Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Γλώσσα: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Το μάθημα αυτό κλείνει την ενότητα που είναι αφιερωμένη στη γλώσσα της προτασιακής λογικής. Ανασυνθέτει την παραγωγική αλυσίδα που οδηγεί από τη διάκριση ανάμεσα στην εγκυρότητα και την αλήθεια, και από την ανάλυση των παραδόξων, στη μονοσήμαντη ανάγνωση των τύπων και στην τυποποίηση αποφάνσεων και επιχειρημάτων, δείχνοντας σε κάθε κρίκο ποια αρχή χρησιμοποιείται και σε ποιο μάθημα αποδεικνύεται· τοποθετεί όσα επιτεύχθηκαν απέναντι στο σχέδιο του κύκλου μαθημάτων και εξηγεί γιατί η γλώσσα που ήδη κατασκευάστηκε θέτει το ερώτημα της επόμενης ενότητας, που είναι αφιερωμένη στην παραγωγή. Επαναλαμβάνει στην τελική αξιολόγηση τις δεξιότητες της αρχικής, και τελειώνει με έξι προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, που απαιτούν να συνδυαστούν τα εργαλεία πολλών από αυτά.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ανασυντεθεί η λογική σειρά των αποτελεσμάτων της ενότητας, με την αρχή στην οποία στηρίζεται καθένα και το μάθημα όπου αποδεικνύεται.
  2. Να εξηγηθεί πώς αλληλοσυνδέονται η αρχή της κλειστότητας, η ανάλυση σε λέξεις, το λήμμα του βάρους και η μονοσήμαντη ανάγνωση, και γιατί από αυτήν εξαρτώνται οι αναδρομικοί ορισμοί και η σύγκριση των τυποποιήσεων.
  3. Να διακριθεί ό,τι απέδειξε η ενότητα από ό,τι δέχτηκε ως παραδοχή (τη διτιμία, το σχήμα της αλήθειας, την αρχή της επαγωγής και την ανάγνωση της κοινής άρνησης) και από ό,τι άφησε για τις επόμενες ενότητες.
  4. Να λυθούν προβλήματα που συνδυάζουν το διαγώνιο λήμμα, την απαρίθμηση των συμβολοσειρών, την επαγωγή στους τύπους, το επιχείρημα του βάρους και την ανάπτυξη των συντομογραφιών.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Η ενότητα έθεσε ως σκοπό να κατασκευάσει, από ένα αλφάβητο δύο συμβόλων, μια γλώσσα στην οποία κάθε τύπος διαβάζεται με έναν μόνο τρόπο, να αποδείξει με αυστηρότητα τις ιδιότητες αυτής της γλώσσας και να γεφυρώσει την απόσταση ανάμεσα σε αυτήν και στη γλώσσα με την οποία συλλογιζόμαστε. Ο σκοπός εκπληρώθηκε με λίγες επιφυλάξεις, καθεμιά δηλωμένη στη θέση της: τη διτιμία και το σχήμα της αλήθειας, που το πρώτο μάθημα δεν τα δέχτηκε ως αλήθειες αλλά ως ρητές παραδοχές, για να εξετάσει τι συμβαίνει όταν ισχύουν ταυτόχρονα· την αρχή της επαγωγής στους φυσικούς αριθμούς, που γίνεται δεκτή ως το πέμπτο αξίωμα του Πεάνο· την άτυπη ανάγνωση της κοινής άρνησης, που ορίζεται με σύμβαση και που η ενότητα της σημασιολογίας θα τη μετατρέψει σε ορισμό· και τα απαραίτητα της θεωρίας συνόλων (ανήκειν, εγκλεισμός και ένωση), που διδάχτηκαν όπου χρειάστηκαν. Με αυτές τις επιφυλάξεις, ο δρόμος που διανύθηκε μπορεί να διαβαστεί ως μία παραγωγική αλυσίδα σε τέσσερα τμήματα.

