점근선과 그래프의 개형

요약

이 수업은 극한의 첫 기하학적 응용인 점근선으로 이 단원의 극한 공부를 마무리한다. 대수학과 기하학에서는 유리함수와 근호를 포함한 함수의 수직, 수평, 사점근선을 부호표와 다항식의 나눗셈으로 구했고, 그 근처에서 함수가 어떻게 행동하는지는 직관적인 사실로 받아들였다. 여기서는 점근선을 한쪽 극한, 무한대에서의 극한, 무한 극한으로 정의하고, 받아들였던 사실들을 증명한다. 직선이 점근선인 것은 곡선에서 그 직선까지의 거리가 영으로 갈 때이고 그때뿐임을 증명하고, 사점근선의 기울기와 절편의 공식을 구하며, 각 끝에서 점근선은 많아야 하나임을 이끌어 낸다. 또한 이 수업은 곡선이 자신의 점근선과 만날 수 없다는 흔한 믿음을 바로잡고, 도함수 없이 함수의 그래프를 그리는 방법을 제시하며, 그것을 대수학과 기하학의 함수들에 적용한다. 그 함수들의 부호표와 다항식의 나눗셈은 이제 극한으로 보완된다.

학습 목표

수직, 수평, 사점근선을 극한으로 정의하고, 이를 곡선에서 직선까지의 거리와 연결한다.
사점근선의 기울기와 절편의 공식, 그리고 각 끝에서 수직이 아닌 점근선의 유일성을 증명한다.
유리함수의 분모의 영점 근처에서의 행동에 관해 대수학과 기하학에서 받아들인 사실들을 증명하고, 곡선의 점근선에 대한 위치를 판정한다.
정의역, 대칭성, 좌표축과의 교점, 부호표, 점근선을 모아 대수함수와 삼각함수의 그래프를 그린다.

정의

대수학과 기하학의 유리함수에 관한 수업에서 점근선은 곡선이 어느 한 가지를 따라 멀어질수록 점점 더 가까워지는 직선이었다. 이 단원의 극한을 쓰면 이 생각을 정확하게 적을 수 있다. 멀어지는 방식은 두 가지이다. 변수가 어떤 수에 가까워지는 동안 값이 한없이 커지는 경우와, 변수가 한없이 커지는 경우이다. 앞의 경우에는 수직 점근선이 대응하고, 뒤의 경우에는 나머지 점근선들이 대응한다.

정의점근선

$f$ 를 정의역이 $A$ 인 함수라 하자.

직선 $x = a$ 가 $f$ 의 그래프의 수직 점근선이라는 것은 $f$ 의 $a$ 에서의 한쪽 극한 가운데 적어도 하나가 $\infty$ 또는 $-\infty$ 인 경우를 말한다.
$A$ 가 위로 유계가 아닐 때, 직선 $y = mx + b$ 가 $f$ 의 그래프의 $\infty$ 에서의 점근선이라는 것은 $\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0$ 가 성립한다는 것이다. $m = 0$ 이면 수평, $m \neq 0$ 이면 사점근선이라 한다. 같은 방식으로 $-\infty$ 에서의 점근선도 정의된다.

세 가지 주의가 정의를 보완한다. 첫째, 수평 점근선 $y = L$ ( $\infty$ 에서의)는 명제 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 에 지나지 않는다. 이는 변수가 무한대로 갈 때의 극한에 관한 수업에서 다루었다. 둘째, 수직이 아닌 점근선은 각 끝에서 따로 정의되며, $\infty$ 에서와 $-\infty$ 에서 서로 다를 수 있다. 아크탄젠트의 직선 $y = \frac{\pi}{2}$ 과 $y = -\frac{\pi}{2}$ 이 그 예이다. 셋째, $f(x) - g(x)$ 가 $0$ 으로 가고, 게다가 $g$ 가 일차가 아닌 함수일 때(예컨대 분자의 차수가 분모의 차수보다 둘 이상 클 때 나눗셈에서 얻는 몫 다항식), 곡선 $y = g(x)$ 를 곡선 점근선이라 한다. 이후 사점근선에 대해 말하는 것은 기울기와 절편의 공식을 빼고는 모두 이것에도 성립한다.

정의가 재는 것은 세로 좌표의 차, 곧 곡선과 직선 사이의 연직 거리이다. 반면 직관적인 생각은 곡선에서 직선까지의 거리를 말하며, 이것은 수선을 따라 잰다. 아래의 명제는 두 거리가 동시에 영으로 감을 보여 준다.

명제점근선까지의 거리

$P_x = (x, f(x))$ 를 가로 좌표가 $x$ 인 그래프 위의 점이라 하고, $r$ 을 직선 $y = mx + b$ 로 두자. 그러면 $r$ 이 $f$ 의 그래프의 $\infty$ 에서의 점근선일 필요충분조건은 $\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0$ 이다. 직선까지의 거리는 연직 거리에 양의 상수를 곱한 것이다. 그림의 곡선은 $f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}$ 이며, 그 점근선은 직선 $y = \frac{x}{2} + 1$ 이다.

증명

$\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}$
직선 $r$ 의 방정식은 $mx - y + b = 0$ 이다. 평면벡터에 관한 수업의 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해, $P_x$ 와 $r$ 사이의 거리는 연직 거리를 $\sqrt{m^2 + 1}$ 로 나눈 것이며, 이는 $x$ 에 의존하지 않는다.
$f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}$
극한의 연산 법칙에 관한 수업의 「영으로 가는 거리로서의 극한」 보조정리를 무한대로 옮겨 쓰면, $f(x) - (mx + b)$ 가 $0$ 으로 가는 것은 그 절댓값이 $0$ 으로 갈 때이고 그때뿐이다. 그리고 절댓값이 $0$ 으로 가는 것은 양의 상수 $\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ 과의 곱이 그렇게 될 때이고 그때뿐이다. 이는 일차결합의 법칙에 의한다.