コンテンツへスキップ
Topos Uranos
日本語

ワイエルシュトラスの最大値・最小値定理

要約

この課は各点から大域への移行を開く。一点における連続性は、その点の近くでしか関数を制御しない。ワイエルシュトラスの定理は、関数が有界閉区間のすべての点で連続ならば、区間全体で有界であり、そこで最大値と最小値をとることを主張する。どちらの主張も、ボルツァーノの定理と同じく、上限を通じて完備性公理によって証明される。有界性は、関数がそこまで有界であるような点全体の上限と、極限と連続性の課の局所有界性によって示され、最大値の存在は、値の上限と、その上限がとられないとすれば連続で有界でないことになる補助関数によって示される。この課では、どの仮定も省けないことを反例で示し、有界閉区間の像が同じ種類の区間であること、および関数が両端で同じ値をとるならば最大値と最小値の一方が内部でとられることを示し、さらに定理を正の関数、周期関数、数直線全体で定義された関数に応用する。

学習目標

  1. 関数の値の上限とその最大値を区別し、関数が集合において最大値または最小値をとることを量化子を用いて表す。
  2. 有界閉区間で連続な関数が有界であり、最大値と最小値をとることを、完備性公理を用いて証明する。
  3. 区間が閉じていない場合、有界でない場合、または関数が連続でない場合に定理が成り立たないことを反例で示し、定理の仮定が十分条件であって必要条件ではないことを理解する。
  4. 中間値の定理や無限遠における極限とともに定理を用いて、有界閉区間の像を求め、有界閉区間でない定義域で関数が最大値・最小値をとることを証明する。

関数の最大値・最小値と上限

これまでの二つの単元では、関数を一点において調べた。極限、連続性、導関数は aa の近くで起こることを記述する。しかし多くの問いは集合全体にかかわる。関数がある区間でとる最も大きな値は何か（そもそも存在するならば）、あるいはそれはどの点でとられるか、という問いである。関数 xx は (0,1)\ioo{0}{1} において、他のすべての値より大きな値をもたない。区間のどの xx に対しても、数 x+12\frac{x + 1}{2} もまたその区間にあり、しかもより大きいからである。その値は 11 に近づくが、それに達しない。したがって二つの概念を区別しておくのがよい。一つは値の最小の上界で、値が有界でありさえすれば存在する。もう一つは最大値で、これは関数の値の一つである。

定義有界な関数；集合における関数の最大値と最小値

ff を集合 AA で定義された関数とし、SS を AA の空でない部分集合とする。ff が SS で上に有界であるとは、ある数 KK が存在して、f(x)≤Kf(x) \leq K がすべての xx（SS の元）について成り立つことをいう。下に有界であるとは、ある KK が存在して、f(x)≥Kf(x) \geq K がすべての xx（SS の元）について成り立つことをいい、有界であるとは、その両方であること、すなわちある KK が存在して、∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K がすべての xx（SS の元）について成り立つことをいう。ff が SS において点 x0x_0（SS の点）で最大値をとるとは、値 f(x0)f(x_0) が ff の SS における他のどの値にも超えられないことをいい、x0x_0 で最小値をとるとは、SS にそれより小さい値がないことをいう：

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

数 f(x0)f(x_0) を ff の SS における最大値（または最小値）といい、max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x)（または min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)）と書く。点 x0x_0 を最大値をとる点（または最小値をとる点）という。

最大値は、存在すれば一つしかない。二つの最大値があれば、それぞれが他方以上になるからである。一方、最大値をとる点は一つとは限らない。余弦は最大値 11 を [0,4π]\icc{0}{4\pi} において三つの点 00、2π2\pi、4π4\pi でとる。極値と最大値・最小値の課で見るように、これらは最大値・最小値であり、近くの値とだけ f(x0)f(x_0) を比べる極大値・極小値とは異なる。

ff が SS で上に有界ならば、その値の集合 f(S)f(S) は空でなく、上に有界である。実数直線の課で振り返った完備性公理により、これは上限をもち、それを sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x) と書く。二つの概念の関係は単純である。ff が SS で最大値をとるのは、その値の上限が値の一つであるとき、かつそのときに限り、そのとき両者は一致する。実際、f(x0)f(x_0) が最大値ならば、それは f(S)f(S) の上界で f(S)f(S) に属し、それより小さい数は上界になりえない。逆に、上限がある値 f(x0)f(x_0) ならば、どの値もそれを超えない。関数 xx は (0,1)\ioo{0}{1} で有界で、その上限は 11 であるがとられず、下限は 00 であるがこれもとられない。ワイエルシュトラスの定理は、こうしたことが起こらない条件を与える。