Ο συλλογισμός και ο λόγος για τη γλώσσα

Το μάθημα για το τι είναι η μαθηματική λογική καθόρισε το αντικείμενο του κύκλου μαθημάτων: όχι την αλήθεια των αποφάνσεων, που ανήκει σε κάθε επιστήμη, αλλά τη μεταβίβασή της. Ένα επιχείρημα είναι έγκυρο όταν η μορφή του δεν επιδέχεται κανένα στιγμιότυπο με αληθείς υποθέσεις και ψευδές συμπέρασμα, και από αυτόν τον ορισμό συνάχθηκε το μόνο που εγγυάται η εγκυρότητα: αν οι υποθέσεις είναι αληθείς, το συμπέρασμα είναι αληθές· από όπου ένα έγκυρο επιχείρημα με ψευδές συμπέρασμα έχει κάποια ψευδή υπόθεση, και μια μορφή είναι άκυρη ακριβώς όταν έχει αντιπαράδειγμα. Το ίδιο αποτέλεσμα μετέτρεψε την ανάλυση των παραδόξων σε διαδικασία: αν τα βήματα ενός συλλογισμού που καταλήγει σε αντίφαση είναι έγκυρα, κάποια παραδοχή είναι ψευδής, και η λύση του παραδόξου είναι να βρεθεί ποια. Έτσι αντιμετωπίστηκε ο ψεύτης, στον οποίο η διτιμία και το σχήμα της αλήθειας δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα για μια πρόταση που δηλώνει τον εαυτό της ψευδή, και έτσι αντιμετωπίστηκαν το παράδοξο του Μπέρι και το επίθετο «ετερολογικός». Από τον κουρέα εξήχθη ένα γενικό λήμμα, το διαγώνιο λήμμα, που αποδεικνύει ότι ο κουρέας δεν υπάρχει και ότι η απεριόριστη αρχή της περιγραφής είναι αντιφατική. Τέλος, το μάθημα καθιέρωσε τη διάκριση ανάμεσα στη γλώσσα-αντικείμενο και στη μεταγλώσσα, και ανάμεσα στη χρήση μιας έκφρασης και στην αναφορά της, που διέπει όλα όσα ακολουθούν: τα αποτελέσματα της ενότητας για τους τύπους δεν είναι τύποι, αλλά μεταθεωρήματα.

Η γλώσσα των κύκλων και των δίσκων

Το μάθημα για τη γλώσσα της προτασιακής λογικής εισήγαγε τα σύνολα και τις συμβολοσειρές, μέτρησε τις συμβολοσειρές κάθε μήκους (υπάρχουν 2n2^{n} μήκους nn, και 2N+1−22^{N + 1} - 2 μηκών από 11 έως NN) και κατασκεύασε τη βασική γλώσσα: τις μεταβλητές vn=∘n∙v_n = \sigO^{n}\sigI και έναν μόνο κανόνα, που από δύο τύπους φ\varphi και ψ\psi σχηματίζει τον ∙φψ\sigI\varphi\psi. Ο όρος «τίποτε άλλο δεν είναι τύπος» έγινε ακριβής με τον ορισμό των τύπων ως των συμβολοσειρών που ανήκουν σε όλα τα κλειστά σύνολα, και από αυτόν τον ορισμό συνάχθηκε η αρχή της κλειστότητας, με την οποία αποδείχθηκε ότι κάθε τύπος είναι μεταβλητή ή είναι ∙φψ\sigI\varphi\psi, και όχι και τα δύο, ότι κάθε τύπος τελειώνει σε δίσκο και ότι περιέχει περιττό πλήθος δίσκων. Η παρατήρηση ότι οι μεταβλητές και ο μεμονωμένος δίσκος σχηματίζουν προθεματικό κώδικα έδωσε τη μοναδική ανάλυση σε λέξεις, και μαζί της την έννοια του βάρους. Το μάθημα κατασκεύασε επίσης τη μεταγλώσσα με την οποία εργαζόμαστε στο εξής: τις μεταμεταβλητές, την κοινή άρνηση γραμμένη ως (φ↓ψ)(\varphi \downarrow \psi) και τις έξι επίσημες συντομογραφίες, καθεμιά ορισμένη μία μόνο φορά από τις προηγούμενες, ώστε κάθε συντομογραφημένη έκφραση να δηλώνει μία μόνο συμβολοσειρά.

