒤 단원을 어떻게 준비하는지 보인다. 이어서 입문 평가와 짝을 이루는 마무리 평가를 제시하고, 끝으로 각 수업의 연습 문제보다 어렵고 여러 수업을 엮어 저마다 길을 여는 아이디어를 찾아야 하는 열 개의 도전 과제로 마친다.

학습 목표

  1. 단원의 주요 결과를 진술하고, 각 결과가 앞의 결과에 어떻게 의존하는지 설명할 수 있다.
  2. 단원의 방법을 앞 단원들의 방법 및 뒤 단원의 방법과 관련지을 수 있다.
  3. 직선, 벡터, 원뿔곡선, 부등식을 엮은 문제를, 곡선의 계량적 정의, 그 방정식, 판별식 가운데 가장 효과적인 도구를 골라 풀 수 있다.
  4. 최소, 접함, 자취의 조건을 방정식으로 옮기고, 얻은 방정식이 구하는 집합을 정확히 나타내는지 확인할 수 있다.

단원에서 이룬 것

좌표, 직선, 벡터

단원은 단 하나의 아이디어에서 시작했다. 평면의 각 점을 그 좌표의 쌍과 같은 것으로 보는 것이다. 여기에서, 직선의 방정식 수업에서, 두 점 사이의 거리가 피타고라스 정리의 결과이고, 직선의 기울기가 삼각형의 닮음에 의해 계산에 쓰는 점과 무관하다는 것이 나왔다. 이 두 정리는, 축의 자유로운 선택, 평행선의 동위각이 같다는 것, 삼각형의 내각의 합, 이등변삼각형의 각과 함께, 단원이 처음에 명시적으로 받아들이는 유클리드 기하학의 사실이다. 그 증명은 이 기하학의 공리적 구성에 속하기 때문이다. 기울기의 불변성에서는 직선 위의 점이 정확히 방정식 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0의 해라는 것이 유도되었다. 두 직선의 방정식을 이용한 계산에서는 연직이 아닌 두 직선이 평행할 필요충분조건은 기울기가 같다는 것이, 피타고라스 정리와 그 역을 동위각이 같다는 것과 함께 쓰면 두 직선이 수직일 필요충분조건은 기울기의 곱이 −1-1라는 것이, 그리고 피타고라스 정리에서는 한 점에서 내린 수선이 그 직선까지의 가장 짧은 길이라는 것이 유도되었다.

평면벡터 수업은 이 결과들을 축의 선택에 의존하지 않는 꼴로 다시 진술했다. 벡터는 그 덧셈과 실수배와 함께 벡터공간의 여덟 공리를 만족한다. 내적은 조건 u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0로 수직을 판정하며, 이 조건은 더 이상 연직선을 제외하지 않는다. 또 내적은 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식, 정사영을 준다. 여기에서 직선의 벡터방정식, 법선벡터 (A,B)\left( A, B \right)(직선 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0의 법선벡터), 그리고 점과 직선 사이의 거리 공식이 얻어졌다. 이 공식은 그 뒤의 거의 모든 수업에 다시 나타난다.

d⁡(P,r)=∣Ax1+By1+C∣A2+B2\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

거리로 정의되는 원뿔곡선

이어지는 다섯 수업은 네 곡선에 같은 방법을 적용했다. 곡선을 거리의 성질로 정의하고, 제곱하여 그것을 방정식으로 옮긴 뒤, 역을 증명하는 것이다. 제곱하면 엉뚱한 점이 덧붙을 수 있기 때문이다. 포물선의 방정식 수업은 포물선을 초점과 준선으로 정의하고, 이차다항식의 그래프가 정확히 축이 연직인 포물선임을 증명하고, 그 반사 성질을 증명했다. 포물선의 특성화 수업은 완전제곱식 만들기로 그 요소를 계수로 나타내고, 꼭짓점이 극값을 갖는 점이며 판별식이 가로축과의 교점을 결정함을 증명했다.

