평면에서의 부등식과 선형계획법

증명

1. 1
   $$\dato{q}{A x_0 + B y_1 + C = 0}$$

   $P = (x_0, y_0)$을 $r$ 위에 있지 않은 점이라 하고, 먼저 $B \neq 0$이라 가정하자. $P$를 지나는 연직선은 $r$과 오직 하나의 점 $Q = (x_0, y_1)$에서 만나며, 그 세로 좌표는 $y$에 대하여 풀어서 얻는다($r$의 방정식을 이용하여). 점 $Q$는 이 방정식을 만족한다.

2. 2
   $$E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + B y_0 + C) - (A x_0 + B y_1 + C)} = \dato{dif}{\resaltar{B \cdot (y_0 - y_1)}}$$

   $E$의 $P$에서의 값에서 이 영을 뺀다. $x_0$을 포함하는 항과 상수항이 소거되고, 곱이 남는다.

3. 3
   $$B > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 > y_1 \right)$$

   $B > 0$이면, 부호표와 부등식에 관한 수업에서 배운 부호 규칙에 따라 곱은 $y_0 - y_1$과 같은 부호를 가진다. 곧 $P$가 $r$의 위쪽에 있을 때 양수, 아래쪽에 있을 때 음수이다.

4. 4
   $$B < 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 < y_1 \right)$$

   $B < 0$이면 곱은 $y_0 - y_1$과 반대 부호를 가진다. 식은 $r$의 위쪽에서 음수, 아래쪽에서 양수이다.

5. 5
   $$E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + C) - (A x_1 + C)} = \resaltar{A \cdot (x_0 - x_1)}$$

   $B = 0$이면 $A \neq 0$이고, $r$은 연직선 $x = x_1$이다. 단, $x_1 = -\frac{C}{A}$이다. $r$ 위의 점 가운데 $P$와 같은 세로 좌표를 가지는 점으로 계산을 되풀이한다.

6. 6
   $$A > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow x_0 > x_1 \right)$$

   $A > 0$이면, 식이 양수인 것은 $x_0 > x_1$일 때, 곧 $r$의 오른쪽일 때뿐이다. $A < 0$이면 왼쪽이다. 어느 경우에나 한 점에서 $E$의 부호는 그 점이 $r$의 어느 쪽에 있는지에만 의존한다.