स्थानीय मान पर आधारित संख्यांकन पद्धतियाँ

स्थानीय मान पद्धति

$2025$ लिखते समय चार अंकों को जोड़ा नहीं जाता, बल्कि प्रत्येक अंक को $10$ की उस घात से गुणा किया जाता है जो उसके स्थान पर निर्भर करती है: पहला $2$ दो हज़ारों का मान रखता है; दूसरा, दो दहाइयों का। अंक $0$ बताता है कि कोई सैकड़ा नहीं है और, अपना स्थान घेरकर, बाकी अंकों को उनके उचित स्थान पर बनाए रखता है।

यह सिद्धांत, जिसे स्थानीय मान पद्धति कहते हैं, संख्या $10$ पर निर्भर नहीं करता। यदि $b \geq 2$ एक प्राकृत संख्या है, जिसे आधार कहते हैं, तो आधार $b$ में अंक संख्याएँ $0, 1, \ldots, b - 1$ हैं, और अंकों का एक अनुक्रम $a_k, a_{k-1}, \ldots, a_1, a_0$, जहाँ $a_k \neq 0$, इस संख्या को निरूपित करता है

अंक एक के बाद एक, बाएँ से दाएँ लिखे जाते हैं, और आधार को पादांक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए, $3412_5$ वह संख्या है जो आधार $5$ में अंकों $3$, $4$, $1$ और $2$ से लिखी जाती है, और इसे “$3412$ आधार $5$ में” पढ़ा जाता है। कहा जाता है कि $a_i$ स्थान $i$ पर है, जो दाईं ओर से $0$ से आरंभ करके गिना जाता है। पादांक के बिना, संख्या आधार $10$ में लिखी होती है। आधार $2$ में केवल दो अंक होते हैं, $0$ और $1$, जिन्हें बिट कहते हैं; आधार $16$ में सोलह अंकों की आवश्यकता होती है, और सामान्य दस अंकों में अक्षर A, B, C, D, E और F जोड़े जाते हैं, जिनके मान $10$, $11$, $12$, $13$, $14$ और $15$ हैं।

अब, आधार $b$ में लिखी गई संख्या का मान $b$ को बार-बार उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालकर निकाला जा सकता है, जिससे घातों की गणना से बचा जाता है: यह हॉर्नर नियम है।