数の集合：まとめと挑戦課題

要約

この課は、数の集合を扱う単元を締めくくる。単元の各課が証明したことを一本の演繹の鎖にまとめる。すなわち、前の集合から整数、有理数、複素数を構成すること、実数について認める完備な順序体の公理（完備性は実数に固有の特徴である）、そして各性質が不等式、小数、累乗根、方程式、複素数の計算にもたらす帰結である。この鎖が前の単元の自然数の算術にどう基づき、次の単元の関数と多項式の学習をどう準備するかを説明する。最後に、導入テストと対をなすまとめテストと、各課の問題より難しく、それぞれがいくつもの課の結果を組み合わせる十の挑戦課題を置く。

学習目標

単元の定義と主な定理を論理的な順序で述べ、それぞれがどの先行する結果に依存するかを示す。
数の各拡張がどの性質を得てどの性質を失うか、また完備性がなぜ代数的な手段では得られないかを説明する。
単元の結果を、自然数の算術と、代数関数および多項式の学習とに関連づける。
分数の算術、実数の順序、累乗根の計算、連立一次方程式、複素数を組み合わせることを要する定型的でない問題を解く。

単元で達成したこと

この単元は、一つの欠如と一つの原理から出発した。欠如とは、自然数ではいつも引き算、割り算、累乗根をとることができるとは限らないことである。原理は、数の集合の課で述べたもので、新しい集合はそれぞれ、前の集合の演算と性質を保ち、それまで制限されていた逆の演算が定義されるように必要な元を付け加える、というものである。その結果が、単元全体を組み立てる包含の列である：

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

構成

四つの拡張のうち三つは、前の集合の元の対によって行われ、そのうち二つ、すなわち整数への拡張と有理数への拡張は、同じ手続きによって行われた。この手続きはそれとして見分けておくとよい。二つの対がいつ同じ数を表すかを宣言し、その宣言が等号のようにふるまうこと、つまり同値関係であることを証明する。するとその類は分割をなし（集合・関係・関数の課で証明したとおりである）、新しい集合は商集合となる。そのうえで演算を代表元によって定義し、結果が選んだ代表元によらないことを証明する。整数では、自然数の対 $(a, b)$ が差 $a - b$ を表し、二つの対は $a + d = b + c$ のとき同値である。有理数では、分数 $\frac{p}{q}$ が商を表し、二つの分数は $ps = qr$ のとき同値である。複素数では、実数の対 $(a, b)$ がそのまま数であり、積は $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ となるように定義される。三つの場合のいずれでも、前の集合は演算を保つ対応によって新しい集合のなかに再び現れ、直観的な説明では約束事であったものが定理となる。符号の規則、零因子が存在しないこと、積の簡約法則、既約分数の一意性、そして等式 $i^2 = -1$ である。

順序と完備性

第四の拡張は性質が異なり、構成によっては行われなかった。有理数ではすでに足し算、引き算、掛け算、割り算ができ、これらの演算と両立する、稠密でアルキメデス的な順序がある。しかし、平方が $2$ より小さい有理数の集合は有界であるのに、有理数の上限をもたない。有理数から実数を構成することはこのコースの範囲を超えるので、数の集合の課は実数を完備な順序体として認めた。すなわち、有理数を含み、体の公理、順序の公理、完備性の公理を満たす集合である。完備性の公理によれば、空でなく上に有界な集合はすべて上限をもつ。はじめの二つの公理群は有理数も満たす。三つめが実数を特徴づける公理である。完備性から、小数表示の課では、実数のアルキメデスの性質と、すべての無限小数表示の値が導かれ、有理数は小数表示が有限または循環する数として特徴づけられた。また実数直線の課では、すべての非負実数の $n$ 乗根の存在、直線における有理数の稠密性、隙間のない集合としての区間の特徴づけが導かれた。これらの性質はどれも和と積からは得られない。完備性は順序の性質であり、そのため実数は、ある種の方程式の解を有理数に付け加えることによっては構成できない。