타원과 원 수업은 타원을 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 값 2a2a이라는 것으로 정의하고, 조건 b2=a2−c2b^2 = a^2 - c^2 아래에서 그 축약 방정식을 유도하고, 각 점에서 초점까지의 거리가 a+exa + ex와 a−exa - ex임을 증명했다. 원은 두 초점이 일치하는 타원임이 드러났다. 원 수업은 점의 위치를 그 방멱으로 재고, 중심에서의 거리를 반지름과 비교하여 직선의 위치를 판정하고, 접선이 반지름에 수직임을 증명하고, 두 원의 여섯 가지 위치 관계를 근축으로 분류하고, 방멱 정리를 증명했다. 이로부터 두 현에 관한 방멱 정리, 접선과 할선에 관한 방멱 정리, 근심 정리가 따라 나온다. 쌍곡선의 방정식 수업은 합을 차로 바꾸고, 조건 c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 아래에서 점근선을 조사하고, y=1xy = \frac{1}{x} 식의 그래프가 직각쌍곡선임을 증명하고, 점근선에 평행한 직선은 쌍곡선과 단 한 점에서 만나지만 접선은 아님을 보였다.

통일된 이론과 부등식

원뿔곡선 수업은 네 곡선을 하나의 이론으로 모았다. 모든 방정식 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0은, ACAC의 부호와, 완전제곱식을 만든 뒤에 남는 우변 GG의 부호에 따라, 타원, 쌍곡선, 포물선 또는 그것들의 퇴화한 경우 가운데 하나를 나타낸다. 또 초점과 준선의 정리는 타원, 포물선, 쌍곡선을, 초점까지의 거리와 준선까지의 거리의 비가 일정한 수 ee인 자취로 그려 내며, 그 수는 11보다 작거나, 같거나, 크다.

마지막 수업인 평면에서의 부등식과 선형계획법 수업은 등식에서 부등식으로 넘어갔다. 반평면 정리는 식 Ax+By+CAx + By + C의 부호가 직선의 각 쪽에서 유지됨을 보장하며, 여기에서 시험점 방법이 나온다. 일차부등식으로 정해지는 영역은 볼록하다. 일차식은 선분을 따라 양 끝에서의 값 사이에서 변하기 때문이다. 선분 위에서 0이 되지 않는 이차식은 그 선분 위에서 부호를 유지하며, 그래서 시험점 방법은 원뿔곡선으로 둘러싸인 영역에도 쓸 수 있다. 그리고 일차함수는 유계인 볼록 다각형 위에서 그 꼭짓점 가운데 하나에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 영역이 유계가 아니면 최적값이 존재하지 않을 수 있고, 존재하더라도 띠 모양의 영역에서처럼 꼭짓점에서 얻어지지 않을 수 있다. 그러나 영역이 꼭짓점을 가지면, 곧 직선 전체를 포함하지 않으면, 존재하는 최적값은 모두 꼭짓점 가운데 하나에서도 얻어진다.

세 가지 도구가 단원 전체를 관통한다. 첫째는 거리 공식으로, 곡선의 정의는 모두 이것에 기댄다. 둘째는 완전제곱식 만들기로, 이차방정식을 그 요소를 읽을 수 있는 꼴로 바꾼다. 셋째는 판별식으로, 모든 원뿔곡선에 대해 직선이 그것과 두 점에서 만나는지, 한 점에서 만나는지, 만나지 않는지를 판정하며, 포물선의 축이나 쌍곡선의 점근선에 평행한 직선에 주의하면 극한에 기대지 않고 접선을 특징짓는다.

