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Topos Uranos
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解析的三角法：まとめと挑戦課題

要約

この課は、解析的三角法の単元を締めくくる。単元の六つの課で証明したことを、一本の演繹の鎖にまとめる。すなわち、基本恒等式、差の余弦の公式とそこから導かれるすべての公式、和を積に直す変形と合成した形、方程式と不等式の解法、二直線のなす角、そして 2 次曲線を分類する座標軸の回転である。この鎖が前の単元とコース代数と幾何 Iに、とりわけ単位円、極座標、多項式、2 次曲線にどのように支えられているか、また、同じ公式が複素数の掛け算の規則として再び現れる次の単元をどのように準備するかを説明する。最後に、導入にある導入テストと対をなすまとめテストと、単元の練習問題より難しく、複数の課を組み合わせることを求める十題の挑戦課題を置く。

学習目標

  1. 差の余弦の公式から判別式による 2 次曲線の分類まで、単元の演繹の鎖を組み立て直し、それぞれの箇所で依拠する結果を特定する。
  2. 単元の結果を、単位円、極座標、多項式、2 次曲線についての前の単元とコース I の結果と結びつける。
  3. 極形式の複素数の掛け算において加法定理が果たす役割を見通す。
  4. 恒等式、方程式、二直線のなす角、回転を組み合わせた問題を、そのつど問題を扱いやすくする変形を選んで解く。

単元で達成したこと

単元は言語を定めることから始まった。三角関数の基本恒等式の課では、恒等式を両辺の共通の定義域全体で成り立つ等式として定義し、逆数の関係、商の関係、平方の関係、偶奇の関係、余角の関係の恒等式をまとめ、証明の方法を定めた。すなわち、一方の辺を他方の辺に変形するか、両辺を同じ式に変形するのであって、証明したいことから出発してはならない。誤った恒等式を否定するには反例が一つあれば足りる。この言語によって、各関数をほかの関数で表し、置換によって根号を含む式を変形し、媒介変数表示 (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) と (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) のなかに楕円と双曲線を認めた。

決定的だったのは加法定理の課である。単位円の弦の長さを直交座標と極座標の二通りで計算して、任意の実数 α\alpha、β\beta に対して次の等式が成り立つことを証明した。

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

ほかのすべてはこれから導かれた。偶奇性から和の余弦が、余角の関係から和と差の正弦が、商の関係から和の正接が得られた。そうであれば、α=β\alpha = \beta とおくと二倍角の公式が、平方について解くと次数下げの公式と半角の公式が、もう一度加えると三倍角の公式が得られる。置換 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} は正弦と余弦を tt の有理式に変え、そこから円の有理媒介変数表示とすべてのピタゴラス数の公式が導かれた。

和を積に変える変換の課は逆の道をたどった。加法定理を足したり引いたりすると、積は和に、和は積に変わる。主な結果は、どの組合せ asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x も一つの波 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) であり、ここで R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} となることである。そこから、その値域 [−R,R]\icc{-R}{R}、同じ振動数の振動の重ね合わせ、うなり、そして和を隣り合う項が打ち消し合う形にする因数を用いた、等差数列をなす角の正弦の和と余弦の和が導かれる。

これらの道具によって、三角方程式と三角関数の不等式の課は、問題の一群をまるごと解くことができた。sin⁡x=c\sin x = c、cos⁡x=c\cos x = c、tan⁡x=c\tan x = c の一般解は、逆関数が与える解を周期性によって延長したものである。ほかの方程式は、恒等式、因数分解、二つの正弦または二つの余弦の相等、合成した形によってこれらに帰着される。その際、つねに二つのことに注意する。割ると解を失うことがあり、平方すると解が増えることがある。不等式は、単位円または符号表を用いて一回転のなかで解き、周期的に延長した。

最後の二つの課は、この計算を解析幾何にもちこんだ。二直線のなす角の課では、差の正接によって二直線の傾きからそのなす角が得られ、内積によって鉛直な直線にも使える第二の公式が得られた。角の二等分線と内心を求め、近づけない高さ、単振動、投射体の到達距離、光の反射をモデル化した。この課は単元のなかで唯一、証明なしに何かを認める課であり、そのことを明言している。ユークリッド幾何からは、コース I がすでに認めていた三つの事実（ピタゴラスの定理、平行線の同位角の相等、三角形の内角の和が π\pi であること）を、物理からは単振動の方程式と投射体の方程式を認める。最後に、座標軸の回転の課では、差の公式が軸を回転したときの座標の変換を記述した。cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} を満たす角は xyxy の項を消去し、和 A+CA + C と判別式 B2−4ACB^2 - 4AC は回転によって変わらない。したがって、判別式の符号があらゆる二次方程式を分類する。

