भाषा: सारांश और चुनौतियाँ

1. खंड 1 विचार करना और भाषा के बारे में बोलना

   • वैधता को सत्य से अलग करना और किसी अवैध रूप का खंडन प्रत्युदाहरण से करना।
   • प्राकृतिक भाषा की संदिग्धार्थताओं को पहचानना और किसी कथन के पठनों को अलग करना।
   • वस्तु-भाषा को अधिभाषा से, और किसी अभिव्यक्ति के प्रयोग को उसके उल्लेख से अलग करना।
   • किसी विरोधाभास का विश्लेषण उसकी परिकल्पनाओं को अलग करके और यह तय करके करना कि कौन-सी छोड़नी चाहिए।

   1. वैधता क्या सुनिश्चित करती है. यदि कोई युक्ति वैध है और उसके सभी आधार-वाक्य सत्य हैं, तो उसका निष्कर्ष सत्य है; अतः असत्य निष्कर्ष वाली वैध युक्ति का कोई आधार-वाक्य असत्य है, और कोई रूप ठीक तब अवैध है जब उसका कोई प्रत्युदाहरण हो।

      सिद्ध किया गया: गणितीय तर्कशास्त्र क्या है.

   2. मिथ्यावादी विरोधाभास. वाक्य $m$ पर, जो कहता है “वाक्य $m$ असत्य है”, लागू करने पर द्वि-मानता और सत्य-योजना $V(m) \Leftrightarrow \neg V(m)$ देती हैं; जिस भाषा में $m$ है, उसके लिए दोनों परिकल्पनाओं में से एक छोड़नी होगी, और टार्स्की का मार्ग यह है कि कोई भाषा अपना सत्य-विधेय न रखे, जिससे $m$ बन ही न सके।

      उपयोग करती है: 1. वैधता क्या सुनिश्चित करती है. आधार: A (द्वि-मानता), B (सत्य-योजना). सिद्ध किया गया: गणितीय तर्कशास्त्र क्या है.

   3. विकर्ण प्रमेयिका. यदि $R$ किसी संग्रह $D$ की वस्तुओं के बीच एक संबंध है, ऐसा कि प्रत्येक $R(x, y)$ सत्य या असत्य है, तो कोई भी $b$, जो $D$ में हो, ऐसा नहीं कि $R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x)$ प्रत्येक $x$ के लिए लागू हो जो $D$ में है।

      आधार: A (द्वि-मानता). सिद्ध किया गया: गणितीय तर्कशास्त्र क्या है.

   4. नाई और रसेल. गाँव का ऐसा कोई पुरुष नहीं है जो ठीक उन्हीं पुरुषों की हजामत बनाए जो अपनी हजामत स्वयं नहीं बनाते; और अप्रतिबंधित गुण-कथन सिद्धांत व्याघाती है, क्योंकि वह समुच्चय $Z = \{ x : x \notin x \}$ के अस्तित्व का दावा करता है।

      आधार: D (विकर्ण प्रमेयिका). सिद्ध किया गया: गणितीय तर्कशास्त्र क्या है.

2. खंड 2 वृत्तों और चक्रिकाओं की भाषा

   • शृंखलाओं के समुच्चयों का वर्णन करना और हर लंबाई की शृंखलाएँ गिनना।
   • सूत्रों को सबसे छोटे संवृत समुच्चय के रूप में परिभाषित करना और उससे संवृति सिद्धांत निगमित करना।
   • सभी सूत्रों के गुण सिद्ध करना और उनसे शृंखलाओं को अस्वीकार करना।
   • किसी शृंखला को शब्दों में विघटित करना और संक्षेपणों को आधार-भाषा तक खोलना।

   5. संवृति सिद्धांत. सूत्रों का समुच्चय $\mathcal{F}$ शृंखलाओं का वह सबसे छोटा समुच्चय है जिसमें चर $v_n = \sigO^{n}\sigI$ हैं और जिसमें, $\varphi$ और $\psi$ के साथ, $\sigI\varphi\psi$ भी है; अतः जो गुण चरों में है और $\varphi$ और $\psi$ से $\sigI\varphi\psi$ तक पहुँचता है, वह सभी सूत्रों में है।

      सिद्ध किया गया: प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा.

