निगमन: परिचय

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1. प्रश्न 1पिछली इकाइयों सेशृंखला $\sigI\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI\sigO\sigI$ एक संयुक्त सूत्र है, जो $\sigI\varphi\psi$ के रूप का है। इसके घटक $\varphi$ और $\psi$ क्या हैं?

   $\varphi = \sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$ और $\psi = \sigO\sigI$।

   $\varphi = \sigI\sigO\sigI$ और $\psi = \sigO\sigO\sigI\sigO\sigI$।

   इसके दो विघटन संभव हैं, इस पर निर्भर कि आरंभिक चक्रिका के बाद शृंखला को कहाँ काटा जाए।

   $\varphi$ आरंभिक चक्रिका के बाद आने वाली पूरी शृंखला है, और $\psi$ रिक्त शृंखला है।

2. प्रश्न 2पिछली इकाइयों सेप्रबल आगमन द्वारा इस उपपत्ति में कि हर प्राकृत संख्या $n$ एक गुण $P(n)$ रखती है, $P(n)$ को सिद्ध करते समय क्या माना जा सकता है?

   कि $P(m)$ हर प्राकृत संख्या $m$ के लिए सत्य है जो $n$ से छोटी हो।

   केवल यह कि $P(n - 1)$ सत्य है।

   कि $P(m)$ हर प्राकृत संख्या $m$ के लिए सत्य है जो $n$ से छोटी या उसके बराबर हो।

   कुछ नहीं, जब तक $P(1)$ और $P(2)$ को अलग-अलग सिद्ध न कर लिया जाए।

3. प्रश्न 3पिछली इकाइयों सेपाठ्यक्रम के आधिकारिक संक्षेपणों के साथ, संयुक्त निषेध और निषेध से लिखने पर $(\varphi \rightarrow \psi)$ किस सूत्र को निर्दिष्ट करता है?

   $\neg(\neg\varphi \downarrow \psi)$।

   $(\neg\varphi \downarrow \psi)$।

   $\neg(\varphi \downarrow \neg\psi)$।

   कोई विशेष सूत्र नहीं: यह इस पर निर्भर है कि उसे कैसे पढ़ने का निश्चय किया जाए।

4. प्रश्न 4योजना A1, $(\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi))$ है। क्या सूत्र $(v_{1} \rightarrow (v_{2} \rightarrow v_{3}))$, A1 का एक दृष्टांत है?

   नहीं: $\varphi$ की पहली और अंतिम उपस्थिति के स्थान पर एक ही सूत्र रखना होगा, और यहाँ वे $v_{1}$ और $v_{3}$ हैं।

   हाँ, $\varphi := v_{1}$ और $\psi := v_{2}$ लेकर।

   हाँ, क्योंकि हर सोपाधिक जिसका उत्तरपद एक अन्य सोपाधिक है, A1 का दृष्टांत है।

   नहीं, क्योंकि किसी योजना के दृष्टांतों में चर नहीं हो सकते।

5. प्रश्न 5किसी निगमन में पंक्तियाँ $\psi$ और $(\varphi \rightarrow \psi)$ पहले से हैं, जहाँ $\varphi$ और $\psi$ भिन्न सूत्र हैं। इन दो पंक्तियों पर लागू मोडस पोनेन्स कौन-सा सूत्र लिखने देता है?

   कोई नहीं: मोडस पोनेन्स पूर्वपद $\varphi$ माँगता है, और जो उपलब्ध है वह उत्तरपद है।

   $\varphi$।

   $(\psi \rightarrow \varphi)$।

   $\neg\varphi$।

6. प्रश्न 6ज्ञात है कि $\{\varphi\} \vdash \psi$, अर्थात् $\psi$ का एक निगमन है जिसका एकमात्र आधार-वाक्य $\varphi$ है। तब निगमन प्रमेय क्या दावा करता है?