鎖の全体は次のように要約できる。二通りに計算した一本の弦が差の余弦を与え、そこから加法定理のすべてが出てくる。それらから変形と合成した形が出てきて、それらすべてによって方程式が解ける。そして解けた方程式が二直線のなす角を測り、2 次曲線の混合項を消去する。 次の図は、この鎖を上の段落の順に従う五つの区間にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いる前の環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、それぞれは、よりかかる環と実線で結ばれ、それが確立される環と点線で結ばれる。ただし、証明なしに認めるものや、前の単元またはコース I から来るものは例外で、輪として描かれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

  • A単位円. 弧の長さに沿って進むという公理を認める。各実数 ss に対して、単位円上の点 P(s)P(s) で、(1,0)(1, 0) から長さ ∣s∣\abs{s} だけ進んで到達するものがただ一つ存在し、進み方はつなげることができ、P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s) であり、P(s)P(s) の横座標は [0,π]\icc{0}{\pi} で狭義に減少し [π,2π]\icc{\pi}{2\pi} で増加し、円周上のすべての点はある P(s)P(s) である。この公理から、三角関数と極座標の単元で次のことが証明された。円周上のすべての点は P(θ)P(\theta) であり、ここで θ\theta は [0,2π)\ico{0}{2\pi} のなかでただ一つに定まること。余弦と正弦は、P(θ)P(\theta) の座標として、周期関数であり偶奇の関係と余角の関係を満たすこと。そしてそれらが主区間で狭義単調であること。 この単元では証明なしに認める。
  • B逆関数. 逆正弦、逆余弦、逆正接は、それぞれの主区間において、与えられた正弦、余弦、正接をもつただ一つの角を与える。三角関数と極座標の単元で証明した。 この単元では証明なしに認める。
  • C極座標. 極座標が (r,φ)(r, \varphi) である点の直交座標は x=rcos⁡φx = r \cos \varphi と y=rsin⁡φy = r \sin \varphi であり、(r1,θ1)(r_1, \theta_1) と (r2,θ2)(r_2, \theta_2) の距離は d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) を満たす。三角関数と極座標の単元で証明した。 この単元では証明なしに認める。
  • D平面の解析幾何. 距離の公式、点と直線の距離、半平面の定理、コーシー・シュワルツの不等式をともなう内積と二つのベクトルのなす角、そして軸が座標軸に平行な 2 次曲線の分類。コース I の平面の解析幾何の単元と、三角形の解法の課で証明した。 この単元では証明なしに認める。
  • Eコース I の代数と算術. 多項式の因数分解、因数定理と組立除法、符号表、隣り合う項が打ち消し合う和、ユークリッドの補題。コース I の自然数の単元と、代数関数と多項式の単元で証明した。 この単元では証明なしに認める。
  • F平方の関係. すべての θ\theta に対して sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 が成り立ち、それぞれの定義域で 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta と 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta が成り立つ。 確立される環: 2. 基本恒等式.
  • G加法定理. 任意の実数 α\alpha、β\beta に対して cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta と sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta が成り立ち、差の公式は β\beta を −β-\beta に置き換えて得られる。 確立される環: 6. 加法定理.
  • Hユークリッド幾何. コース I の平面の解析幾何の単元と同じく、ユークリッド幾何から、ピタゴラスの定理とその逆、一本の直線が二本の平行線と交わってできる同位角の相等、三角形の内角の和が π\pi であることを認める。これらから、対頂角の相等と平行線の錯角の相等が導かれる。 この単元では証明なしに認める。

  1. 第 1 区間 言語：恒等式とその証明

    • 恒等式を両辺の共通の定義域全体で成り立つ等式として定義し、方程式と区別する。
    • 逆数の関係、商の関係、平方の関係、偶奇の関係、余角の関係の恒等式をまとめる。
    • 証明したいことから出発せずに恒等式を証明し、誤ったものを反例で否定する。
    • 置換によって根号を含む式を変形し、三角関数による媒介変数表示のなかに楕円と双曲線を認める。

    1. 恒等式とその証明. 恒等式とは、両辺の共通の定義域全体で成り立つ等式である。一方の辺を他方の辺に変形するか、両辺を同じ式に変形して証明し、恒等式そのものから出発してはならない。また、ただ一つの反例で否定される。

      証明される授業: 三角関数の基本恒等式.