Επαγωγή και μονοσήμαντη ανάγνωση

Το μάθημα για την επαγωγή στους φυσικούς αριθμούς και στους τύπους θεμελίωσε τις απαριθμήσεις που το προηγούμενο μάθημα είχε κάνει «και ούτω καθεξής», συνήγαγε την ισχυρή επαγωγή από την απλή και, εφαρμόζοντάς την στο μήκος, έλαβε τη δομική επαγωγή, που αποδεικνύεται ότι είναι η ίδια επαγωγή στους φυσικούς αριθμούς μεταφερμένη στους τύπους. Με αυτό το εργαλείο απέδειξε το λήμμα του βάρους: κάθε τύπος ζυγίζει +1+1, και κάθε γνήσιο και μη κενό πρόθεμα κατά λέξεις ζυγίζει το πολύ 00. Από αυτό έπεται, με αυτή τη σειρά, ότι κανένας τύπος δεν είναι γνήσιο πρόθεμα άλλου και ότι κάθε σύνθετος τύπος διαβάζεται με έναν μοναδικό τρόπο. Η μονοσήμαντη ανάγνωση είναι ο κρίκος από τον οποίο κρέμεται η υπόλοιπη ενότητα: θεμελιώνει τη διαδικασία απόφασης, που το μάθημα για τη γλώσσα είχε περιγράψει ως ένα χρέος που εξοφλείται, και νομιμοποιεί τους ορισμούς με αναδρομή (το μήκος, το πλήθος των μεταβλητών και των συνδετικών δίσκων, τους υποτύπους, το βάθος και την υποκατάσταση), που χωρίς αυτήν θα μπορούσαν να αποδώσουν σε έναν τύπο δύο διαφορετικές τιμές.

Από τα ελληνικά στους τύπους

Το μάθημα για την τυποποίηση της φυσικής γλώσσας έστησε τη γέφυρα προς τη γλώσσα που μιλάμε. Καθόρισε τη σύμβαση των γραμμάτων pp, qq, rr, ss και tt ως ονομάτων πέντε ορισμένων μεταβλητών, απαίτησε κάθε τυποποίηση να δηλώνει το λεξικό της και συνήγαγε, μόνο από την ανάγνωση της κοινής άρνησης που ορίστηκε με σύμβαση, την ανάγνωση κάθε συντομογραφίας. Με τη μονοσήμαντη ανάγνωση απέδειξε ότι δύο διαφορετικές ομαδοποιήσεις των ίδιων συνδέσμων είναι διαφορετικοί τύποι, και με τον αναδρομικό ορισμό του μήκους υπολόγισε πόσο μετρούν οι αναπτυγμένες συντομογραφίες, πράγμα που δίνει ένα γρήγορο κριτήριο για να διακρίνουμε τυποποιήσεις. Έδειξε ότι η υλική συνεπαγωγή είναι ψευδής μόνο όταν το ηγούμενο είναι αληθές και το επόμενο ψευδές, και ότι αυτή είναι η μόνη ανάγνωση, εξαρτημένη μόνο από την αλήθεια των μερών, που κάνει αληθή τα υποθετικά θεωρήματα των μαθηματικών· επεσήμανε όσα χάνει η τυποποίηση (ποσοδείκτες, χρόνο, αιτιότητα, τροπικότητα) και κατέληξε τυποποιώντας ολόκληρα επιχειρήματα ως ένα σύνολο υποθέσεων Γ\Gamma και ένα συμπέρασμα.