아래 그림은 세 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞의 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이며, 각 받침은 자신에게 기대는 고리들과 실선으로, 자신이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 받아들인 것이나 앞 단원들에서 온 것은 예외로, 둥근 테로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

  • A유클리드 기하학. 단원의 처음에, 축의 자유로운 선택, 피타고라스 정리와 그 역, 평행선의 동위각이 같다는 것, 탈레스 정리와 삼각형의 닮음, 삼각형의 내각의 합, 이등변삼각형에서 같은 변의 대각이 같다는 것을 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • B거리 공식. (x1,y1)(x_1, y_1)과 (x2,y2)(x_2, y_2) 사이의 거리는 (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}이다. 단원의 곡선의 정의는 모두 이것에 기댄다. 확립되는 곳: 1. 거리와 중점.
  • C직선의 일반형. 모든 직선의 점은 정확히 방정식 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0의 해이다. 단, AA와 BB가 동시에 0은 아니다. 확립되는 곳: 2. 직선의 방정식.
  • D점과 직선 사이의 거리. 점 (x1,y1)(x_1, y_1)과 직선 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 사이의 거리는 ∣Ax1+By1+C∣A2+B2\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}이다. 확립되는 곳: 10. 점과 직선 사이의 거리.
  • E완전제곱식 만들기. 식 ax2+bx+c=a(x+b2a)2−Δ4aax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}이 성립한다. 단, Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac이다. 대수 함수 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • F판별식. 이차방정식은 판별식이 양수, 0, 음수 가운데 무엇인지에 따라 두 근을 갖거나, 하나의 중근을 갖거나, 근을 갖지 않으며, 근이 없을 때 다항식은 최고차항의 계수의 부호를 유지한다. 대수 함수 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • G그래프의 평행이동. xx를 x−hx - h로, yy를 y−ky - k로 바꾸면 그래프는 가로 방향으로 hh만큼, 세로 방향으로 kk만큼 평행이동한다. 대수 함수 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • H부호 규칙. 두 인수의 곱은 두 인수의 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다. 이것은 대수 함수 단원의 부호표의 바탕이다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.

  1. 제1구간 좌표, 직선, 벡터

    • 피타고라스 정리에서 두 점 사이의 거리와 선분의 중점을 얻는다.
    • 직선 위의 점이 정확히 일차방정식의 해임을 증명하고, 평행과 수직을 기울기로 특징짓는다.
    • 평면의 벡터에 덧셈, 실수배, 크기, 내적을 주고, 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식, 정사영을 유도한다.
    • 직선의 벡터방정식, 그 법선벡터, 점과 직선 사이의 거리를 얻는다.

    1. 거리와 중점. P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1)과 P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) 사이의 거리는 (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}이고, 점 (x1+x22,y1+y22)\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)는 선분을 같은 두 절반으로 나눈다.

      받침: A (유클리드 기하학). 증명된 수업: 직선의 방정식과 직교좌표계.

    2. 직선의 방정식. 기울기는 계산에 쓰는 점과 무관하다. 또 어떤 점이, 기울기가 mm이고 (x0,y0)(x_0, y_0)을 지나는 직선 위에 있을 필요충분조건은 y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)이다. 이로부터 모든 직선은 방정식 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0를 가진다.

      받침: A (유클리드 기하학). 증명된 수업: 직선의 방정식과 직교좌표계.

    3. 평행과 수직. 연직이 아닌 서로 다른 두 직선이 평행할 필요충분조건은 기울기가 같다는 것이고, 수직일 필요충분조건은 기울기의 곱이 −1-1이라는 것이다.

      사용: 2. 직선의 방정식. 받침: A (유클리드 기하학), B (거리 공식). 증명된 수업: 직선의 방정식과 직교좌표계.

    4. 수선이 가장 짧은 길이다. QQ가 PP에서 직선 rr에 내린 수선의 발이면, 다른 모든 점 RR(rr 위의 점)는 d(P,R)>d(P,Q)d(P, R) > d(P, Q)을 만족한다.

      사용: 3. 평행과 수직. 받침: A (유클리드 기하학), B (거리 공식). 증명된 수업: 직선의 방정식과 직교좌표계.