    2. 基本恒等式. それぞれの共通の定義域で、逆数の関係、商の関係、平方の関係が成り立つ。正弦、正接、余割、余接は奇関数、余弦と正割は偶関数であり、π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta の各関数は θ\theta の余関数に等しい。

      使う結果: 1. 恒等式とその証明. 支え: A (単位円). 証明される授業: 三角関数の基本恒等式.

    3. 三角関数による置換. θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x ならば 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta。θ=arctan⁡x\theta = \arctan x ならば 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta。x≥1x \geq 1 かつ θ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x} ならば x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta。

      使う結果: 2. 基本恒等式. 支え: F (平方の関係), B (逆関数). 証明される授業: 三角関数の基本恒等式.

    4. 媒介変数表示された楕円と双曲線. tt が [0,2π)\ico{0}{2\pi} を動くとき、点 (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t) は楕円 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 をちょうど一周する。また点 (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t) は双曲線 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 の右の枝をちょうど一度たどる。ただしこれは tt が (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} を動くときであり、(π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}} を動くときは左の枝をたどる。

      使う結果: 2. 基本恒等式. 支え: A (単位円), F (平方の関係). 証明される授業: 三角関数の基本恒等式.

  2. 第 2 区間 差の余弦の公式とその帰結

    • 単位円の弦を二通りに計算して、差の余弦の公式を証明する。
    • そこから和と差の余弦と正弦、そして和の正接を導く。
    • 二倍角の公式、次数下げの公式、半角の公式、三倍角の公式を求める。
    • 正弦と余弦を t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} の有理式で表し、円を有理的に媒介変数表示し、すべてのピタゴラス数を生成する。

    1. 差の余弦. 任意の実数 α\alpha、β\beta に対して cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta が成り立つ。P(α)P(\alpha) と P(β)P(\beta) を結ぶ弦は、直交座標で計算しても極座標で計算しても同じ長さになるからである。

      支え: C (極座標), D (平面の解析幾何), F (平方の関係). 証明される授業: 加法定理と二倍角・半角の公式.

    2. 加法定理. 偶奇の関係と余角の関係から、cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta、sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta と差の正弦が得られる。また、α\alpha と β\beta の正接が定義され tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1 ならば、tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} である。

      使う結果: 2. 基本恒等式, 5. 差の余弦. 証明される授業: 加法定理と二倍角・半角の公式.

    3. 二倍角. sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta、cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta が成り立ち、定義されるところでは tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} が成り立つ。

      支え: G (加法定理), F (平方の関係). 証明される授業: 加法定理と二倍角・半角の公式.

    4. 次数下げと半角. cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} と sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} が成り立つ。これらから、θ2\frac{\theta}{2} の正弦と余弦は 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2} と 1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2} の平方根に、その象限に応じた符号をつけたものであり、また tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} である（ただし cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1 のとき）。

      使う結果: 7. 二倍角. 支え: F (平方の関係). 証明される授業: 加法定理と二倍角・半角の公式.

    5. 三倍角. すべての実数 θ\theta に対して cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta と sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta が成り立つ。

      使う結果: 7. 二倍角. 支え: F (平方の関係), G (加法定理). 証明される授業: 加法定理と二倍角・半角の公式.

    6. 半角の正接. θ\theta が π\pi の奇数倍でなく t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} ならば、sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2} かつ cos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} である。

      使う結果: 7. 二倍角. 支え: F (平方の関係). 証明される授業: 加法定理と二倍角・半角の公式.

    7. 有理媒介変数表示. 傾き tt で (−1,0)(-1, 0) を通る直線は、単位円と再び (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right) で交わる。円周上のほかのすべての点は、ただ一つの tt からこのようにして得られ、それが有理点であるのは tt が有理数のとき、かつそのときに限る。

      使う結果: 10. 半角の正接. 支え: E (コース I の代数と算術). 証明される授業: 加法定理と二倍角・半角の公式.

    8. ピタゴラス数. bb が偶数である原始ピタゴラス数は、ちょうど a=m2−n2a = m^2 - n^2、b=2mnb = 2mn、c=m2+n2c = m^2 + n^2 である。ここで m>nm > n、gcd⁡(m,n)=1\operatorname{gcd}(m, n) = 1 であり、m−nm - n は奇数である。

      使う結果: 11. 有理媒介変数表示. 支え: E (コース I の代数と算術). 証明される授業: 加法定理と二倍角・半角の公式.

