要約 この課は解析的三角法の単元を開き、出発点を測る導入テストを置く。この単元は、第一の単元で一つの角の関数として学んだ三角関数を、独自の規則をもつ代数的な計算に変える。すなわち、すべての角について成り立つ恒等式、和の三角比を各項の三角比で表す公式、和を積に直す変換、方程式と不等式、そしてそれらを直線のなす角の測定と、軸が斜めの 2 次曲線の識別に用いることである。本課は単元の六つの課を論理的な順序で紹介し、ギリシアの天文学の弦の表からオイラーの解析的な定式化までのこれらの考えの歴史をたどり、それらを生んだ問題、すなわち少数の既知の弦から任意の弧の弦を計算するという問題を述べ、単元が証明する道具を用いてそれを一つの例で解く。最後に、これらの考えがコースの残りの部分、サイトのほかのコース、そして科学と技術のどこで再び現れるかを示す。
学習目標 単元の各課の内容を述べ、各課がそれより前の課にどのように基づいているかを説明する。 弦の表、弦から正弦への移行、三角関数の解析的な定式化を歴史的な文脈のなかに位置づける。 ほかの既知の弦から一つの弦を計算する問題を定式化し、その解法のなかに差の公式と半角の公式を見いだす。 解析的三角法の、微分積分、力学、プログラミング、線形代数における応用を挙げる。 導入テスト 単元を学ぶ前に、出発点を測っておくのがよい。この自己診断は成績をつけるものではなく、どこで立ち止まるべきかを知るためのものである。最初の九問は単元の六つの課を扱い、ほかの課を支える恒等式、加法定理、方程式の課にそれぞれ二問、残りの三つの課にそれぞれ一問を当てる。十問目はモデル化の問題で、二倍角の公式を用いて具体的な状況を式に表すことを求める。同じ技能は最後に、まとめの課で、別のデータを用いて再び測られる。最後の三問は、単元が第一の単元とコース I から既知とするもの、すなわち単位円上の値、逆関数、内積を確かめる。
単元を始める前に、自分の出発点を測りましょう。短い自己評価です。採点はされず、結果はあなたのブラウザーにだけ保存されます。
問 1 次の等式のうち、共通の定義域において恒等式であるものはどれか。
1 − cos 2 x = sin x \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sin x 1 − cos 2 x = sin x sin 2 x \sin^2 x sin 2 x の平方根は
∣ sin x ∣ \abs{\sin x} ∣ sin x ∣ であり、
sin x \sin x sin x ではない。
x = 3 π 2 x = \frac{3\pi}{2} x = 2 3 π では左辺は
1 1 1 、右辺は
− 1 -1 − 1 となる。恒等式を否定するには反例が一つあれば足りる。
sin x + cos x = 1 \sin x + \cos x = 1 sin x + cos x = 1 0 0 0 と
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π では成り立つが、
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π では成り立たず、そこでは左辺が
2 \sqrt{2} 2 となる。有限回の都合のよい確認では恒等式は証明できない。
tan x sin x = cos x \frac{\tan x}{\sin x} = \cos x s i n x t a n x = cos x 商が逆になっている。
tan x sin x = sin x cos x ⋅ 1 sin x = 1 cos x = sec x \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x s i n x t a n x = c o s x s i n x ⋅ s i n x 1 = c o s x 1 = sec x であり、これは
x = π 3 x = \frac{\pi}{3} x = 3 π で
2 2 2 となり、
1 2 \frac{1}{2} 2 1 ではない。
通分すると
sec x − cos x = 1 − cos 2 x cos x = sin 2 x cos x = sin x tan x \sec x - \cos x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x} = \sin x \tan x sec x − cos x = c o s x 1 − c o s 2 x = c o s x s i n 2 x = sin x tan x となり、これは
cos x ≠ 0 \cos x \neq 0 cos x = 0 となるすべての点で成り立つ。そこが両辺の共通の定義域である。
復習： 三角関数の基本恒等式
問 2 tan θ = − 3 4 \tan \theta = -\frac{3}{4} tan θ = − 4 3 θ \theta θ cos θ \cos \theta cos θ
正しい答え： − 4 5 -\frac{4}{5} − 5 4
ピタゴラスの恒等式により
sec 2 θ = 1 + tan 2 θ = 25 16 \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = \frac{25}{16} sec 2 θ = 1 + tan 2 θ = 16 25 であるから
cos 2 θ = 16 25 \cos^2 \theta = \frac{16}{25} cos 2 θ = 25 16 となる。第 2 象限では余弦は負であり、
cos θ = − 4 5 \cos \theta = -\frac{4}{5} cos θ = − 5 4 である。
4 5 \frac{4}{5} 5 4 を得た人は象限で決まる符号を忘れており、
− 3 5 -\frac{3}{5} − 5 3 を得た人は正弦
3 5 \frac{3}{5} 5 3 を計算して、それに余弦の符号をつけている。
復習： 三角関数の基本恒等式
問 3 tan 7 π 12 \tan \frac{7\pi}{12} tan 12 7 π 7 π 12 = π 3 + π 4 \frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} 12 7 π = 3 π + 4 π