計算

単元の計算技法はこれらの土台の上に成り立つ。有理数の指数の課は、主根の一意性を用いて、 $a^{\frac{p}{q}}$ が選んだ分数によらないこと、そして指数法則が成り立つことを証明し、累乗根の性質を符号についての仮定とともに確立した。その中には $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ がある。一次方程式・一次不等式の課は、体と順序の性質を、解を失うことも付け加えることもなく方程式と不等式を変形する規則に変え、二元の連立方程式をその行列式によって分類した。最後に、複素数が代数を完成させた。実数係数の二次方程式はすべて複素数の中に解をもち、判別式が負のときは、互いに共役なちょうど二つの解をもつ。そして平面の幾何は、共役と絶対値を用いた演算に翻訳された。その代償は順序であった。 $\mathbb{C}$ には演算と両立する順序が一つもなく、数の大きさはその絶対値で測られる。

得るものと失うもの

単元の収支は次のようにまとめられる。

$\mathbb{N}$ から $\mathbb{Z}$ へ進むと、反数が得られ、それとともに引き算が得られる。整列性は失われる。整数には最小の元がないからである。
$\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Q}$ へ進むと、零でないすべての数の逆数が得られ、それとともに割り算が得られる。後者は失われる。二つの有理数の間にはつねに別の有理数があるからである。
$\mathbb{Q}$ から $\mathbb{R}$ へ進むと、完備性が得られ、それとともに非負の数の累乗根と、すべての線分の長さが得られる。すべての数が有限または循環する小数表示をもつことは失われる。
$\mathbb{R}$ から $\mathbb{C}$ へ進むと、すべての二次方程式の解が得られ、代数学の基本定理によれば、定数でないすべての多項式方程式の解が得られる。演算と両立する順序は失われる。

次の図は、三つの区間を一本の鎖にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いる前の環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、それぞれは、よりかかる環と実線で、確立される環と点線で結ばれる。ただし、認めるものや前の単元から来るものは輪として描かれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

A拡張の原理. 新しい数の集合はそれぞれ、前の集合の演算と性質を保ち、それまで制限されていた逆の演算が定義されるように必要な元を付け加える。これを単元全体の指針として採用する。この単元では証明なしに認める。
B自然数の算術. 自然数の加法、乗法、順序の性質、帰納法、整列性、数列の和。自然数の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
C余りのある割り算. すべての整数 $a$ とすべての自然数 $b$ に対して、ただ一つの商 $q$ とただ一つの余り $r$ が存在して、 $a = bq + r$ かつ $0 \leq r < b$ となる。自然数の単元で証明し、整数の課が証明する整数の規則を用いる。この単元では証明なしに認める。
Dベズーとユークリッド. $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ ならば、整数 $x$ と $y$ が存在して $ax + by = 1$ となり、積を割り切る素数はどちらかの因数を割り切る。自然数の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
E類による構成. 前の集合の対をとり、二つの対を同一視する条件が同値関係であることを証明し、商集合を新しい集合とする。その類は対の集合の分割をなす。そして演算を代表元によって定義し、結果が選んだ代表元によらないことを証明する。確立される環: 2. 整数の構成.
F完備な順序体の公理. 実数は、有理数を含む完備な順序体をなすと認める。加法と乗法は体の公理を満たす。正の数は三分律を満たし、加法と乗法について閉じている。そして、上に有界で空でない実数の集合はすべて上限をもつ。これが実数を特徴づける公理である。この単元では証明なしに認める。
G累乗根の一意性. 同じ $n$ 乗をもつ二つの非負実数は等しい。したがって、累乗が与えられた数に等しい非負の数を一つ示せば、それが主根であることがわかる。確立される環: 11. 主根の一意性.
Hアルキメデスの性質. すべての実数に対して、それより大きい自然数が存在する。したがって、実数 $d$ について $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ がすべての自然数 $n$ について成り立つならば、その実数は零である。確立される環: 13. アルキメデスの性質.