    5. 벡터의 연산. 벡터의 덧셈과 실수배는 벡터공간의 여덟 공리를 만족하며, 조건 u1v2−u2v1≠0u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0을 만족하는 영벡터가 아닌 두 벡터는 평면의 각 벡터를 단 한 가지 방식으로 만들어 낸다.

      증명된 수업: 평면벡터와 직선의 매개변수방정식.

    6. 내적과 수직. 내적 u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2은 교환법칙과 분배법칙을 만족하고, 식 u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2를 만족하며, 두 벡터가 수직일 필요충분조건은 u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0이다.

      사용: 5. 벡터의 연산. 받침: A (유클리드 기하학), B (거리 공식). 증명된 수업: 평면벡터와 직선의 매개변수방정식.

    7. 코시-슈바르츠와 삼각부등식. 식 ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}이 성립하며, 여기에서 식 ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}가, 세 점에 대해서는 식 d(P,R)≤d(P,Q)+d(Q,R)d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)이 얻어진다.

      사용: 6. 내적과 수직. 받침: F (판별식). 증명된 수업: 평면벡터와 직선의 매개변수방정식.

    8. 정사영. v⃗\vec{v}가 영벡터가 아니면, 수 tt로서 u⃗−tv⃗\vec{u} - t \vec{v}가 v⃗\vec{v}에 수직이 되게 하는 것이 단 하나 존재하며, 그것은 t=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}이다.

      사용: 6. 내적과 수직. 증명된 수업: 평면벡터와 직선의 매개변수방정식.

    9. 벡터방정식과 법선벡터. P0P_0을 지나고 방향벡터가 d⃗\vec{d}인 직선의 점은 P0+td⃗P_0 + t \vec{d} 꼴의 점이며, 각 점에 매개변수 tt가 단 하나 대응한다. 또 n⃗=(A,B)\vec{n} = \left( A, B \right)는 직선 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0에 수직이며, 그 직선의 점은 점 PP 가운데 n⃗⋅P0P⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0을 만족하는 것이다.

      사용: 2. 직선의 방정식, 6. 내적과 수직. 받침: C (직선의 일반형). 증명된 수업: 평면벡터와 직선의 매개변수방정식.

    10. 점과 직선 사이의 거리. (x1,y1)(x_1, y_1)과 직선 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 사이의 거리는 ∣Ax1+By1+C∣A2+B2\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}이며, 수선의 발에서 얻어진다.

      사용: 4. 수선이 가장 짧은 길이다, 8. 정사영, 9. 벡터방정식과 법선벡터. 받침: C (직선의 일반형). 증명된 수업: 평면벡터와 직선의 매개변수방정식.

  2. 제2구간 거리로 정의되는 원뿔곡선

    • 포물선을 초점과 준선으로 정의하고, 그 방정식을 구하고, 이차다항식의 그래프가 정확히 축이 연직인 포물선임을 증명한다.
    • 완전제곱식 만들기로 포물선의 꼭짓점을 읽어 내고, 판별식으로 가로축과의 교점을 판정한다.
    • 타원의 축약 방정식과 쌍곡선의 기본 방정식을 역의 증명과 함께 유도하고, 원을 두 초점이 일치하는 타원으로 파악한다.
    • 원에 대한 직선과 다른 원의 위치를 조사하고, 방멱 정리를 증명한다.
    • 원뿔곡선의 접선을 판별식으로 특징짓되, 축이나 점근선에 평행한 직선에 주의하고, 연직선은 따로 다룬다.

    1. 포물선의 방정식. 초점 (h,k+f)(h, k + f)와 준선 y=k−fy = k - f에서 같은 거리에 있는 점은 정확히 곡선 (x−h)2=4f(y−k)(x - h)^2 = 4f(y - k)의 점이며, 이 곡선은 그 축 x=hx = h에 대하여 대칭이다.

      받침: B (거리 공식), G (그래프의 평행이동). 증명된 수업: 포물선의 방정식: 정의와 성질.

