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Topos Uranos
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초등함수의 연속성과 주요 극한

요약

이 수업은 아직 남아 있던 초등함수, 즉 지수함수, 로그함수, 실수 지수의 거듭제곱, 역삼각함수, 쌍곡선함수가 연속임을 단 하나의 논법으로 증명한다. 그 논법은 값들이 구간을 채우는 단조함수는 도약할 수 없다는 것이다. 이 연속성과 지수함수의 기본 부등식으로 지수함수와 로그함수의 주요 극한을 증명하고, 수 ee를 (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}}의 극한으로 얻는다. 이 수업은 또한 1∞1^\infty 꼴의 부정형을 해결하고, 무한대에서 지수함수, 거듭제곱, 로그함수를 비교한다.

학습 목표

  1. 상이 구간인 단조함수는 연속임을 증명하고, 이로부터 역함수의 연속성과 초등함수의 연속성을 이끌어 낸다.
  2. 지수함수, 로그함수, 거듭제곱의 주요 극한을 증명한다.
  3. 수 ee를 극한으로 얻고, 1∞1^\infty 꼴의 부정형을 해결한다.
  4. 무한대와 영 근처에서 지수함수, 거듭제곱, 로그함수를 비교한다.

도약이 없는 단조함수

극한과 연속성에 관한 수업은 다항식, 거듭제곱근, 절댓값, 삼각함수가 연속임을 증명했고, 지수함수, 로그함수, 역삼각함수는 미루어 두었다. 이 함수들에는 ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}만큼 간단한 상계가 없다. 그 대신 공통된 논법이 있다. 모두 단조이며, 그 값들은 빈틈을 남기지 않고 구간을 채운다. 단조함수는 도약을 통해서만 불연속일 수 있고, 도약은 값들 사이에 빈틈을 남긴다.

정리상이 구간인 단조함수

ff를 구간 II에서 정의되고 거기서 단조인 함수라 하고, 그 상 f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\}가 구간이라고 하자. 그러면 ff는 II에서 연속이다. 좌극한과 우극한에 관한 수업에 의해, 단조함수는 한 점의 각 쪽에서 극한을 가진다. 그 극한이 함숫값이 아니라면 상에 빈틈이 남을 것이다. 그림은 도약이 있는 증가함수와 그것이 남기는 빈틈을 보여 준다.

증명

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    증가하는 경우만 보면 충분하다. ff가 감소하면 −f-f는 증가하고 그 상도 구간이다. aa를 II의 점으로서 그 왼쪽 끝점과 다른 것이라 하고, 또 c<ac < a를 만족하는 점을 하나 잡되 그 점도 II에 속하게 하자. (c,a)\ioo{c}{a}에서 함수는 증가하고 f(a)f(a)를 상계로 가진다. 단조함수의 극한 정리에 의해 좌극한이 존재하며, 그것은 이 값들의 상한이다.

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    L<f(a)L < f(a)가 성립한다고 가정하자. 중점 yy(LL과 f(a)f(a) 사이의 것)는 값 f(c)f(c)와 f(a)f(a) 사이에 있으므로 상에 속하며, 상은 구간이다. 그러나 어떤 xx(II의 원소)도 거기에 이르지 못한다. x<ax < a일 때 그 값은 LL을 넘지 않고, x≥ax \geq a일 때 그 값은 f(a)f(a)보다 작아지지 않는다. 이것은 모순이다.

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    따라서 L=f(a)L = f(a)가 성립한다. 같은 방식으로, 하한과 같은 수업의 왼쪽 끝점에 관한 따름정리를 쓰면 우극한은 f(a)f(a)와 같다. 이는 모든 aa(II의 점으로서 그 오른쪽 끝점과 다른 것)에서 성립한다. 두 한쪽 극한이 함숫값과 일치하므로 ff는 aa에서 연속이다. II의 끝점에서는 존재하는 유일한 쪽만으로 충분하다.

상에 관한 가정은 필요하다. 정수 부분은 단조이고 각 정수에서 불연속이며, 그 상인 정수 전체는 구간이 아니다. 정리로부터 역함수의 연속성이 곧바로 따른다.

따름정리역함수의 연속성

ff를 구간 II에서 정의되고 거기서 엄격하게 단조인 함수라 하고, 그 상 J=f(I)J = f(I)가 구간이라고 하자. 그러면 역함수 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I는 JJ에서 연속이다. 역함수는 같은 방향으로 단조이고, 그 상은 구간 II 자체이다.

증명

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    ff가 증가하고, 두 점이 y<y′y < y'를 만족하며 모두 JJ에 속한다고 하자. 역함수는 순서를 뒤집을 수 없다. 만약 f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')가 성립한다면 ff를 적용하여 y≥y′y \geq y'가 나올 것이다. 따라서 f−1f^{-1}은 증가하고, 그 상은 II 자체이다. 정리가 연속성을 준다. 감소하는 경우도 같다.