  3. 第 3 区間 変形と合成した形

    • 加法定理を足したり引いたりして、積を和に、和を積に変える。
    • どの組合せ asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x も一つの波 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) として書き、その値域を求める。
    • 同じ振動数の振動を合成し、うなりを説明する。
    • 隣り合う項が打ち消し合う和を用いて、等差数列をなす角の正弦と余弦の和を求める。

    1. 積を和に直す公式. sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right) が成り立ち、同様に cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta、cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta、sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta は α+β\alpha + \beta と α−β\alpha - \beta の正弦または余弦の半和または半差である。

      支え: G (加法定理). 証明される授業: 和積の公式と三角関数の合成.

    2. 和を積に直す公式. 任意の実数 pp、qq に対して sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2} が成り立ち、sin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q、cos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q、cos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q についても同様の公式がある。ここから sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx) のうなりが従う。

      使う結果: 13. 積を和に直す公式. 証明される授業: 和積の公式と三角関数の合成.

    3. 合成した形. aa と bb がともに零ではなく R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} ならば、φ\varphi（[0,2π)\ico{0}{2\pi} の元）で、asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi) がすべての xx に対して成り立つものがただ一つ存在する。この形は一意的であり、関数の値域は [−R,R]\icc{-R}{R} である。

      支え: A (単位円), D (平面の解析幾何), F (平方の関係), G (加法定理). 証明される授業: 和積の公式と三角関数の合成.

    4. 振動の重ね合わせ. 打ち消し合わない限り、振動 A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1) と A2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2) の和は同じ振動数の振動であり、その振幅は A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2) を満たす。

      使う結果: 5. 差の余弦, 15. 合成した形. 支え: F (平方の関係), G (加法定理). 証明される授業: 和積の公式と三角関数の合成.

    5. 等差数列をなす角の和. xx が 2π2\pi の整数倍でなければ ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} が成り立ち、余弦の和は cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2} を sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2} の代わりに用いて得られる。

      使う結果: 13. 積を和に直す公式, 14. 和を積に直す公式. 支え: E (コース I の代数と算術). 証明される授業: 和積の公式と三角関数の合成.

  4. 第 4 区間 方程式と不等式

    • 逆関数と周期性から sin⁡x=c\sin x = c、cos⁡x=c\cos x = c、tan⁡x=c\tan x = c の一般解を求める。
    • ほかの方程式を、恒等式、因数分解、二つの正弦または二つの余弦の相等、合成した形によって基本的な方程式に帰着させる。
    • 割るときに解を失わず、平方するときに解を増やさない。
    • 単位円または符号表を用いて一回転のなかで不等式を解き、周期的に延長する。

    1. 一般解. ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1 ならば、sin⁡x=c\sin x = c の解は arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi と π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi、cos⁡x=c\cos x = c の解は arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi と −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi である。すべての実数 cc に対して、tan⁡x=c\tan x = c の解は arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi である（kk は整数）。

      使う結果: 2. 基本恒等式. 支え: A (単位円), B (逆関数). 証明される授業: 三角方程式と三角関数の不等式.

    2. 正弦の相等と余弦の相等. sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B となるのは A=B+2kπA = B + 2k\pi または A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi のとき、かつそのときに限り、cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B となるのは A=B+2kπA = B + 2k\pi または A=−B+2kπA = -B + 2k\pi のとき、かつそのときに限る（kk はある整数）。定義された二つの正接が等しいのは A=B+kπA = B + k\pi のとき、かつそのときに限る。

      使う結果: 14. 和を積に直す公式. 支え: A (単位円), G (加法定理). 証明される授業: 三角方程式と三角関数の不等式.

    3. 多項式方程式と同次方程式. 方程式 P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0 は、方程式 sin⁡x=r\sin x = r（rr は PP の実数解）と同値である。sin⁡x\sin x と cos⁡x\cos x の同次方程式は、余弦の零点を別に調べたうえで tan⁡x\tan x の多項式方程式に帰着する。平方して得た解はすべて、もとの方程式に代入して確かめなければならない。

      使う結果: 18. 一般解. 支え: E (コース I の代数と算術). 証明される授業: 三角方程式と三角関数の不等式.

    4. 正弦と余弦の一次方程式. 方程式 asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c が解をもつのは c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2 のとき、かつそのときに限り、そのとき解は −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi と π−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi である。ここで RR と φ\varphi は合成した形のものである。

      使う結果: 15. 合成した形, 18. 一般解. 証明される授業: 三角方程式と三角関数の不等式.

