角とその大きさ：度数法と弧度法

有向角

初等幾何では、角は端点を共有する二本の半直線がつくる図形であり、その大きさは $0^\circ$ と $180^\circ$ の間にある。車輪の回転、時計の針の回転、地軸のまわりの地球の回転のような回転を調べるには、この概念では足りない。どれだけ回ったか、どちらの向きに回ったかが問題であり、回転は何周もすることがある。そこで、角を回転の結果として考える。

有向角は、一本の半直線と行われた回転とによって定まる。この半直線を始線といい、それはその端点のまわりに回転する。この端点を頂点といい、半直線は最後の位置まで回る。その位置を動径という。回転が時計の針の動きと反対の向き（時計の針と逆の向き）に行われるとき角は正であり、時計の針の動きと同じ向き（時計の針の向き）に行われるとき角は負である。零角とは回転しない角である。

同じ一組の辺に多くの有向角が対応しうる。時計の針と逆の向きに四分の一回転しても、時計の針の向きに四分の三回転しても、四分の一回転に一回転を加えても、動径は同じ位置を占める。これらの角は異なる回転を表すので、同じ辺で終わるとしても異なる角である。それらがどう関係するかは、この課の三つ目の部分で明らかにする。

度数法

最も古い角の測り方は、一回転を $360$ 個の等しい弧に分け、それぞれの弧に対する角を度という。角が $g$ 度であるとは、その弧が 1 度の弧の $g$ 倍であることをいう。したがって度で表した大きさは弧の長さに比例する。各度は $60$ 分に分けられ、各分は $60$ 秒に分けられる。この方式は六十を底として数えたバビロニアの天文学に由来する。このことはコース I の位取り記数法の課で説明した。数 $360$ には、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$8$、$9$、$10$、$12$ などで割り切れるという利点がある。直角は $90^\circ$、平角は $180^\circ$、一回転は $360^\circ$ である。負の角はマイナスの符号をつけて測るので、時計の針の向きの四分の一回転は $-90^\circ$ である。40 度 15 分 36 秒の角は、各数のあとに度の記号、分には一つのアポストロフィ、秒には二つのアポストロフィを書いて略記するが、度で表すと以下のとおり、すなわち 40.26 度である。

しかし数 $360$ は約束にすぎない。円の幾何のなかに、それをほかの数から区別するものは何もない。円そのものから生まれる方法で角を測れば、弧の長さと扇形の面積の公式、そしてのちには三角関数の公式も簡単になる。

ラジアン

考え方は、頂点を中心とする円（半径は $1$）の上で角が対する弧の長さによって、その角を測ることである。そのためには弧の長さとは何かを知る必要があり、そこに難しさが現れる。弧は線分の和集合ではなく、その長さは、弧に内接する折れ線の辺をどんどん短くしたときにその長さが近づく値として、つまり極限によって定義される。その研究は微分積分学 IIのコースで扱い、そこで曲線の長さや曲線で囲まれた領域の面積を計算する。ここでは以下の事実を認める。

証明なしに認める事実（円における長さと面積）。円のどの弧にも長さがあり、線分と弧で囲まれたどの領域にも面積がある。合同な図形は同じ長さまたは同じ面積をもつ。図形が重ならない二つの図形に分解されるとき、その大きさは二つの部分の大きさの和である。ある領域がほかの領域を含むとき、その面積は小さくはなく、差が何らかの円板を含むときは大きい。さらに、二つの円の半径が $r$ と $R$ であるとき、同じ中心角がそれらの円で対する弧は半径に比例し、半径 $r$ の円板の面積は $\pi r^2$ である。

この事実は証明なしに認める。弧の長さや曲線で囲まれた領域の面積は極限によって定義され、積分によって計算されるからであり、それは微分積分学 IIのコースで行う。その最後の部分は数 $\pi$ を既知としているので、ここで定義する。数 $\pi$ とは単位円の周の長さの半分、すなわち半径 $1$ の円の周の長さの半分である。弧が半径に比例することを一回転の角に適用すると、半径 $r$ の円の周の長さは $2\pi r$ であり、任意の円の周の長さとその直径の比はつねに $\pi$ である。また、$\pi$ は無理数であり、その小数表示は 3.14159 で始まることも認める。特に、$3 < \pi < 4$ である。

角を測るには、さらに、弧長に沿って円を移動することが必要である。すなわち、ある点から出発して、円の上を与えられた長さだけ一方の向きまたは他方の向きに進み、どの点に着くかを知ることである。この単元が角と三角関数について述べることはすべてこの移動にもとづくので、それについて何を認めるかを正確に述べておくのがよい。述べるのは座標平面においてであり、単位円 $x^2 + y^2 = 1$ とその点 $A = (1, 0)$ についてである。図形を動かしても長さは変わらないので、半径 $1$ の任意の円と任意の出発点についても同様に成り立つ。