Η εικόνα που ακολουθεί ενώνει τα τέσσερα τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα αποτέλεσμα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους προηγούμενους κρίκους που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές στις οποίες η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται. Ας σημειωθεί ότι η διαδικασία απόφασης, αν και εκτίθεται στο μάθημα για τη γλώσσα, παίρνει τη λογική της θέση μετά τη μονοσήμαντη ανάγνωση, στην οποία στηρίζεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΔιτιμία. Κάθε πρόταση είναι αληθής ή ψευδής, και όχι και τα δύο· το να είναι ψευδής ισοδυναμεί με το να μην είναι αληθής. Γίνεται δεκτή ως ρητή παραδοχή στην ανάλυση των παραδόξων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΣχήμα της αλήθειας. Μια πρόταση είναι αληθής αν και μόνο αν αυτό που λέει ισχύει. Γίνεται δεκτό ως ρητή παραδοχή· η λύση του Τάρσκι το διατηρεί, αλλά μόνο για τις προτάσεις μιας γλώσσας που δεν περιέχει το δικό της κατηγόρημα αλήθειας. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΑρχή της επαγωγής. Αν μια ιδιότητα ισχύει για το 11 και, κάθε φορά που ισχύει για έναν φυσικό kk, ισχύει και για τον k+1k + 1, τότε ισχύει για όλους τους φυσικούς. Είναι το πέμπτο αξίωμα του Πεάνο, και γίνεται δεκτή. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΔιαγώνιο λήμμα. Κανένα αντικείμενο bb μιας συλλογής δεν ικανοποιεί τη σχέση R(b,x)⇔¬R(x,x)R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) για κάθε xx της συλλογής. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 3. Διαγώνιο λήμμα.
  • EΑρχή της κλειστότητας. Μια ιδιότητα που την έχουν όλες οι μεταβλητές και που περνά από τους φ\varphi και ψ\psi στον ∙φψ\sigI\varphi\psi την έχουν όλοι οι τύποι. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 5. Αρχή της κλειστότητας.
  • FΔομική επαγωγή. Η επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων, που συνάγεται από την ισχυρή επαγωγή στο μήκος: βάση της είναι οι μεταβλητές και επαγωγικό της βήμα ο μοναδικός κανόνας σχηματισμού. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 9. Δομική επαγωγή.
  • GΜονοσήμαντη ανάγνωση. Αν ∙φψ=∙φ′ψ′\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi', και οι τέσσερις συμβολοσειρές είναι τύποι, τότε φ=φ′\varphi = \varphi' και ψ=ψ′\psi = \psi'. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 11. Μονοσήμαντη ανάγνωση.
  • HΑνάγνωση της κοινής άρνησης. Ο τύπος (φ↓ψ)(\varphi \downarrow \psi) είναι αληθής ακριβώς όταν οι φ\varphi και ψ\psi είναι και οι δύο ψευδείς. Είναι η μόνη ανάγνωση που ορίζεται με σύμβαση· οι άλλες συνάγονται από αυτήν, και η ενότητα της σημασιολογίας θα την κάνει ακριβή. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.

  1. Τμήμα 1 Ο συλλογισμός και ο λόγος για τη γλώσσα

    • Να διακρίνεται η εγκυρότητα από την αλήθεια και να ανασκευάζεται μια άκυρη μορφή με ένα αντιπαράδειγμα.
    • Να αναγνωρίζονται οι αμφισημίες της φυσικής γλώσσας και να χωρίζονται οι αναγνώσεις μιας απόφανσης.
    • Να διακρίνεται η γλώσσα-αντικείμενο από τη μεταγλώσσα, και η χρήση μιας έκφρασης από την αναφορά της.
    • Να αναλύεται ένα παράδοξο απομονώνοντας τις παραδοχές του και αποφασίζοντας ποια πρέπει να εγκαταλειφθεί.

    1. Τι εγγυάται η εγκυρότητα. Αν ένα επιχείρημα είναι έγκυρο και όλες οι υποθέσεις του είναι αληθείς, το συμπέρασμά του είναι αληθές· από όπου ένα έγκυρο επιχείρημα με ψευδές συμπέρασμα έχει κάποια ψευδή υπόθεση, και μια μορφή είναι άκυρη ακριβώς όταν έχει αντιπαράδειγμα.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τι είναι η μαθηματική λογική.

    2. Το παράδοξο του ψεύτη. Εφαρμοσμένες στην πρόταση mm, «η πρόταση mm είναι ψευδής», η διτιμία και το σχήμα της αλήθειας δίνουν V(m)⇔¬V(m)V(m) \Leftrightarrow \neg V(m)· για μια γλώσσα που περιέχει την mm, μία από τις δύο παραδοχές πρέπει να εγκαταλειφθεί, και η διέξοδος του Τάρσκι είναι να μην περιέχει καμία γλώσσα το δικό της κατηγόρημα αλήθειας, ώστε η mm να μην μπορεί να σχηματιστεί.