2 + 3 2 + \sqrt{3} 2 + 3 分母の符号が逆になっている。
tan π 3 tan π 4 − 1 \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4} - 1 tan 3 π tan 4 π − 1 を、
1 − tan π 3 tan π 4 1 - \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4} 1 − tan 3 π tan 4 π の代わりに用いている。この角は第 2 象限にあり、その正接は負である。
和の正接の公式により
tan 7 π 12 = 3 + 1 1 − 3 \tan \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} tan 12 7 π = 1 − 3 3 + 1 であり、分母を有理化すると
− ( 2 + 3 ) -\left( 2 + \sqrt{3} \right) − ( 2 + 3 ) となる。第 2 象限の角にふさわしく、負の値である。
復習： 加法定理と二倍角・半角の公式
問 4 sin θ = 3 5 \sin \theta = \frac{3}{5} sin θ = 5 3 π 2 < θ < π \frac{\pi}{2} < \theta < \pi 2 π < θ < π sin 2 θ \sin 2\theta sin 2 θ
正しい答え： − 24 25 -\frac{24}{25} − 25 24
第 2 象限では余弦は負であり、ピタゴラスの恒等式により
cos θ = − 4 5 \cos \theta = -\frac{4}{5} cos θ = − 5 4 である。二倍角の公式により
sin 2 θ = 2 ⋅ 3 5 ⋅ ( − 4 5 ) = − 24 25 \sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{24}{25} sin 2 θ = 2 ⋅ 5 3 ⋅ ( − 5 4 ) = − 25 24 となる。
24 25 \frac{24}{25} 25 24 を得た人は余弦を正としており、
6 5 \frac{6}{5} 5 6 を得た人は正弦を二倍しているが、それは
1 1 1 を超えるので不可能である。
復習： 加法定理と二倍角・半角の公式
問 5 f ( x ) = 3 sin x − 4 cos x + 1 f(x) = 3 \sin x - 4 \cos x + 1 f ( x ) = 3 sin x − 4 cos x + 1
正しい答え： 6 6 6
合成した形により
3 sin x − 4 cos x = 5 sin ( x + φ ) 3 \sin x - 4 \cos x = 5 \sin(x + \varphi) 3 sin x − 4 cos x = 5 sin ( x + φ ) であり、ここで
R = 9 + 16 = 5 R = \sqrt{9 + 16} = 5 R = 9 + 16 = 5 である。その値域は
[ − 5 , 5 ] \icc{-5}{5} [ − 5 , 5 ] であり、
f f f の最大値は
5 + 1 = 6 5 + 1 = 6 5 + 1 = 6 である。
8 8 8 を得た人は二つの項の最大値を足しているが、それらは同じ点でとられるわけではない。
5 5 5 を得た人は定数を忘れている。
復習： 和積の公式と三角関数の合成
問 6 方程式 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 [ 0 , 2 π ) \ico{0}{2\pi} [ 0 , 2 π )
正しい答え： 3 3 3
三項式は
( 2 cos x + 1 ) ( cos x − 1 ) \left( 2 \cos x + 1 \right) \left( \cos x - 1 \right) ( 2 cos x + 1 ) ( cos x − 1 ) と因数分解される。方程式
cos x = − 1 2 \cos x = -\frac{1}{2} cos x = − 2 1 は一周のなかに二つの解
2 π 3 \frac{2\pi}{3} 3 2 π と
4 π 3 \frac{4\pi}{3} 3 4 π をもち、
cos x = 1 \cos x = 1 cos x = 1 はただ一つの解
0 0 0 をもつ。
∣ c ∣ = 1 \abs{c} = 1 ∣ c ∣ = 1 だからである。
4 4 4 を得た人は
cos x = 1 \cos x = 1 cos x = 1 の解を二度数えている。
復習： 三角方程式と三角関数の不等式
問 7 cos x − sin x = 1 \cos x - \sin x = 1 cos x − sin x = 1 x = k π 2 x = \frac{k\pi}{2} x = 2 k π [ 0 , 2 π ) \ico{0}{2\pi} [ 0 , 2 π )
0 0 0 π 2 \frac{\pi}{2} 2 π これは
sin x + cos x = 1 \sin x + \cos x = 1 sin x + cos x = 1 の解である。
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π では、もとの方程式の左辺
cos x − sin x \cos x - \sin x cos x − sin x は
0 − 1 = − 1 0 - 1 = -1 0 − 1 = − 1 となる。
両辺を平方すると
cos x − sin x = − 1 \cos x - \sin x = -1 cos x − sin x = − 1 の解が加わるので、各候補をもとの方程式で確かめなければならない。
0 0 0 と
3 π 2 \frac{3\pi}{2} 2 3 π では左辺は
1 1 1 となり、
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π と
π \pi π では
− 1 -1 − 1 となる。
復習： 三角方程式と三角関数の不等式
問 8 二直線 y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1 y = − 3 x + 4 y = -3x + 4 y = − 3 x + 4