公理（弧長に沿った移動）。各実数 $s$ に対して、単位円のただ一つの点 $P(s)$ が存在し、それは $A = (1, 0)$ から出発して円の上を長さ $\abs{s}$ だけ、$s > 0$ ならば時計の針と逆の向きに、$s < 0$ ならば時計の針の向きに、必要なだけ周回しながら進んだときに着く点である。$s = 0$ のときは $P(0) = A$ である。この移動は以下の四つの性質をもつ。

1. 接続：点 $P(s)$ から長さ $t \geq 0$ だけ時計の針と逆の向きに進むと $P(s + t)$ に着く。時計の針の向きに進むと $P(s - t)$ に着く。
2. 周期性：どちらの向きでも、一回転は円の長さ $2\pi$ だけ進み、出発点に戻る。すなわち、$P(s + 2\pi) = P(s)$ がすべての実数 $s$ に対して成り立つ。
3. 半回転：時計の針と逆の向きの移動は、まず上半円を右から左へ通る。正確には、$P(\pi) = (-1, 0)$ であり、$0 \leq s < t \leq \pi$ ならば、点 $P(s)$ と $P(t)$ の 縦座標は負でなく、$P(s)$ の 横座標は $P(t)$ の 横座標より大きい。
4. 被覆：単位円のすべての点は $P(s)$ である。ただし $s$ はある実数である。

この公理は、上の事実と同じ理由で証明なしに認める。弧の長さは極限によって定義され、その性質は微分積分学 IIのコースで証明される。被覆は、円を移動するときどの点も飛ばさないことを主張するもので、さらに連続関数の中間値の性質にもとづく。この性質は微分積分学 Iのコースで証明される。半回転の性質には簡単な幾何学的な読み方がある。$(x, y)$ が単位円上にあるとき、点 $A$ までの距離の 2 乗は次のとおりである。

したがって、上半円に沿って 横座標が狭義に減少するということは、$A$ と移動で達した点を結ぶ弦が弧とともに狭義に増加し、半回転の終わりで直径になるということと同値である。三角比の課で $s$ の余弦を $P(s)$ の 横座標として定義するとき、この性質は余弦が $\icc{0}{\pi}$ で狭義に減少することを意味する。この単調性は導かれるのではなく、座標で読んだ半回転の条項そのものである。ところで、この公理と、長さと面積についての事実と、すぐあとで認める鏡映についての事実から、移動について用いるほかのすべてのことが導かれる。この課では、2 回目の半回転でのふるまいと、一回転が同じ点を二度通らないこと。逆三角関数の課では、正弦と正接の単調性である。

証明なしに認める事実（鏡映と半回転の回転）。直線に関する鏡映は距離を保ち、それとともに弧の長さも保つが、回転の向きを逆にする。すなわち、その直線上の点を中心とする円の時計の針と逆の向きの移動を、同じ長さの時計の針の向きの移動に移し、逆も同様である。点のまわりの半回転の回転は、その点を通る垂直な二直線に関する鏡映の合成であり、距離と長さ、さらに回転の向きも保つ。

この事実は平面の運動の初等幾何に属し、このコースでは展開しない。座標では、$x$ 軸に関する鏡映は変換 $(x, y) \mapsto (x, -y)$ である。これは単位円をそれ自身に移す。なぜなら $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$ だからである。また点 $A = (1, 0)$ を動かさない。これによって、移動の 2 回目の半回転が 1 回目から得られる。

単位円の中心 $O$ を頂点とする有向角を考え、$A$ を始線がその円と交わる点とする。始線が回転すると、点 $A$ は上の公理のように円の弧をたどる。角の弧度法による大きさとは、この弧の長さに、回転が時計の針と逆の向きならば正の符号、時計の針の向きならば負の符号をつけたものである。回転が何周もするときは、一回転ごとに円の長さ $2\pi$ が加わる。

ラジアンで測った角は単位をもたない実数である。それは弧の長さと半径の長さの比であり、半径の長さは $1$ である。そのため、2 ラジアンの角には単に $\theta = 2$ と書く。単位を強調したいときは 2 rad と書く。これに対して、度で表した大きさにはつねにその記号をつける。$30^\circ$ のようにである。逆に、すべての実数はある有向角の大きさである。移動の公理により、各 $\theta$ に対して、点 $A$ は円の上を長さ $\abs{\theta}$ だけ、$\theta$ の符号が示す向きに、必要なだけ一回転を重ねながら進むことができ、頂点から到達した点へ向かう半直線が動径となる。