第 1 区間構成
- 整数を自然数の対の類として、有理数を分数の類として、矛盾なく定義される演算とともに構成する。
- 符号の規則、零因子が存在しないこと、積の簡約法則を定理にする。
- すべての有理数がただ一つの既約分数をもつこと、また有理数の順序が稠密でアルキメデス的であることを証明する。
- 複素数を実数の対として、 $i^2 = -1$ を与える積とともに構成する。
1. 単位元と反数の一意性. 加法の単位元はただ一つであり、各数はただ一つの反数をもつので、 $-(-c) = c$ となる。同様に、零でない各数はただ一つの逆数をもつ。
  証明される授業: 数の集合：自然数から複素数まで.
2. 整数の構成. 自然数の対 $(a, b)$ と $(c, d)$ を $a + d = b + c$ のとき同値とする関係は同値関係である。その類が整数であり、加法と乗法は矛盾なく定義され、交換法則、結合法則、分配法則を満たし、単位元は $C(1, 1)$ と $C(2, 1)$ 、反数は $-C(a, b) = C(b, a)$ である。
  支え: B (自然数の算術). 証明される授業: 整数：構成・符号・順序.
3. 整数の三分律. 自然数 $n$ を類 $C(n + 1, 1)$ と同一視すると加法と乗法が保たれ、すべての整数は、自然数、零、自然数の反数のうちちょうど一つである。
  使う結果: 2. 整数の構成. 支え: B (自然数の算術), A (拡張の原理). 証明される授業: 整数：構成・符号・順序.
4. 符号の規則. すべての整数について $a \cdot 0 = 0$ 、 $(-a) b = -(ab)$ 、 $(-a)(-b) = ab$ が成り立つ。さらに、 $ab = 0$ ならば因数のどちらかは零であり、等しい二つの積に共通する零でない因数は簡約できる。
  使う結果: 1. 単位元と反数の一意性, 2. 整数の構成, 3. 整数の三分律. 証明される授業: 整数：構成・符号・順序.
5. 整数の順序. $a < b$ が $b - a$ は自然数であることを意味するならば、同じ整数を足しても順序は保たれ、正の数を掛けると保たれ、負の数を掛けると逆になる。また、負の被除数の余りのある割り算は、自然数の被除数の割り算に帰着する。
  使う結果: 1. 単位元と反数の一意性, 3. 整数の三分律, 4. 符号の規則. 支え: C (余りのある割り算). 証明される授業: 整数：構成・符号・順序.
6. 有理数の構成. 分数 $\frac{p}{q}$ と $\frac{r}{s}$ を $ps = qr$ のとき同値とする関係は同値関係である。その類が有理数であり、加法と乗法は矛盾なく定義され、零でないすべての有理数 $\frac{p}{q}$ の逆数は $\frac{q}{p}$ である。
  使う結果: 1. 単位元と反数の一意性, 4. 符号の規則. 支え: E (類による構成), A (拡張の原理). 証明される授業: 有理数：分数とその演算.
7. 既約分数. すべての有理数は、分母が自然数の既約分数でただ一通りに表される。
  使う結果: 4. 符号の規則, 6. 有理数の構成. 支え: D (ベズーとユークリッド). 証明される授業: 有理数：分数とその演算.
8. 有理数の順序. 分母を自然数とするとき、 $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ は $ps < qr$ のことと定める。この順序は選んだ分数によらず、整数の順序を拡張し、演算と両立し、稠密でアルキメデス的である。二つの有理数の間には無限に多くの有理数があり、すべての有理数はある自然数に超えられる。
  使う結果: 5. 整数の順序, 6. 有理数の構成. 証明される授業: 有理数：分数とその演算.
9. 複素数の構成. $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ と $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ により、実数の対は複素数をなす。その演算は交換法則、結合法則、分配法則を満たし、対 $(a, 0)$ は実数と同じようにふるまい、 $i = (0, 1)$ は $i^2 = -1$ を満たし、すべての複素数はただ一通りに $a + bi$ と書ける。
  支え: A (拡張の原理), F (完備な順序体の公理). 証明される授業: 複素数：演算と方程式.
第 2 区間順序と完備性
- 順序の公理から、不等式の計算規則と主根の一意性を導く。
- 平方が $2$ より小さい有理数の集合が有理数の上限をもたないことから、有理数が完備でないことを証明する。
- 完備性から、アルキメデスの性質、すべての無限小数表示の値、有限または循環する小数表示による有理数の特徴づけを導く。
- 完備性から、直線における有理数の稠密性、累乗根の存在、区間の特徴づけを導き、絶対値を用いて計算する。
1. 実数の順序. 正の数が三分律を満たし、加法と乗法について閉じているならば、実数の順序は推移的であり、足すときと正の数を掛けるときに保たれ、負の数を掛けるときに逆になり、二つの正の数の逆数をとるとその順序は逆になる。
  使う結果: 4. 符号の規則. 支え: F (完備な順序体の公理). 証明される授業: 数の集合：自然数から複素数まで.
