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Topos Uranos
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औपचारिक निगमन प्रणालियाँ

सारांश

यह पाठ पिछली इकाई की भाषा को उपपत्ति के एक उपकरण में बदलता है। यह परिभाषित करता है कि औपचारिक निगमन प्रणाली क्या है (एक भाषा, कुछ अभिगृहीत-योजनाएँ और कुछ अनुमान नियम), और उन दो प्रणालियों में से पहली प्रस्तुत करता है जिनके साथ पाठ्यक्रम काम करता है, अर्थात् लुकासिएविच प्रणाली: तीन अभिगृहीत-योजनाएँ और एकमात्र नियम के रूप में मोडस पोनेन्स। यह आधार-वाक्यों के किसी समुच्चय से निगमन, प्रमेय और संबंध Γ⊢φ\Gamma \vdash \varphi को सटीक रूप से परिभाषित करता है, ⊢(φ→φ)\vdash (\varphi \rightarrow \varphi) को पाँच पंक्तियों में निगमित करता है, और निगमन के संरचनात्मक गुण सिद्ध करता है: स्वतुल्यता, एकदिष्टता, निगमनों के बीच मोडस पोनेन्स, कर्तन और परिमितता। इसके बाद यह पंक्तियों की संख्या पर प्रबल आगमन द्वारा निगमन प्रमेय और उसका विलोम सिद्ध करता है, जो निगमनों पर निगमनों के द्वारा विचार करने देते हैं, और निगमनतः तुल्यता को परिभाषित करता है। अंत में, सत्यता मानों का सहारा लिए बिना, यह उस भाषा में इस प्रणाली की सीमा स्थापित करता है जिसका एकमात्र संयोजक संयुक्त निषेध है: 00 और 11 मानों वाला एक अंकन, जो सूत्रों पर पुनरावर्तन द्वारा परिकलित होता है और जिसे लुकासिएविच के अभिगृहीत और मोडस पोनेन्स संरक्षित रखते हैं, यह सिद्ध करता है कि कुछ सूत्र जिन्हें निगमित होना चाहिए था, निगमित नहीं होते, और यह भी कि (v1↓v2)(v_{1} \downarrow v_{2}) से (¬¬v1↓v2)(\neg\neg v_{1} \downarrow v_{2}) तक पहुँचना तक संभव नहीं है। इससे एक दूसरे नियम की आवश्यकता निकलती है, अर्थात् दोहरे निषेध का प्रतिस्थापन, जिसके द्वारा अगला पाठ प्रणाली को पूर्ण करता है।

अधिगम उद्देश्य

  1. अभिगृहीत-योजनाओं A1, A2 और A3 के दृष्टांतों को पहचानना, और यह निर्णय करना कि सूत्रों का कोई अनुक्रम आधार-वाक्यों के किसी समुच्चय से निगमन है या नहीं।
  2. लुकासिएविच प्रणाली में अभिगृहीतों, आधार-वाक्यों और मोडस पोनेन्स से निगमनों की रचना करना, और स्वतुल्यता, एकदिष्टता, कर्तन, निगमन प्रमेय तथा उसके विलोम से निगमनों पर निगमनों की रचना करना।
  3. निगमन के संरचनात्मक गुणों और निगमन प्रमेय को पंक्तियों की संख्या पर प्रबल आगमन द्वारा सिद्ध करना।
  4. निगमनतः तुल्यताएँ स्थापित करना, और इस तथ्य का उपयोग करना कि निगमनतः तुल्यता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।
  5. ऐसे अंकन द्वारा, जिसे अभिगृहीत और मोडस पोनेन्स संरक्षित रखते हैं, यह सिद्ध करना कि कोई सूत्र निगम्य नहीं है, और उसकी सहायता से एक ही संयोजक वाली भाषा में लुकासिएविच प्रणाली की सीमा तथा दूसरे नियम की आवश्यकता का कारण समझाना।