    2. 포물선과 이차다항식. y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c 식(단, a≠0a \neq 0)의 그래프는 정확히 축이 연직인 포물선이며, f=14af = \frac{1}{4a}이고, 그 절댓값이 초점거리이다.

      사용: 11. 포물선의 방정식. 받침: E (완전제곱식 만들기). 증명된 수업: 포물선의 방정식: 정의와 성질.

    3. 반사 성질. 포물선의 점 PP에서의 접선은, PP를 지나며 축에 평행한 직선, 그리고 PP와 초점을 잇는 직선과 같은 각을 이룬다.

      사용: 11. 포물선의 방정식. 받침: A (유클리드 기하학), B (거리 공식), F (판별식). 증명된 수업: 포물선의 방정식: 정의와 성질.

    4. 꼭짓점과 축과의 교점. y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c 식의 꼭짓점은 (−b2a,−Δ4a)\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)이며, a>0a > 0이면 가장 낮은 점, a<0a < 0이면 가장 높은 점이다. 또 포물선이 xx축과 두 점에서 만나는지, 한 점에서 만나는지, 만나지 않는지는 Δ\Delta의 값이 양수, 0, 음수 가운데 무엇인지에 따른다.

      사용: 12. 포물선과 이차다항식. 받침: E (완전제곱식 만들기), F (판별식). 증명된 수업: 포물선의 특성화와 그래프.

    5. 타원의 축약 방정식. 조건 b2=a2−c2b^2 = a^2 - c^2 아래에서, 초점이 (±c,0)(\pm c, 0)이고 거리의 합이 2a2a인 타원은 정확히 곡선 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1이며, 각 점에서 초점까지의 거리는 a+caxa + \frac{c}{a} x와 a−caxa - \frac{c}{a} x이다.

      받침: B (거리 공식). 증명된 수업: 타원과 원의 방정식.

    6. 원의 방정식. 중심이 (h,k)(h, k)이고 반지름이 rr인 원은 곡선 (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2이며, 두 초점이 모두 중심과 일치하는 타원이다.

      사용: 15. 타원의 축약 방정식. 받침: B (거리 공식), G (그래프의 평행이동). 증명된 수업: 타원과 원의 방정식.

    7. 타원과의 접함. 연직이 아닌 직선이 타원에 접할 필요충분조건은 그 직선을 대입하여 얻은 방정식의 판별식이 0이라는 것이다. 판별식이 양수이면 직선은 타원과 두 점에서 만나고, 음수이면 타원에 닿지 않는다. 연직인 접선은 x=ax = a과 x=−ax = -a뿐이다.

      사용: 15. 타원의 축약 방정식. 받침: F (판별식). 증명된 수업: 타원과 원의 방정식.

    8. 직선의 위치. δ\delta를 중심에서 직선까지의 거리라 하면, δ>r\delta > r이면 직선은 원에 닿지 않고, δ=r\delta = r이면 수선의 발에서만 원에 닿으며, δ<r\delta < r이면 원과 두 점에서 만난다.

      사용: 4. 수선이 가장 짧은 길이다, 16. 원의 방정식. 받침: A (유클리드 기하학), D (점과 직선 사이의 거리), F (판별식). 증명된 수업: 원: 접선, 위치 관계, 방멱.

    9. 접선은 반지름에 수직이다. 원의 점 TT를 지나는 직선이 접선일 필요충분조건은 중심과 TT를 잇는 반지름에 수직이라는 것이다. 각 점을 지나는 접선은 단 하나이다.

      사용: 3. 평행과 수직, 4. 수선이 가장 짧은 길이다, 18. 직선의 위치. 증명된 수업: 원: 접선, 위치 관계, 방멱.

    10. 근축과 위치 관계. 중심이 서로 다른 두 원에 대한 방멱이 같은 점들은 중심을 잇는 직선에 수직인 직선을 이룬다. 두 원은 ∣r1−r2∣<d<r1+r2\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2이면 두 공유점을 가지고, dd의 값이 그 두 끝값 가운데 하나와 같으면 한 공유점을 가진다. 이때 접점을 제외하면, 내접에서는 작은 원의 점이 큰 원의 내부에 있고, 외접에서는 각 원의 점이 다른 원의 외부에 있다. 그 밖의 경우에는 공유점이 없다.

