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Topos Uranos
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고계도함수와 미분

요약

이 수업에서는 도함수를 다시 미분한다. 함수의 도함수는 또 하나의 함수이고, 그것을 다시 미분할 수 있다. 이렇게 이계도함수, 삼계도함수, 일반적으로 nn계도함수를 얻으며, 거듭제곱, 지수함수, 사인, 코사인에 대해서는 이를 나타내는 닫힌 식이 있고 귀납법으로 증명된다. 곱의 nn계도함수는 이항식의 거듭제곱과 같은 법칙을 따른다. 이것이 라이프니츠 공식이다. 수업의 후반부에서는 라이프니츠 표기법의 기호 dy\mathrm{d}y와 dx\mathrm{d}x에 각각 따로 의미를 부여한다. 미분 dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x는 함수의 증분의 선형 부분이며, 증분과의 차가 변수의 증분에 비해 무시할 수 있는 유일한 것이다. 미분을 이용하여 값을 근사하고 측정 오차가 어떻게 전파되는지 추정하지만, 근사의 오차를 위에서 누르는 것은 아직 목표로 하지 않는다.

학습 목표

  1. 고계도함수를 그 정의역과 함께 정의하고, 거듭제곱, 지수함수, 사인, 코사인, 다항식의 nn계도함수를 귀납법으로 구한다.
  2. 곱의 nn계도함수에 대한 라이프니츠 공식을 증명하고, 인수 중 하나가 다항식일 때 적용한다.
  3. 미분을 정의하고 그것이 증분의 주요부임을 증명하여, Δy\Delta y와 dy\mathrm{d}y를 구별한다.
  4. 미분을 이용하여 값을 근사하고 상대오차를 추정하며, 근사가 무엇을 주장하고 무엇을 주장하지 않는지 이해한다.

고계도함수

함수의 도함수는 또 하나의 함수이며, 그것을 다시 미분하는 것을 막는 것은 없다. x3x^3의 도함수는 3x23x^2이고, 3x23x^2의 도함수는 6x6x이다. 6x6x의 도함수는 66이고, 66의 도함수는 00이다. s(t)s(t)가 움직이는 물체의 시각 tt에서의 위치이면, 그 도함수 s′(t)s'(t)는 속도이고, 속도의 도함수는 속도 자체가 얼마나 빨리 변하는지를 재는 것으로 가속도이다. 이 해석은 변화율에 관한 수업에서 다룬다. 극한으로서의 도함수에 관한 수업에서처럼, 각 도함수가 어디에서 정의되는지 정확히 정해 두는 것이 좋다.

정의고계도함수

ff를 AA에서 정의된 함수라 하자. ff의 고계도함수는 재귀적으로 정의된다. 00계도함수는 함수 자신이고, n+1n + 1계도함수는 nn계도함수의 도함수이다:

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

도함수의 정의에 의해, n+1n + 1계도함수의 정의역은 f(n)f^{(n)}의 정의역의 점 중 f(n)f^{(n)}이 미분가능한 점들의 집합이다. ff가 nn번 미분가능하다는 것은, 점 aa에서는 aa가 f(n)f^{(n)}의 정의역에 속한다는 것이고, 집합 SS에서는 SS의 각 점에서 그렇다는 것이다. 또 SS에서 무한 번 미분가능하다는 것은 모든 nn에 대해 그렇다는 것이다. 처음 몇 개는 프라임으로 써서 f′′=f(2)f'' = f^{(2)}(이계도함수)와 f′′′=f(3)f''' = f^{(3)}로 나타내고, 사계부터는 거듭제곱과 혼동하지 않도록 f(4)f^{(4)}처럼 그 계를 괄호 안에 쓴다. y=f(x)y = f(x)일 때 라이프니츠 표기법으로는 d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}와 dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}으로 쓰고, nn번 미분하는 연산은 dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}으로 쓴다.

라이프니츠 표기법에서 분자의 지수는 연산 ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}를 몇 번 적용하는지를 나타내고, 분모의 지수는 기호 dx\mathrm{d}x 전체에 걸리는 것이지 변수 xx에 걸리는 것이 아니다. 기호 전체 d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}는 하나로 읽는다. ff가 한 점에서 nn번 미분가능하면, 계가 nn보다 작은 각 도함수는 그 점에서 미분가능하고, 극한으로서의 도함수에 관한 수업의 정리(미분가능하면 연속)에 의해 그 점에서 연속이다. 일계도함수가 존재해도 이계도함수는 없을 수 있다. 미분법의 공식에 관한 수업에서는 x∣x∣x \abs{x}가 R\mathbb{R} 전체에서 미분가능하고 도함수가 2∣x∣2\abs{x}임을 보였으며, 미분불가능한 연속함수의 명제에 의해 절댓값은 00에서 미분가능하지 않다. 따라서 x∣x∣x \abs{x}는 R\mathbb{R}에서 한 번 미분가능하고, 두 번 미분가능한 것은 R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}에서뿐이며, 거기서 이계도함수의 값은 22(00의 오른쪽)와 −2-2(왼쪽)이다.

정의역에 대한 가정을 반복하지 않도록, 일반적인 진술의 함수는 열린구간 II에서 정의된 것으로 본다. 그 점들은 모두 II의 집적점이다. 이로써 잃는 것은 없다. 미분법의 공식에 관한 수업의 미분계수의 국소성 보조정리의 둘째 주장에 의해, 정의역에 포함된 열린구간의 점에서 함수의 미분계수는 그 구간으로의 제한의 미분계수와 같고, 귀납법에 의해 고계도함수도 마찬가지이다. 그래서 1x\frac{1}{x}는 (−∞,0)\ioo{-\infty}{0}과 (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 다룬다.

보조정리고계도함수의 선형성

ff와 gg를 열린구간 II에서 정의되고 nn번 미분가능한(II에서) 함수라 하고, α\alpha를 실수라 하자. 그러면 h=αf+gh = \alpha f + g는 nn번 미분가능하고(II에서), h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}(II에서)가 성립한다. 미분법의 공식에 관한 수업의 일차결합의 미분법 정리를 nn번 적용한다.

증명

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    n=1n = 1일 때는 일차결합의 미분법 정리 그 자체이며, II의 각 점에서 적용한다.

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    등식이 nn에 대해 성립하고 ff와 gg가 n+1n + 1번 미분가능하면(II에서), 함수 h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}는 II에서 미분가능한 두 함수의 일차결합이다. 같은 정리에 의해 그것은 II에서 미분가능하다. 수학적 귀납법의 원리에 의해 등식은 모든 nn에 대해 성립한다.