원뿔곡선: 포물선, 타원, 쌍곡선의 특성화와 그래프

요약

이 수업은 앞의 수업들에서 공부한 곡선들을 하나의 이론으로 묶는다. 원뿔곡선을 이중 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 곡선으로 소개하고, 그 표준형을 다시 살펴보며, $xy$ 항이 없는 이차방정식은 모두 포물선, 타원, 쌍곡선 또는 그 퇴화한 경우 가운데 하나, 곧 한 점, 한 직선이나 두 직선, 또는 아무 점도 없는 경우를 나타낸다는 것을 보인다. 어떤 곡선인지 판정하고 그 중심이나 꼭짓점, 반축, 초점을 읽어 내는 데에는 완전제곱식을 만드는 것으로 충분하다. 끝으로, 초점과 준선을 이용해 세 곡선을 하나의 정의로 묶는 이심률과, 원뿔곡선과 직선의 교점을 다룬다.

학습 목표

원뿔곡선을 이중 원뿔을 평면으로 자른 단면으로 인식하며, 그 퇴화한 경우도 포함하여 이해한다.
$xy$ 항이 없는 이차방정식을 완전제곱식을 만들어 표준형으로 고치고, 계수의 부호로부터 그것이 어떤 곡선을 나타내는지 판정한다.
일반형 방정식으로 주어진 원뿔곡선의 중심이나 꼭짓점, 반축, 초점, 준선, 점근선을 구하고, 그 그래프를 그린다.
이심률을 이용해 원뿔곡선을 자취로 기술하고, 판별식을 이용해 직선과의 교점을 조사한다.

원뿔곡선

이중 원뿔을 생각하자. 이것은 한 직선(모선)이 그것과 한 고정점(원뿔의 꼭짓점)에서 만나는 다른 직선(축)의 둘레를 회전할 때 만드는 곡면이다. 이 곡면은 꼭짓점의 양쪽에 하나씩, 두 개의 원뿔면으로 이루어진다. 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 자르면, 생기는 곡선은 평면이 축과 이루는 각을 각 모선이 축과 이루는 각과 비교한 결과에 따라 정해진다.

평면이 축에 수직이면 곡선은 원이다.
평면이 축과 이루는 각이 모선이 이루는 각보다 크면, 평면은 한쪽 원뿔면의 모든 모선과 만나고, 곡선은 닫힌 곡선인 타원이다.
평면이 축과 이루는 각이 모선이 이루는 각과 같으면, 곧 평면이 어떤 모선과 평행하면, 평면은 한쪽 원뿔면하고만 만나고, 곡선은 열린 곡선인 포물선이다.
평면이 축과 이루는 각이 모선이 이루는 각보다 작으면, 평면은 두 원뿔면과 모두 만나고, 곡선은 두 가지를 가진 쌍곡선이다.

평면이 원뿔의 꼭짓점을 지나면, 교선은 한 점, 한 직선(모선 하나) 또는 꼭짓점에서 만나는 두 직선으로 줄어든다. 이것들이 퇴화한 경우이며, 뒤에서 원뿔을 잘라서는 얻을 수 없는 다른 두 경우, 곧 원기둥을 잘라 얻는 평행한 두 직선과 공집합과 함께, 어떤 이차방정식들의 해로 다시 나타난다. 그런데 원은 넷째 족이 아니라, 평면이 축에 수직인 위치에 있을 때에 대응하는 타원이다.

원뿔을 잘라 얻는 곡선이 앞의 수업들에서 초점을 이용해 정의한 곡선과 일치한다는 것이 당들랭 정리이다. 그 증명은 공간기하(원뿔에 내접하고 자르는 평면에 접하는 구들로, 그 평면과의 접점이 초점이 되는 것)를 필요로 하므로 이 강좌의 범위를 벗어난다. 그래서 여기서 원뿔의 단면은 직관적인 그림으로만 쓰이고, 사용하는 정의는 거리에 의한 정의이다.