      사용: 3. 평행과 수직, 7. 코시-슈바르츠와 삼각부등식, 16. 원의 방정식, 18. 직선의 위치. 받침: C (직선의 일반형), D (점과 직선 사이의 거리). 증명된 수업: 원: 접선, 위치 관계, 방멱.

    11. 방멱. PP를 지나는 직선이 원과 AA와 BB에서 만나면 식 d(P,A)⋅d(P,B)=∣p∣d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}가 성립한다. 단, p=d2−r2p = d^2 - r^2이다. 또 외부의 점에서는 정확히 두 접선을 그을 수 있으며, 그 길이는 둘 다 p\sqrt{p}이다.

      사용: 18. 직선의 위치, 19. 접선은 반지름에 수직이다, 20. 근축과 위치 관계. 받침: A (유클리드 기하학). 증명된 수업: 원: 접선, 위치 관계, 방멱.

    12. 쌍곡선의 방정식. 조건 b2=c2−a2b^2 = c^2 - a^2 아래에서, 초점이 (±c,0)(\pm c, 0)이고 거리의 차가 2a2a인 쌍곡선은 정확히 곡선 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1이며, 그 가지는 점근선 y=±baxy = \pm \frac{b}{a} x에 가까워진다.

      받침: B (거리 공식). 증명된 수업: 쌍곡선의 방정식과 그 유도.

    13. 직각쌍곡선. y=1xy = \frac{1}{x} 식의 그래프는 초점이 (2,2)(\sqrt{2}, \sqrt{2})와 (−2,−2)(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})이고 그 두 점까지의 거리의 차가 222\sqrt{2}인 쌍곡선이다. 이것은 직각쌍곡선이며, 점근선은 좌표축이다.

      사용: 22. 쌍곡선의 방정식. 받침: A (유클리드 기하학), B (거리 공식). 증명된 수업: 쌍곡선의 방정식과 그 유도.

    14. 쌍곡선과의 접함. 점근선에 평행하지 않은 직선이 쌍곡선에 접하는 것은 정확히 판별식이 0일 때이다. 점근선에 평행하되 그것과 일치하지 않는 직선은 쌍곡선과 단 한 점에서 만나며 쌍곡선을 가로지른다. 연직인 접선은 x=ax = a과 x=−ax = -a뿐이다.

      사용: 22. 쌍곡선의 방정식. 받침: F (판별식). 증명된 수업: 쌍곡선의 방정식과 그 유도.

  3. 제3구간 통일된 이론과 부등식

    • 방정식 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0을, ACAC의 부호와, 완전제곱식을 만든 뒤에 남는 우변으로 분류한다.
    • 타원, 포물선, 쌍곡선을 이심률에 따라 초점과 준선에 의한 자취로 그려 낸다.
    • 일차식이 그 직선의 각 쪽에서 부호를 유지함을 증명하고, 이를 바탕으로 시험점 방법을 세운다.
    • 일차부등식으로 정해지는 영역이 볼록함을 증명하고, 시험점 방법을 원뿔곡선으로 넓히고, 일차함수가 유계인 볼록 다각형 위에서 꼭짓점에서 극값을 가지며, 극값이 존재할 때에는 꼭짓점을 가진 유계가 아닌 영역 위에서도 꼭짓점에서 가짐을 증명한다.

    1. 이차곡선의 일반형. 모든 방정식 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0(단, AA와 CC가 동시에 0은 아니다)은 ACAC의 값이 양수, 음수, 0 가운데 무엇인지에 따라 타원, 쌍곡선, 포물선을 나타내거나, 그것들의 퇴화한 경우 가운데 하나를 나타낸다. 그 가운데 어느 것인지는 완전제곱식을 만든 뒤에 남는 우변 GG가 결정한다.