      Χρησιμοποιεί: 1. Τι εγγυάται η εγκυρότητα. Στηρίζεται σε: A (Διτιμία), B (Σχήμα της αλήθειας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τι είναι η μαθηματική λογική.

    3. Διαγώνιο λήμμα. Αν RR είναι μια σχέση ανάμεσα στα αντικείμενα μιας συλλογής DD, τέτοια ώστε κάθε R(x,y)R(x, y) να είναι αληθής ή ψευδής, κανένα bb του DD δεν ικανοποιεί τη σχέση R(b,x)⇔¬R(x,x)R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) για κάθε xx του DD.

      Στηρίζεται σε: A (Διτιμία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τι είναι η μαθηματική λογική.

    4. Ο κουρέας και ο Ράσελ. Δεν υπάρχει άνδρας του χωριού που να ξυρίζει ακριβώς τους άνδρες του χωριού που δεν ξυρίζονται μόνοι τους· και η απεριόριστη αρχή της περιγραφής είναι αντιφατική, γιατί βεβαιώνει την ύπαρξη του συνόλου Z={x:x∉x}Z = \{ x : x \notin x \}.

      Στηρίζεται σε: D (Διαγώνιο λήμμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τι είναι η μαθηματική λογική.

  2. Τμήμα 2 Η γλώσσα των κύκλων και των δίσκων

    • Να περιγράφονται σύνολα συμβολοσειρών και να μετρώνται οι συμβολοσειρές κάθε μήκους.
    • Να ορίζονται οι τύποι ως το μικρότερο κλειστό σύνολο και να συνάγεται από αυτό η αρχή της κλειστότητας.
    • Να αποδεικνύονται ιδιότητες όλων των τύπων και να χρησιμοποιούνται για να απορρίπτονται συμβολοσειρές.
    • Να αναλύεται μια συμβολοσειρά σε λέξεις και να αναπτύσσονται οι συντομογραφίες έως τη βασική γλώσσα.

    1. Αρχή της κλειστότητας. Το σύνολο F\mathcal{F} των τύπων είναι το μικρότερο σύνολο συμβολοσειρών που περιέχει τις μεταβλητές vn=∘n∙v_n = \sigO^{n}\sigI και που, μαζί με τους φ\varphi και ψ\psi, περιέχει τον ∙φψ\sigI\varphi\psi· επομένως, μια ιδιότητα που την έχουν οι μεταβλητές και που περνά από τους φ\varphi και ψ\psi στον ∙φψ\sigI\varphi\psi την έχουν όλοι οι τύποι.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η γλώσσα της προτασιακής λογικής.

    2. Μορφή των τύπων. Κάθε τύπος είναι μεταβλητή ή είναι ∙φψ\sigI\varphi\psi με τους φ\varphi και ψ\psi τύπους, και όχι και τα δύο: κάθε μεταβλητή αρχίζει με ∘\sigO, και κάθε σύνθετος τύπος με ∙\sigI.

      Στηρίζεται σε: E (Αρχή της κλειστότητας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η γλώσσα της προτασιακής λογικής.

    3. Τελευταίο σύμβολο και πλήθος δίσκων. Κάθε τύπος τελειώνει σε δίσκο και περιέχει περιττό πλήθος δίσκων· από όπου ούτε η παράθεση δύο τύπων ούτε η συμβολοσειρά ∙φ\sigI\varphi είναι τύποι.

      Στηρίζεται σε: E (Αρχή της κλειστότητας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η γλώσσα της προτασιακής λογικής.

    4. Ανάλυση σε λέξεις. Κάθε συμβολοσειρά που τελειώνει σε δίσκο αναλύεται με έναν μοναδικό τρόπο σε λέξεις, δηλαδή σε μεταβλητές ∘n∙\sigO^{n}\sigI και μεμονωμένους δίσκους, γιατί κάθε λέξη τελειώνει στον μοναδικό της δίσκο και καμία δεν είναι γνήσιο πρόθεμα άλλης.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η γλώσσα της προτασιακής λογικής.