   कि $\vdash (\varphi \rightarrow \psi)$: सोपाधिक एक प्रमेय है।

   कि $\vdash \psi$: आधार-वाक्य को यों ही हटाया जा सकता है।

   कि $\vdash (\psi \rightarrow \varphi)$।

   कि $\{\psi\} \vdash \varphi$।

7. प्रश्न 7बिना अन्य आधार-वाक्यों के, समुच्चय $\{(\varphi \rightarrow \psi), (\psi \rightarrow \chi)\}$ से क्या निगमित होता है?

   $(\varphi \rightarrow \chi)$।

   $\chi$, दो बार मोडस पोनेन्स लागू करके।

   $(\chi \rightarrow \varphi)$।

   $(\varphi \wedge \chi)$।

8. प्रश्न 8दोहरे निषेध के प्रतिस्थापन (RDN) का नियम किसी पंक्ति में किसी उपसूत्र की केवल एक उपस्थिति बदलता है, और आधार-भाषा की शृंखला पर कार्य करता है। उपसूत्र $\neg v_{1}$ की कितनी उपस्थितियाँ उस शृंखला में हैं जिसे $(v_{1} \rightarrow v_{2})$ निर्दिष्ट करता है?

   दो।

   एक, जो पूर्वपद से संबंधित है।

   एक भी नहीं: सूत्र में कोई निषेध नहीं है।

   चार।

9. प्रश्न 9दोहरे निषेध जोड़े बिना, $(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ से प्रतिपरिवर्तन द्वारा कौन-सा सूत्र प्राप्त होता है?

   $(\neg\psi \rightarrow \varphi)$।

   $(\psi \rightarrow \neg\varphi)$।

   $(\varphi \rightarrow \neg\psi)$।

   $(\neg\psi \rightarrow \neg\varphi)$।

10. प्रश्न 10क्या $(\varphi \vee \psi)$ और $(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ एक ही सूत्र को निर्दिष्ट करते हैं?

    नहीं: पहला $\neg(\varphi \downarrow \psi)$ है और दूसरा $\neg(\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$; ये भिन्न सूत्र हैं, निगमनतः तुल्य।

    हाँ, सोपाधिक की परिभाषा से।

    हाँ, क्योंकि दोनों “$\varphi$ या $\psi$” पढ़े जाते हैं।

    नहीं, और एक से दूसरा निगमित भी नहीं होता।

11. प्रश्न 11ज्ञात है कि $\varphi \dashv\vdash \varphi'$, अर्थात् प्रत्येक दूसरे से निगमित होता है। किस बात से यह उचित ठहरता है कि $\neg\varphi \dashv\vdash \neg\varphi'$ भी?

    एक प्रमेय, तुल्यों का प्रतिस्थापन, जो निगमन प्रमेय और प्रतिपरिवर्तन से सिद्ध होता है।

    किसी विशेष औचित्य की आवश्यकता नहीं: तुल्यता के “दोनों पक्षों का निषेध करना” पर्याप्त है।

    निषेध की परिभाषा, क्योंकि $\neg\varphi$, $(\varphi \downarrow \varphi)$ है।

    कुछ नहीं, क्योंकि यह सत्य नहीं है: निषेध तुल्य सूत्रों को अलग कर सकता है।

12. प्रश्न 12आधार-वाक्य समुच्चय $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$ से एक सूत्र $\chi$ और उसका निषेध $\neg\chi$ निगमित होते हैं। क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

    कि $\Gamma \vdash \varphi$।

    कि $\Gamma \vdash \neg\varphi$।

    कि $\Gamma$ से कोई भी सूत्र निगमित होता है।

    कुछ नहीं: व्याघात तक पहुँचने वाला निगमन कुछ सिद्ध नहीं करता।

13. प्रश्न 13किसी सोपाधिक का निषेध, $\neg(\varphi \rightarrow \psi)$, किस सूत्र के तुल्य है?

    $(\varphi \wedge \neg\psi)$ के।

    $(\neg\varphi \rightarrow \neg\psi)$ के।

    $(\varphi \rightarrow \neg\psi)$ के।

    $(\neg\varphi \wedge \psi)$ के।