      사용: 11. 포물선의 방정식, 15. 타원의 축약 방정식, 16. 원의 방정식, 22. 쌍곡선의 방정식. 받침: E (완전제곱식 만들기), F (판별식), G (그래프의 평행이동). 증명된 수업: 원뿔곡선: 포물선, 타원, 쌍곡선의 특성화와 그래프.

    2. 초점과 준선의 정리. 초점 FF까지의 거리가 준선까지의 거리의 ee배인 점들(준선은 LL)은 e<1e < 1이면 타원, e=1e = 1이면 포물선, e>1e > 1이면 쌍곡선을 이룬다.

      사용: 11. 포물선의 방정식, 15. 타원의 축약 방정식, 22. 쌍곡선의 방정식, 25. 이차곡선의 일반형. 받침: A (유클리드 기하학), B (거리 공식), E (완전제곱식 만들기). 증명된 수업: 원뿔곡선: 포물선, 타원, 쌍곡선의 특성화와 그래프.

    3. 타원과 쌍곡선의 준선. 이심률이 e=cae = \frac{c}{a}인 타원과 쌍곡선에서, 각 점에서 초점 (c,0)(c, 0)까지의 거리는 그 점에서 직선까지의 거리의 ee배이며, 그 직선은 x=aex = \frac{a}{e}이다. 반면 원에는 준선이 없다.

      사용: 15. 타원의 축약 방정식, 22. 쌍곡선의 방정식, 26. 초점과 준선의 정리. 증명된 수업: 원뿔곡선: 포물선, 타원, 쌍곡선의 특성화와 그래프.

    4. 반평면 정리. 식 Ax+By+CAx + By + C는 직선 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0의 한쪽의 모든 점에서 양수이고, 다른 쪽의 모든 점에서 음수이다. 여기에서 시험점 방법이 나온다.

      받침: C (직선의 일반형), H (부호 규칙). 증명된 수업: 평면에서의 부등식과 선형계획법.

    5. 선분을 따라가는 식. 끝점이 PP와 QQ인 선분 위에서 일차식은 L(Pt)=(1−t)L(P)+tL(Q)L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)을 만족하며, 따라서 연립일차부등식의 해의 영역은 볼록하다. 또 선분 위에서 0이 되지 않는 이차식은 그 선분 위에서 부호를 유지하며, 따라서 모든 원뿔곡선은 평면을 두 개 또는 세 개의 영역으로 나누고, 그 영역들에서 시험점 방법을 쓸 수 있다.

      사용: 2. 직선의 방정식, 28. 반평면 정리, 7. 코시-슈바르츠와 삼각부등식, 14. 꼭짓점과 축과의 교점. 받침: F (판별식), H (부호 규칙). 증명된 수업: 평면에서의 부등식과 선형계획법.

    6. 꼭짓점 정리. 함수 ax+by+cax + by + c는 등호를 포함하는 연립일차부등식의, 비어 있지 않고 유계인 영역 위에서 최댓값과 최솟값을 가지며, 각각을 영역의 꼭짓점 가운데 하나에서 가진다. 영역이 유계가 아니지만 꼭짓점을 가지면, 곧 직선 전체를 포함하지 않으면, 얻어지는 최댓값이나 최솟값은 모두 꼭짓점에서도 얻어진다.

      사용: 29. 선분을 따라가는 식. 증명된 수업: 평면에서의 부등식과 선형계획법.

초월함수를 향하여. 사슬은 일차와 이차의 대수 곡선에 대한 연구를 마무리한다. 뒤 단원은 대수 함수를 벗어나지만, 거기에서도 쌍곡선이 다시 나타난다. y=1xy = \frac{1}{x} 식 아래의 넓이는 로그처럼 움직이고, 점 (cosh⁡t,sinh⁡t)(\cosh t, \sinh t)는 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 식의 오른쪽 가지를 그린다.