  3. Τμήμα 3 Επαγωγή και μονοσήμαντη ανάγνωση

    • Να αποδεικνύεται με απλή και με ισχυρή επαγωγή, και να συνάγεται από αυτές η επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων.
    • Να αποδεικνύεται το λήμμα του βάρους και να συνάγεται η μονοσήμαντη ανάγνωση.
    • Να αποφασίζεται αν μια συμβολοσειρά είναι τύπος και να ανασυντίθεται ο σχηματισμός της.
    • Να ορίζονται συναρτήσεις πάνω στους τύπους με αναδρομή και να αποδεικνύονται σχέσεις ανάμεσά τους.

    1. Δομική επαγωγή. Η ισχυρή επαγωγή συνάγεται από την απλή· εφαρμοσμένη στο μήκος, δίνει την αρχή της επαγωγής στην πολυπλοκότητα: αν οι μεταβλητές έχουν μια ιδιότητα και αυτή περνά από τους φ\varphi και ψ\psi στον ∙φψ\sigI\varphi\psi, την έχουν όλοι οι τύποι.

      Χρησιμοποιεί: 6. Μορφή των τύπων. Στηρίζεται σε: C (Αρχή της επαγωγής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επαγωγή στους φυσικούς αριθμούς και στους τύπους.

    2. Λήμμα του βάρους. Αν κάθε εμφάνιση μεταβλητής ζυγίζει +1+1 και κάθε συνδετικός δίσκος −1-1, κάθε τύπος ζυγίζει +1+1 και κάθε γνήσιο και μη κενό πρόθεμα κατά λέξεις ενός τύπου ζυγίζει το πολύ 00· ειδικότερα, κάθε τύπος έχει μία εμφάνιση μεταβλητής περισσότερη από τους συνδετικούς δίσκους.

      Χρησιμοποιεί: 8. Ανάλυση σε λέξεις. Στηρίζεται σε: F (Δομική επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επαγωγή στους φυσικούς αριθμούς και στους τύπους.

    3. Μονοσήμαντη ανάγνωση. Κανένας τύπος δεν είναι γνήσιο πρόθεμα άλλου· από όπου, αν ∙φψ=∙φ′ψ′\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi' και οι τέσσερις συμβολοσειρές είναι τύποι, τότε φ=φ′\varphi = \varphi' και ψ=ψ′\psi = \psi'.

      Χρησιμοποιεί: 7. Τελευταίο σύμβολο και πλήθος δίσκων, 8. Ανάλυση σε λέξεις, 10. Λήμμα του βάρους. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επαγωγή στους φυσικούς αριθμούς και στους τύπους.

    4. Διαδικασία απόφασης. Μια συμβολοσειρά που τελειώνει σε ∘\sigO δεν είναι τύπος· αν τελειώνει σε ∙\sigI, αναλύεται σε λέξεις. Αν η πρώτη λέξη είναι μεταβλητή, η συμβολοσειρά είναι τύπος ακριβώς όταν αυτή η μεταβλητή είναι η μοναδική της λέξη. Αν είναι δίσκος, κρατείται μετά από αυτόν ο λογαριασμός του χρέους: αν το χρέος δεν μηδενιστεί ποτέ, η συμβολοσειρά δεν είναι τύπος· αν μηδενιστεί, η τομή ανάμεσα στον φ\varphi και στον ψ\psi βρίσκεται εκεί όπου μηδενίζεται για πρώτη φορά, και κάθε κομμάτι εξετάζεται με τον ίδιο τρόπο, με δεδομένο ότι η κενή συμβολοσειρά δεν είναι τύπος.

      Χρησιμοποιεί: 6. Μορφή των τύπων, 7. Τελευταίο σύμβολο και πλήθος δίσκων, 8. Ανάλυση σε λέξεις. Στηρίζεται σε: G (Μονοσήμαντη ανάγνωση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η γλώσσα της προτασιακής λογικής.