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π 傾きの符号が逆であるだけでは垂直にならない。
1 + m 1 m 2 = 0 1 + m_1 m_2 = 0 1 + m 1 m 2 = 0 が必要であり、ここでは
1 + m 1 m 2 = − 5 1 + m_1 m_2 = -5 1 + m 1 m 2 = − 5 である。
二直線のなす角の定理により
tan θ = ∣ − 3 − 2 1 + 2 ⋅ ( − 3 ) ∣ = ∣ − 5 − 5 ∣ = 1 \tan \theta = \abs{\frac{-3 - 2}{1 + 2 \cdot (-3)}} = \abs{\frac{-5}{-5}} = 1 tan θ = 1 + 2 ⋅ ( − 3 ) − 3 − 2 = − 5 − 5 = 1 であり、二直線のなす角は
( 0 , π 2 ] \ioc{0}{\frac{\pi}{2}} ( 0 , 2 π ] に属する。
復習： 二直線のなす角と三角法の応用
問 9 方程式 x 2 + 4 x y + y 2 − 3 = 0 x^2 + 4xy + y^2 - 3 = 0 x 2 + 4 x y + y 2 − 3 = 0
判別式は
B 2 − 4 A C = 16 − 4 = 12 > 0 B^2 - 4AC = 16 - 4 = 12 > 0 B 2 − 4 A C = 16 − 4 = 12 > 0 で、方程式は双曲型である。
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π の回転によって
3 X 2 − Y 2 = 3 3X^2 - Y^2 = 3 3 X 2 − Y 2 = 3 となり、これは双曲線であって二本の直線ではない。
復習： 座標軸の回転と一般の二次方程式
問 10 断面が円で直径 20 20 20 θ \theta θ
正しい答え： 200 200 200
円に内接する長方形の対角線は直径であるから、辺の長さは
20 cos θ 20 \cos \theta 20 cos θ と
20 sin θ 20 \sin \theta 20 sin θ であり、二倍角の公式により面積は
400 sin θ cos θ = 200 sin 2 θ 400 \sin \theta \cos \theta = 200 \sin 2\theta 400 sin θ cos θ = 200 sin 2 θ となる。
sin 2 θ ≤ 1 \sin 2\theta \leq 1 sin 2 θ ≤ 1 であり、等号は
θ = π 4 \theta = \frac{\pi}{4} θ = 4 π のときに成り立つので、最大値は
200 200 200 、つまり正方形の断面の面積である。
400 400 400 を得た人は因数
1 2 \frac{1}{2} 2 1 （
sin θ cos θ = 1 2 sin 2 θ \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta sin θ cos θ = 2 1 sin 2 θ に現れるもの）を忘れており、
50 50 50 を得た人は半径を対角線としている。
復習： 加法定理と二倍角・半角の公式
問 11 前の単元から 単位円上の点 P ( − 7 π 6 ) P\left( -\frac{7\pi}{6} \right) P ( − 6 7 π )
角
− 7 π 6 -\frac{7\pi}{6} − 6 7 π は
− 7 π 6 + 2 π = 5 π 6 -\frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6} − 6 7 π + 2 π = 6 5 π と動径が一致する角であり、これは第 2 象限の角で、その余弦は
− 3 2 -\frac{\sqrt{3}}{2} − 2 3 、正弦は
1 2 \frac{1}{2} 2 1 である。
復習： 三角比と単位円
問 12 前の単元から arccos ( cos 4 π 3 ) \arccos\left( \cos \frac{4\pi}{3} \right) arccos ( cos 3 4 π )
4 π 3 \frac{4\pi}{3} 3 4 π 逆余弦は
[ 0 , π ] \icc{0}{\pi} [ 0 , π ] の外では余弦を打ち消さない。その値はつねにこの範囲にあり、
4 π 3 \frac{4\pi}{3} 3 4 π はそこにない。
π 3 \frac{\pi}{3} 3 π これは参照角であり、その余弦は
1 2 \frac{1}{2} 2 1 であって
− 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 ではない。
4 π 3 \frac{4\pi}{3} 3 4 π の余弦は
− 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 であり、逆余弦は
[ 0 , π ] \icc{0}{\pi} [ 0 , π ] のなかでこの余弦をもつただ一つの角、すなわち
2 π 3 \frac{2\pi}{3} 3 2 π を返す。
復習： 逆三角関数
問 13 前の単元から ベクトル ( 3 , 4 ) \left( 3, 4 \right) ( 3 , 4 ) ( 4 , 3 ) \left( 4, 3 \right) ( 4 , 3 )
正しい答え： 24 25 \frac{24}{25} 25 24
内積は
3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 24 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 24 であり、各ベクトルの大きさは
5 5 5 である。余弦は
24 5 ⋅ 5 = 24 25 \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} 5 ⋅ 5 24 = 25 24 となる。
24 24 24 を得た人は大きさで割るのを忘れており、
24 5 \frac{24}{5} 5 24 を得た人は一方の大きさでしか割っていない。
復習： 平面ベクトルと直線の媒介変数表示
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