2. 主根の一意性. $p$ と $r$ が非負で $p^n = r^n$ ならば、 $p = r$ である。 $n$ が奇数ならば、各実数の $n$ 乗根は高々一つであり、その数が負のときは負である。
  使う結果: 4. 符号の規則, 10. 実数の順序. 支え: B (自然数の算術). 証明される授業: 数の集合：自然数から複素数まで.
3. 有理数は完備でない. $2$ の平方根は有理数でない。そのため、平方が $2$ より小さい有理数の集合は上に有界であるが、その有理数の上界のうちに最小のものはない。
  使う結果: 8. 有理数の順序, 11. 主根の一意性. 支え: D (ベズーとユークリッド). 証明される授業: 数の集合：自然数から複素数まで.
4. アルキメデスの性質. すべての実数 $x$ に対して、 $x$ より大きい自然数が存在する。したがって、 $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ がすべての自然数 $n$ について成り立つならば、 $d = 0$ である。
  使う結果: 10. 実数の順序. 支え: F (完備な順序体の公理), B (自然数の算術). 証明される授業: 有理数の小数表示.
5. 小数表示の値. $p$ を $q$ で割る筆算の割り算は、その切り捨てと $\frac{p}{q}$ との差が $\frac{1}{10^n}$ より小さくなる数字を与える。また、すべての無限小数表示はただ一つの実数を表し、筆算の割り算についてはそれが $\frac{p}{q}$ である。正の実数が二つの表示をもつのは、一方が有限で他方が九の連続で終わるときだけである。
  使う結果: 6. 有理数の構成, 10. 実数の順序. 支え: B (自然数の算術), C (余りのある割り算), F (完備な順序体の公理), H (アルキメデスの性質). 証明される授業: 有理数の小数表示.
6. 有限小数. 既約分数 $\frac{p}{q}$ の小数表示が有限であるのは、 $q = 2^a 5^b$ （ただし $a$ と $b$ は非負整数）であるとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 7. 既約分数, 14. 小数表示の値. 支え: D (ベズーとユークリッド). 証明される授業: 有理数の小数表示.
7. 有理数の小数表示. すべての正の有理数 $\frac{p}{q}$ の小数表示は有限または循環であり、その循環節の長さは高々 $q - 1$ である。
  使う結果: 14. 小数表示の値. 支え: B (自然数の算術), C (余りのある割り算). 証明される授業: 有理数の小数表示.
8. 生成分数. 循環する小数表示はすべて有理数を表し、循環節 $A$ が $k$ 桁の純循環小数は $\frac{A}{10^k - 1}$ を表す。したがって、実数が有理数であるのは、その小数表示が有限または循環であるとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 14. 小数表示の値, 16. 有理数の小数表示. 支え: B (自然数の算術), H (アルキメデスの性質). 証明される授業: 有理数の小数表示.
9. 有理数の稠密性. 相異なる二つの実数の間にはつねに有理数があり、したがって無限に多くの有理数がある。
  使う結果: 10. 実数の順序. 支え: B (自然数の算術), H (アルキメデスの性質). 証明される授業: 実数直線：順序・区間・絶対値.
10. 累乗根の存在. すべての自然数 $n \geq 2$ とすべての実数 $a \geq 0$ に対して、実数 $s \geq 0$ が存在して $s^n = a$ となり、それは $n$ 乗根の主根（ $a$ の）である。
  使う結果: 10. 実数の順序. 支え: F (完備な順序体の公理), G (累乗根の一意性). 証明される授業: 実数直線：順序・区間・絶対値.
11. 区間の特徴づけ. 少なくとも二つの元をもつ実数の集合が区間であるのは、その任意の二つの元の間にあるすべての数を含むとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 10. 実数の順序. 支え: F (完備な順序体の公理). 証明される授業: 実数直線：順序・区間・絶対値.
12. 絶対値. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ と $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ が成り立つ。条件 $\abs{x - a} < r$ は $a - r < x < a + r$ と同値であり、三角不等式 $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ が成り立つ。
  使う結果: 4. 符号の規則, 10. 実数の順序. 支え: G (累乗根の一意性). 証明される授業: 実数直線：順序・区間・絶対値.
第 3 区間計算
- 有理数を指数とする累乗を定義し、それが選んだ分数によらないことを証明し、指数法則を導く。