度とラジアンの換算

一回転は $360^\circ$ であり、また $2\pi$ ラジアンでもあり、しかも二つの大きさはどちらも角が単位円上で対する弧の長さに比例する（度は度の定義により、ラジアンはそれがその長さそのものだから）ので、角の二つの大きさは比例する。

実際には、度からラジアンに直すには $\frac{\pi}{180}$ を掛け、ラジアンから度に直すには $\frac{180}{\pi}$ を掛ける。こうして $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$、$-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$、$\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$ である。$2$ ラジアンの角は $\frac{360}{\pi}$ 度、およそ 114.6 度である。

弧の長さと扇形の面積

半径 $r$ の円で、中心角 $\theta$ は弧に対し、角の二辺とその弧とで扇形が囲まれる。弧度法による大きさは、その公式に特に簡単な形を与える。

角を度で測ったとすると、公式には換算の係数が入る。弧は $\frac{\pi r g}{180}$、扇形の面積は $\frac{\pi r^2 g}{360}$ となる。$s = r\theta$ の簡単さが、ラジアンを好む主な理由である。さらに、この公式は単位円だけでなく任意の円で角の大きさを与える。$\theta = \frac{s}{r}$ は弧と半径の比であり、選んだ半径によらない。

円周角

頂点が円の中心にある角を中心角という。$A$、$B$、$C$ が円の異なる三点であるとき、$C$ において弦 $CA$ と $CB$ がつくる角を円周角といい、それは端点が $A$ と $B$ で $C$ を含まない弧に対するという。上の定理により、長さ $s$ の弧（半径 $r$ の円の弧）には $\frac{s}{r}$ ラジアンの中心角が対応する。この数が $\pi$ を超えるときでもそうである。円周角を中心角と比べるために、以下の初等幾何の事実を認める。このコースは総合幾何を展開しないので、これらを証明しない。最初の二つは三角形の角を測る。あとの二つは位置についての事実であり、半直線が角の内部を通るとき角と弧がどのように分かれるかを述べる。

証明なしに認める事実（三角形の角と円上の位置）。以下の四つの主張を認める。そこでは有向でない角をラジアンで測り、$0$ から $\pi$ までの値をとる。

1. 角の和：三角形の三つの角の和は平角、すなわち $\pi$ ラジアンである。
2. 二等辺三角形：二辺が等しい三角形では、それらの辺に向かい合う角は等しい。
3. 隣り合う角の和：角の頂点から出る半直線がその内部を通るならば、それはその角を二つの角に分け、それらの大きさの和はもとの角の大きさに等しい。
4. 中心の位置：$A$、$B$、$C$ を中心 $O$ の円の異なる三点とし、$D$ を $C$ から出る直径のもう一方の端点とする。$O$ が弦 $CA$ の上にも弦 $CB$ の上にもないならば、次の二つのどちらかが起こる。一つは、$O$ が $C$ においてそれらの弦がつくる角の内部にある場合で、このとき $C$ から $D$ へ向かう半直線はその内部を通り、$D$ は端点が $A$ と $B$ で $C$ を含まない弧の上にある。もう一つは、$O$ がその角の外部にある場合で、このとき点 $A$ と $B$ の一方（これを $A$ と呼んでよい）は端点が $D$ と $B$ で $C$ を含まない弧の上にあり、$C$ から $A$ へ向かう半直線は、$C$ において弦 $CD$ と $CB$ がつくる角の内部を通る。

円の上にない点は、弦をほかの角で見る。次の結果も初等幾何から認める。それは上の定理と、ユークリッドの『原論』第 I 巻の命題 21 から得られる。この命題によれば、三角形の内部の点はその一辺を、向かい合う頂点より大きな角で見る。しかしその証明には、点から出る線分が円とどこで交わるかを知る必要があり、これはこのコースが展開しない位置の問題である。この結果は逆三角関数の課の最後の例題で用いる。

証明なしに認める事実（内部の点と外部の点からの角）。$A$ と $B$ を円の二点とし、$\gamma$ を、端点が $A$ と $B$ で頂点がこれらの定める二つの弧の一方の上にある円周角に共通の大きさとする。$Q$ が円の上にない点で、直線 $AB$ に関してその弧と同じ側にあるとき、$Q$ において線分 $QA$ と $QB$ がつくる角は、$\gamma$ より小さい（$Q$ が円の外部にあるとき）か、$\gamma$ より大きい（内部にあるとき）。

標準の位置と動径が一致する角

コース I の直線の方程式の課で学んだ座標平面では、各角に特別な位置がある。

有向角は、頂点が原点であり始線が $x$ 軸の正の部分であるとき、標準の位置にあるという。このときその動径は、原点から出て移動の公理の点 $P(\theta)$ を通る半直線である。この点は、単位円 $x^2 + y^2 = 1$ の点で、$(1, 0)$ から長さ $\abs{\theta}$ の弧を $\theta$ の符号が示す向きにたどって着く点である。二つの角は、標準の位置で同じ動径をもつとき動径が一致する角であるという。