   6. सूत्रों का रूप. हर सूत्र या तो चर है या $\sigI\varphi\psi$ है, जहाँ $\varphi$ और $\psi$ सूत्र हैं, और दोनों नहीं: हर चर $\sigO$ से आरंभ होता है, और हर संयुक्त सूत्र $\sigI$ से।

      आधार: E (संवृति सिद्धांत). सिद्ध किया गया: प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा.

   7. अंतिम प्रतीक और चक्रिकाओं की संख्या. हर सूत्र चक्रिका पर समाप्त होता है और उसमें विषम संख्या में चक्रिकाएँ होती हैं; अतः न दो सूत्रों का शृंखलन सूत्र है, न शृंखला $\sigI\varphi$।

      आधार: E (संवृति सिद्धांत). सिद्ध किया गया: प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा.

   8. शब्दों में विघटन. चक्रिका पर समाप्त होने वाली हर शृंखला एक ही प्रकार से शब्दों में, अर्थात् चरों $\sigO^{n}\sigI$ और अकेली चक्रिकाओं में, विघटित होती है, क्योंकि हर शब्द अपनी एकमात्र चक्रिका पर समाप्त होता है और कोई शब्द किसी दूसरे का उचित उपसर्ग नहीं है।

      सिद्ध किया गया: प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा.

3. खंड 3 आगमन और अद्वितीय पठनीयता

   • सरल और प्रबल आगमन से सिद्ध करना, और उनसे सूत्रों की जटिलता पर आगमन निगमित करना।
   • भार प्रमेयिका सिद्ध करना और अद्वितीय पठनीयता निगमित करना।
   • तय करना कि कोई शृंखला सूत्र है या नहीं, और उसका निर्माण फिर से गढ़ना।
   • सूत्रों पर फलनों को पुनरावर्तन से परिभाषित करना और उनके बीच संबंध सिद्ध करना।

   9. संरचनात्मक आगमन. प्रबल आगमन सरल आगमन से निगमित होता है; लंबाई पर लागू करने पर वह जटिलता पर आगमन का सिद्धांत देता है: यदि चरों में कोई गुण है और वह $\varphi$ और $\psi$ से $\sigI\varphi\psi$ तक पहुँचता है, तो वह सभी सूत्रों में है।

      उपयोग करती है: 6. सूत्रों का रूप. आधार: C (आगमन का सिद्धांत). सिद्ध किया गया: प्राकृत संख्याओं और सूत्रों पर आगमन.

   10. भार प्रमेयिका. यदि चर की प्रत्येक उपस्थिति का भार $+1$ और प्रत्येक संयोजक चक्रिका का $-1$ हो, तो प्रत्येक सूत्र का भार $+1$ है और किसी सूत्र के प्रत्येक उचित और अरिक्त शब्दशः उपसर्ग का भार अधिक से अधिक $0$ है; विशेष रूप से, हर सूत्र में चरों की उपस्थितियाँ संयोजक चक्रिकाओं से एक अधिक होती हैं।

       उपयोग करती है: 8. शब्दों में विघटन. आधार: F (संरचनात्मक आगमन). सिद्ध किया गया: प्राकृत संख्याओं और सूत्रों पर आगमन.

   11. अद्वितीय पठनीयता. कोई सूत्र किसी दूसरे सूत्र का उचित उपसर्ग नहीं है; अतः यदि $\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi'$, और चारों शृंखलाएँ सूत्र हैं, तो $\varphi = \varphi'$ और $\psi = \psi'$।

       उपयोग करती है: 7. अंतिम प्रतीक और चक्रिकाओं की संख्या, 8. शब्दों में विघटन, 10. भार प्रमेयिका. सिद्ध किया गया: प्राकृत संख्याओं और सूत्रों पर आगमन.

   12. निर्णय प्रक्रिया. $\sigO$ पर समाप्त होने वाली शृंखला सूत्र नहीं है; यदि वह $\sigI$ पर समाप्त होती है, तो उसे शब्दों में विघटित किया जाता है। यदि पहला शब्द चर है, तो शृंखला सूत्र है यदि और केवल यदि वह चर उसका एकमात्र शब्द है। यदि वह चक्रिका है, तो उसके बाद बकाये का हिसाब रखा जाता है: यदि बकाया कभी शून्य नहीं होता, तो शृंखला सूत्र नहीं है; यदि होता है, तो $\varphi$ और $\psi$ के बीच का कटाव वहाँ है जहाँ बकाया पहली बार शून्य होता है, और हर भाग को इसी प्रकार जाँचा जाता है, यह ध्यान रखते हुए कि रिक्त शृंखला सूत्र नहीं है।

       उपयोग करती है: 6. सूत्रों का रूप, 7. अंतिम प्रतीक और चक्रिकाओं की संख्या, 8. शब्दों में विघटन. आधार: G (अद्वितीय पठनीयता). सिद्ध किया गया: प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा.