- 累乗根の性質を符号についての仮定とともに確立する。その中には $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ がある。
- 解を失うことも付け加えることもなく方程式と不等式を変形し、二元の連立方程式をその行列式によって分類する。
- 共役と絶対値を用いて計算し、 $\mathbb{C}$ において実数係数のすべての二次方程式を解き、 $\mathbb{C}$ がその演算と両立する順序をもたないことを認める。
1. 指数法則. $a > 0$ のとき、累乗 $a^{\frac{p}{q}}$ 、すなわち $q$ 乗根（ $a^p$ の）のうちの主根は、選んだ分数によらず、 $a^x a^y = a^{x + y}$ 、 $(a^x)^y = a^{xy}$ 、 $(ab)^x = a^x b^x$ が成り立つ。 $a > 1$ ならば、指数とともに増加する。
  使う結果: 6. 有理数の構成, 19. 累乗根の存在. 支え: G (累乗根の一意性). 証明される授業: 有理数の指数と累乗根.
2. 累乗根の性質. 根号の中の式が非負のとき、積の累乗根は累乗根の積に等しく、累乗根の累乗根は根指数の積を根指数とする累乗根に等しい。 $\sqrt[n]{a^n}$ は $\abs{a}$ に等しく（ $n$ が偶数のとき）、また $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ であり、等号は $ab = 0$ のときに限り成り立つ。
  使う結果: 19. 累乗根の存在, 21. 絶対値. 支え: G (累乗根の一意性). 証明される授業: 有理数の指数と累乗根.
3. 同値な方程式. 両辺に同じ式を足すこと、あるいは両辺に零でない数を掛けることは、方程式の解を保つ。不等式では、正の数を掛けると不等号の向きが保たれ、負の数を掛けると逆になる。また、両辺を平方すると $A = -B$ の解が付け加わることがある。
  使う結果: 1. 単位元と反数の一意性, 10. 実数の順序. 証明される授業: 一次方程式・一次不等式と連立一次方程式.
4. 二元の連立方程式. 連立方程式の行列式 $D$ が零でなければ、唯一の解は $x = \frac{D_x}{D}$ 、 $y = \frac{D_y}{D}$ である。 $D = 0$ で、各方程式が零でない係数を少なくとも一つもつならば、連立方程式は $D_x = D_y = 0$ のとき無数の解をもち、それ以外のときは解をもたない。
  使う結果: 24. 同値な方程式. 証明される授業: 一次方程式・一次不等式と連立一次方程式.
5. 共役と絶対値. 和または積の共役は共役の和または積であり、 $z \conj{z} = \abs{z}^2$ 、 $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ 、 $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ が成り立つ。
  使う結果: 9. 複素数の構成, 21. 絶対値. 支え: G (累乗根の一意性). 証明される授業: 複素数：演算と方程式.
6. 複素数の逆数. 零でないすべての複素数 $z$ はただ一つの逆数 $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ をもつ。したがって、零でないすべての複素数で割ることができ、複素数の積が零になるのは、因数のどれかが零になるときだけである。
  使う結果: 1. 単位元と反数の一意性, 26. 共役と絶対値. 証明される授業: 複素数：演算と方程式.
7. 二次方程式. $a$ 、 $b$ 、 $c$ が実数で、 $a \neq 0$ かつ $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ ならば、方程式 $az^2 + bz + c = 0$ は $\mathbb{C}$ においてちょうど二つの解 $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ をもち、それらは共役で実数ではない。
  使う結果: 19. 累乗根の存在, 27. 複素数の逆数. 証明される授業: 複素数：演算と方程式.
8. 共役な根. 実数係数の多項式が $z_0$ で零になるならば、 $\conj{z_0}$ でも零になる。したがって、その実数でない根は共役な対として現れる。
  使う結果: 26. 共役と絶対値. 証明される授業: 複素数：演算と方程式.
9. 複素数には順序がない. $\mathbb{C}$ には演算と両立する順序が存在しない。もしあれば、零でないすべての数の平方は正となり、すると $1$ と $i^2 = -1$ が正となり、その和も正となるが、その和は $0$ である。
  使う結果: 4. 符号の規則, 9. 複素数の構成. 証明される授業: 数の集合：自然数から複素数まで.

代数関数へ. 鎖は、数が個別に調べられなくなるところで止まる。次の単元は、数に数を対応させる規則を調べる。その定義域は区間であり、根号の中の式は非負であり、符号表を用い、実数係数の多項式の因数分解には共役な根の定理を用いる。