座標軸は平面を四つの象限に分け、それらは座標が正の点を含む象限から始めて時計の針と逆の向きに番号がつけられる。標準の位置にある角は、その動径を含む象限の角であるという。動径が軸の上にあるとき、その角を座標軸上の角という。点 $P(\theta)$ の座標は $\theta$ の余弦と正弦であり、それらはこのあとに続く三角比の課で学ぶ。

どちらの向きでも、一回転は移動の周期性により辺をもとの位置に戻す。角 $\theta + 2\pi$ は $\theta$ と動径が一致し、$\theta - 2\pi$、$\theta + 4\pi$、一般に $\theta + 2k\pi$（ただし $k$ は整数）も同様である。したがって、任意の角がどこで終わるかを知るには、一回転の分を取り除けばよい。コース I の整除と余りのある割り算の課で除数の倍数を取り除いたのと同じである。以下の定理はその割り算の実数版である。除数は $2\pi$、商は回転の数、余りは残る角である。

数 $\theta_0$ を $\theta$ の 1 周目への帰着という。度では、$360$ を $2\pi$ の代わりに用いた同じ推論によって、任意の角が $0^\circ$ と $360^\circ$ の間（後者は除く）の角に帰着される。たとえば $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$ である。帰着によって、同じ辺で終わるすべての角がわかる。その前に、一回転が同じ点を二度通らないことを知る必要があり、これは移動の公理から導かれる。

このことから、$\theta$ と動径が一致する角は、ちょうど $\theta + 2k\pi$（ただし $k$ は整数）の形の角であり、角の象限はその帰着で決まることがわかる。$0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$ ならば第 1 象限の角、$\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$ ならば第 2 象限の角、$\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$ ならば第 3 象限の角、$\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$ ならば第 4 象限の角である。$\theta_0$ が $0$、$\frac{\pi}{2}$、$\pi$、$\frac{3\pi}{2}$ のいずれかならば座標軸上の角である。こうして、$-\frac{23\pi}{6}$ は第 1 象限の角であり、$1000^\circ$（その帰着は $280^\circ$）は第 4 象限の角である。

最後に、単位円のすべての点は、ある角の点 $P(\theta)$ である。これは移動の公理の被覆の性質であり、$(1, 0)$ から円を移動するとそのすべての点を通ることをいう。そうであるならば、1 周目への帰着、周期性、動径が一致する角の補題により、単位円の各点は $P(\theta)$ であり、ここで $\theta$ は $\ico{0}{2\pi}$ のなかのただ一つの値である。その点に対応する角は、ちょうどその $\theta$ と動径が一致する角である。

角速度と線速度

物体が軸のまわりに回転するとき、そのすべての点は軸上に中心をもつ円の弧を描き、すべての点が同じ時間に同じ角だけ回る。時間 $t$ の間に物体が一定の割合で角 $\theta$ だけ回転するならば、その角速度は比 $\omega = \frac{\theta}{t}$ であり、ラジアン毎秒で測る。毎分回転数でも表され、1 回転は $2\pi$ ラジアン、1 分は $60$ 秒であるから、毎分 1 回転は毎秒 $\frac{\pi}{30}$ ラジアンに等しい。

軸から距離 $r$ にある点は、その時間に長さ $s = r\theta$ の弧を進む。弧の長さの定理による。したがってその線速度、すなわち進んだ距離と時間の比は、半径と角速度の積である。

このことから、回転する物体では角速度はすべての点で同じであり、線速度は軸からの距離に比例して大きくなる。回転する円板の縁は中心に近い点より速く動く。この関係は角をラジアンで測るときにだけ成り立ち、力学の基礎のコースで円運動を学ぶ出発点となる。すべらないベルトやチェーンで結ばれた二つの車輪、あるいは互いにかみ合う二つの車輪は、接点で同じ線速度をもつ。したがって $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$ であり、小さいほうの車輪のほうが速く回る。このことは例題 3 で見る。

例題

例題では、一つの角から地球を測り、弓形の面積を計算し、チェーンで回転を伝え、周の長さが与えられたとき面積が最大の扇形を探し、時計の針が重なる回数を数える。どの問題にも固有の着想が必要であり、解答を読む前にそれを探すのがよい。

エラトステネスは距離をスタディオンで表したが、その正確な値については議論がある。ここで採用した数値では子午線の長さは 40000 km となるが、それは偶然ではない。18 世紀の終わりに、メートルは子午線の四分の一の一千万分の一として定義されたのである。また、アレクサンドリアはシエネのちょうど北にあるのではなく、およそ三度西にあるので、両者を結ぶ弧は完全には子午線の弧ではない。