   13. पुनरावर्तन द्वारा परिभाषा. यदि हर चर के लिए एक मान और एक नियम दिया गया हो जो $\sigI\varphi\psi$ का मान $\varphi$ से, $\psi$ से और उनके मानों से निकालता है, तो सूत्रों पर ठीक एक फलन होता है जो उनका पालन करता है; इसी प्रकार लंबाई, उपसूत्र, गहराई और स्थापन परिभाषित होते हैं, जो सदा सूत्र ही देता है।

       उपयोग करती है: 6. सूत्रों का रूप. आधार: C (आगमन का सिद्धांत), F (संरचनात्मक आगमन), G (अद्वितीय पठनीयता). सिद्ध किया गया: प्राकृत संख्याओं और सूत्रों पर आगमन.

4. खंड 4 हिंदी से सूत्रों तक

   • स्पष्ट शब्दकोश के साथ कथनों का औपचारिकीकरण करना, हर संयोजक की व्याप्ति तय करते हुए।
   • संक्षेपणों को खोलकर तय करना कि दो औपचारिकीकरण एक ही सूत्र हैं या नहीं।
   • भौतिक सोपाधिक को भाषा के “यदि… तो” से अलग करना और बताना कि औपचारिकीकरण क्या खोता है।
   • पूरी युक्तियों का आधार-वाक्यों के समुच्चय और एक निष्कर्ष के रूप में औपचारिकीकरण करना।

   14. संक्षेपणों की लंबाई. यदि $L(\varphi) = a$ और $L(\psi) = b$, तो $\neg\varphi$, $(\varphi \vee \psi)$, $(\varphi \rightarrow \psi)$ और $(\varphi \wedge \psi)$ की शृंखलाओं की लंबाई $2a + 1$, $2a + 2b + 3$, $4a + 2b + 5$ और $8a + 8b + 15$ है; भिन्न लंबाई वाले दो औपचारिकीकरण भिन्न सूत्र हैं।

       उपयोग करती है: 13. पुनरावर्तन द्वारा परिभाषा. सिद्ध किया गया: प्राकृतिक भाषा का औपचारिकीकरण.

   15. व्याप्ति और भिन्न सूत्र. समूहन $((p \wedge q) \vee r)$ और $(p \wedge (q \vee r))$ भिन्न शृंखलाएँ हैं: यदि वे एक होते, तो दो बार लागू की गई अद्वितीय पठनीयता चर $r$ को संयुक्त सूत्र $(p \wedge q)$ के बराबर होने को बाध्य करती।

       उपयोग करती है: 6. सूत्रों का रूप. आधार: G (अद्वितीय पठनीयता). सिद्ध किया गया: प्राकृतिक भाषा का औपचारिकीकरण.

   16. भौतिक सोपाधिक. सोपाधिक $(\varphi \rightarrow \psi)$, जो $(\neg\varphi \vee \psi)$ का संक्षेपण है, केवल तब असत्य है जब $\varphi$ सत्य हो और $\psi$ असत्य; यही एकमात्र पठन है, जो केवल अंशों के सत्य पर निर्भर है, जो गणित के सोपाधिक प्रमेयों को सत्य बनाता है।

       आधार: H (संयुक्त निषेध का पठन). सिद्ध किया गया: प्राकृतिक भाषा का औपचारिकीकरण.

निगमन की ओर. शृंखला वहाँ रुकती है जहाँ भाषा बन चुकी है और युक्तियाँ आधार-वाक्यों के समुच्चय और एक निष्कर्ष के रूप में औपचारिक बनाई जा चुकी हैं। यह तय करना शेष है कि कोई सूत्र दूसरों से कब निकलता है: पहले नियमों से प्रतीकों का प्रयोग करके, अगली इकाई में, और फिर उनके सत्य पर ध्यान देकर।