    5. Ορισμός με αναδρομή. Αν δίνονται μια τιμή για κάθε μεταβλητή και ένας κανόνας που υπολογίζει την τιμή του ∙φψ\sigI\varphi\psi από τον φ\varphi, από τον ψ\psi και από τις τιμές τους, υπάρχει ακριβώς μία συνάρτηση πάνω στους τύπους που τα σέβεται· έτσι ορίζονται το μήκος, οι υποτύποι, το βάθος και η υποκατάσταση, που δίνει πάντα τύπους.

      Χρησιμοποιεί: 6. Μορφή των τύπων. Στηρίζεται σε: C (Αρχή της επαγωγής), F (Δομική επαγωγή), G (Μονοσήμαντη ανάγνωση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επαγωγή στους φυσικούς αριθμούς και στους τύπους.

  4. Τμήμα 4 Από τα ελληνικά στους τύπους

    • Να τυποποιούνται αποφάνσεις με ρητό λεξικό, αποφασίζοντας την εμβέλεια κάθε συνδέσμου.
    • Να αναπτύσσονται συντομογραφίες για να αποφασιστεί αν δύο τυποποιήσεις είναι ο ίδιος τύπος.
    • Να διακρίνεται η υλική συνεπαγωγή από το «αν… τότε» της γλώσσας και να επισημαίνονται όσα χάνει η τυποποίηση.
    • Να τυποποιούνται ολόκληρα επιχειρήματα ως ένα σύνολο υποθέσεων και ένα συμπέρασμα.

    1. Μήκος των συντομογραφιών. Αν L(φ)=aL(\varphi) = a και L(ψ)=bL(\psi) = b, οι συμβολοσειρές των ¬φ\neg\varphi, (φ∨ψ)(\varphi \vee \psi), (φ→ψ)(\varphi \rightarrow \psi) και (φ∧ψ)(\varphi \wedge \psi) μετρούν 2a+12a + 1, 2a+2b+32a + 2b + 3, 4a+2b+54a + 2b + 5 και 8a+8b+158a + 8b + 15· δύο τυποποιήσεις με διαφορετικά μήκη είναι διαφορετικοί τύποι.

      Χρησιμοποιεί: 13. Ορισμός με αναδρομή. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τυποποίηση της φυσικής γλώσσας.

    2. Εμβέλεια και διαφορετικοί τύποι. Οι ομαδοποιήσεις ((p∧q)∨r)((p \wedge q) \vee r) και (p∧(q∨r))(p \wedge (q \vee r)) είναι διαφορετικές συμβολοσειρές: αν συνέπιπταν, η μονοσήμαντη ανάγνωση, εφαρμοσμένη δύο φορές, θα υποχρέωνε τη μεταβλητή rr να συμπίπτει με τον σύνθετο τύπο (p∧q)(p \wedge q).

      Χρησιμοποιεί: 6. Μορφή των τύπων. Στηρίζεται σε: G (Μονοσήμαντη ανάγνωση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τυποποίηση της φυσικής γλώσσας.

    3. Υλική συνεπαγωγή. Η συνεπαγωγή (φ→ψ)(\varphi \rightarrow \psi), που είναι συντομογραφία του (¬φ∨ψ)(\neg\varphi \vee \psi), είναι ψευδής μόνο όταν ο φ\varphi είναι αληθής και ο ψ\psi ψευδής· είναι η μόνη ανάγνωση, εξαρτημένη μόνο από την αλήθεια των μερών, που κάνει αληθή τα υποθετικά θεωρήματα των μαθηματικών.

      Στηρίζεται σε: H (Ανάγνωση της κοινής άρνησης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τυποποίηση της φυσικής γλώσσας.

Προς την παραγωγή. Η αλυσίδα σταματά εκεί όπου η γλώσσα έχει κατασκευαστεί και τα επιχειρήματα έχουν τυποποιηθεί ως ένα σύνολο υποθέσεων και ένα συμπέρασμα. Μένει να αποφασιστεί πότε ένας τύπος έπεται από άλλους: πρώτα χειριζόμενοι σύμβολα με κανόνες, στην επόμενη ενότητα, και έπειτα λαμβάνοντας υπόψη την αλήθεια τους.