    5. 不等式. −1<c<1-1 < c < 1 かつ β=arccos⁡c\beta = \arccos c ならば、cos⁡x>c\cos x > c となるのは −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi（kk はある整数）のとき、かつそのときに限り、正弦についても同様である。三角関数の因数の積と商は、一回転のなかで符号表を用いて解く。

      使う結果: 18. 一般解. 支え: A (単位円), B (逆関数), E (コース I の代数と算術). 証明される授業: 三角方程式と三角関数の不等式.

  5. 第 5 区間 解析幾何：直線と 2 次曲線

    • 差の正接と内積によって二直線のなす角を測る。
    • 二直線の角の二等分線と三角形の内心を求める。
    • 近づけない高さ、単振動、投射体の到達距離、光の反射をモデル化する。
    • 回転の公式を導き、xyxy の項を消去し、判別式の符号によってあらゆる二次方程式を分類する。

    1. 二直線のなす角. 鉛直でない直線の傾きは、その傾斜角の正接である。傾き m1m_1 と m2m_2 の二直線が垂直であるのは 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0 のとき、かつそのときに限り、そうでなければ二直線のなす角 θ\theta は tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}} を満たす。これは方向ベクトルの内積による公式と一致する。

      使う結果: 5. 差の余弦, 6. 加法定理. 支え: B (逆関数), D (平面の解析幾何), F (平方の関係), H (ユークリッド幾何). 証明される授業: 二直線のなす角と三角法の応用.

    2. 角の二等分線と内心. 交わる二直線から等距離にある点は、互いに垂直な二本の直線、すなわち角の二等分線をなし、それぞれが異なる一組の対頂角を二等分する。また、三角形の三本の内角の二等分線は、それぞれ対辺と交わり、三角形の内部の一点、すなわち内心で交わる。内心は内接円の中心である。

      使う結果: 8. 次数下げと半角. 支え: D (平面の解析幾何), H (ユークリッド幾何). 証明される授業: 二直線のなす角と三角法の応用.

    3. 投射体の到達距離. 水平方向の等速運動と等加速度の落下を組み合わせた運動方程式を物理から認めると、速さ vv、仰角 θ\theta で投げた投射体の到達距離は v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g} である。θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} のとき最大となり、それより小さい到達距離はどれも、互いに余角であるちょうど二つの角で得られる。

      使う結果: 18. 一般解, 7. 二倍角. 証明される授業: 二直線のなす角と三角法の応用.

    4. 回転の公式. 軸を角 θ\theta だけ回転すると、新しい座標は X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta と Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta であり、二点間の距離は変わらない。

      支え: A (単位円), C (極座標), F (平方の関係), G (加法定理). 証明される授業: 座標軸の回転と一般の二次方程式.

    5. 回転後の係数. 軸を回転すると、方程式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 は定数項を保ち、XYXY の新しい係数は B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta である。

      使う結果: 26. 回転の公式, 7. 二倍角. 証明される授業: 座標軸の回転と一般の二次方程式.

    6. xy の項の消去. B≠0B \neq 0 ならば、角 θ\theta（(0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}} の元）で、その回転が B1B_1 を零にするものがただ一つ存在する。それは cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} を満たす角である。

      使う結果: 27. 回転後の係数. 支え: B (逆関数). 証明される授業: 座標軸の回転と一般の二次方程式.

    7. 回転の不変量. どの回転角に対しても A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C と B12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC が成り立つ。

      使う結果: 27. 回転後の係数, 7. 二倍角. 支え: F (平方の関係). 証明される授業: 座標軸の回転と一般の二次方程式.

    8. 判別式による分類. AA、BB、CC のすべてが零ではなく Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC ならば、方程式は、Δ<0\Delta < 0 のとき楕円、一点または空集合を表し、Δ=0\Delta = 0 のとき放物線、平行な二直線、一本の直線または空集合を表し、Δ>0\Delta > 0 のとき双曲線または交わる二直線を表す。

      使う結果: 26. 回転の公式, 28. xy の項の消去, 29. 回転の不変量. 支え: D (平面の解析幾何). 証明される授業: 座標軸の回転と一般の二次方程式.

極形式の複素数へ. cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha に cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta を掛けると、α+β\alpha + \beta の余弦と正弦が現れる。加法定理は複素数の掛け算の規則であり、次の単元はそれらを一つの公式、ド・モアブルの公式にまとめる。