औपचारिक निगमन प्रणाली क्या है

पिछली इकाई ने एक भाषा की रचना की: उसने तय किया कि वृत्तों और चक्रिकाओं की कौन-सी शृंखलाएँ सूत्र हैं, और इससे अधिक कुछ नहीं। किंतु कोई भाषा अपने आप में न कुछ दावा करती है, न कुछ सिद्ध करती है; सिद्ध करने के लिए इसके अतिरिक्त एक प्रारंभ-बिंदु और आगे बढ़ने का एक ढंग चाहिए। अतः एक औपचारिक निगमन प्रणाली तीन घटकों से बनती है: एक औपचारिक भाषा, जो सूत्रों को निर्धारित करती है; अभिगृहीतों का एक समुच्चय, अर्थात् ऐसे सूत्र जो बिना उपपत्ति के स्वीकार किए जाते हैं; और अनुमान नियमों का एक समुच्चय, जो बताते हैं कि पहले से लिखे अन्य सूत्रों के आधार पर कौन-सा सूत्र लिखा जा सकता है। निर्णायक बात यह है कि ये तीनों विशुद्ध रूप से वाक्यविन्यास-संबंधी हैं: यह जाँचने के लिए कि कोई सूत्र अभिगृहीत है, या कोई नियम ठीक से लागू हुआ है, शृंखलाओं को देखना पर्याप्त है, यह पूछे बिना कि उनका अर्थ क्या है। यदि ऐसा है, तो किसी औपचारिक प्रणाली में उपपत्ति की जाँच यांत्रिक रूप से, प्रतीक-दर-प्रतीक, की जा सकती है, और उसका सारा मूल्य इसी संभावना में निहित है।

आरंभ से ही यह ध्यान देना उचित है कि यहाँ अभिगृहीत कोई “स्वतःसिद्ध सत्य” नहीं है, जैसा इस शब्द के पुराने प्रयोग में था, बल्कि प्रारंभ-बिंदु के रूप में चुना गया एक सूत्र है। यह चुनाव उपयुक्त है या नहीं (क्या अभिगृहीत उस अर्थ में सत्य हैं जिसे अर्थविज्ञान स्पष्ट करेगा, और क्या वे वह सब निगमित करने के लिए पर्याप्त हैं जो निगमित होना चाहिए), यह प्रणाली के बारे में एक प्रश्न है, जिसका उत्तर अंतर्ज्ञान से नहीं, प्रणाली के बारे में प्रमेयों से दिया जाता है: अधिसिद्धांत की इकाई इसका उत्तर देती है, और इस पाठ का अंतिम खंड दिखाता है कि यह प्रश्न निरर्थक नहीं है।

अभिगृहीत-योजनाएँ और दृष्टांत

प्रस्तावात्मक तर्क की प्रणालियाँ अपने अभिगृहीत एक-एक करके नहीं बतातीं, क्योंकि वे अनंत हैं, बल्कि योजनाओं के द्वारा बताती हैं: अधिचरों से लिखी गई अधिभाषा की अभिव्यक्तियाँ, जैसे (φ→(ψ→φ))(\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi))। योजना सूत्र नहीं है; वह एक साँचा है। योजना का दृष्टांत वह सूत्र है जो प्रत्येक अधिचर के स्थान पर किसी सूत्र को समरूप ढंग से रखने पर प्राप्त होता है: एक ही अधिचर की सभी उपस्थितियों के स्थान पर एक ही सूत्र रखा जाता है, जबकि भिन्न अधिचरों को एक ही सूत्र भी मिल सकता है और भिन्न सूत्र भी।

उदाहरणकिसी योजना के दृष्टांत

φ:=v1\varphi := v_{1} और ψ:=¬v2\psi := \neg v_{2} लेने पर योजना (φ→(ψ→φ))(\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi)) दृष्टांत (v1→(¬v2→v1))(v_{1} \rightarrow (\neg v_{2} \rightarrow v_{1})) देती है; φ:=(v1↓v2)\varphi := (v_{1} \downarrow v_{2}) और ψ:=(v1↓v2)\psi := (v_{1} \downarrow v_{2}) लेने पर वह ((v1↓v2)→((v1↓v2)→(v1↓v2)))((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow ((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow (v_{1} \downarrow v_{2}))) देती है, क्योंकि दो अधिचरों को एक ही सूत्र मिलने से कुछ नहीं रोकता। इसके विपरीत, (v1→(v2→v3))(v_{1} \rightarrow (v_{2} \rightarrow v_{3})) उस योजना का दृष्टांत नहीं है: φ\varphi की पहली और अंतिम उपस्थिति को भिन्न सूत्र मिलते, और यह रखना समरूप न होता। प्रत्येक दृष्टांत, संक्षेपण खोलने पर, वृत्तों और चक्रिकाओं की एक शृंखला है; योजना, इसके विपरीत, केवल अधिभाषा में रहती है।