सर्वांगसमताएँ और मॉड्यूलर अंकगणित

सर्वांगसमता का संबंध

यदि आज सोमवार है, तो $15$ दिन बाद मंगलवार होगा, और $1000$ दिन बाद रविवार: यह जानने के लिए दिनों को एक-एक करके गिनने की आवश्यकता नहीं, क्योंकि दिनों की संख्या को $7$ से भाग देने पर मिलने वाला शेषफल पर्याप्त है। इसी प्रकार, $5$ घंटे जोड़ने पर $9$ बजे से $2$ बज जाते हैं, यदि घड़ी $12$ घंटों वाली हो, और किसी गुणनफल का अंतिम अंक केवल गुणनखंडों के अंतिम अंकों पर निर्भर करता है। तीनों स्थितियों में शेषफलों से गणना की जाती है और भागफल को भुला दिया जाता है। विभाज्यता और शेषफल सहित विभाजन पर पाठ ने पूर्णांकों को वर्गों में बाँटा, उस शेषफल के अनुसार जो वे किसी प्राकृत संख्या से भाग देने पर छोड़ते हैं, और सिद्ध किया कि किसी योगफल, गुणनफल और घात का शेषफल केवल दी गई संख्याओं के शेषफलों पर निर्भर करता है। यह पाठ इन अवलोकनों को उनकी अपनी भाषा देता है, सर्वांगसमताओं की भाषा, जिसे गाउस ने 1801 में अपनी Disquisitiones Arithmeticae में प्रस्तुत किया था, और उसे गणना के एक उपकरण में बदल देता है। उस पाठ की तरह, पूर्णांकों का उपयोग पहले से ही किया जाता है, उनके अंकगणित और उनके क्रम के उन नियमों सहित जिनकी नींव पूर्णांकों पर पाठ में रखी जाती है।

परिभाषा (सर्वांगसमता)। मान लीजिए $n$ एक प्राकृत संख्या है। दो पूर्णांक $a$ और $b$ मापांक $n$ के सापेक्ष सर्वांगसम हैं यदि $n$ उनके अंतर $a - b$ को विभाजित करता है। इसे $a \equiv b \pmod{n}$ लिखा जाता है और “$a$, $b$ के मापांक $n$ के सापेक्ष सर्वांगसम है” पढ़ा जाता है; प्राकृत संख्या $n$ सर्वांगसमता का मापांक कहलाती है।

इस प्रकार, $17 \equiv 2 \pmod{5}$, क्योंकि $17 - 2 = 15$; $-3 \equiv 9 \pmod{4}$, क्योंकि $-3 - 9 = -12$; और एक पूर्णांक ठीक तब सम होता है जब वह $0$ के मापांक $2$ के सापेक्ष सर्वांगसम हो। यह कि $a$, $n$ का गुणज है, अब $a \equiv 0 \pmod{n}$ लिखा जाता है। मापांक $1$ के साथ सभी पूर्णांक आपस में सर्वांगसम होते हैं, क्योंकि $1$ प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित करता है; यह स्थिति रोचक नहीं है, और उदाहरणों में मापांक कम से कम $2$ होगा। तीन रेखाओं वाला चिह्न $\equiv$ समानता के चिह्न की याद दिलाता है क्योंकि, जैसा आगे देखा जाएगा, सर्वांगसमता लगभग हर बात में समानता की तरह व्यवहार करती है; इसका अपवाद, अर्थात् विभाजन, व्युत्क्रमों वाले भाग का विषय होगा।

अंतर वाली परिभाषा सिद्ध करने के लिए सबसे सुविधाजनक है, परंतु आरंभिक उदाहरणों का अंतर्ज्ञान शेषफल का है। आगे की प्रस्थापना सुनिश्चित करती है कि दोनों एक ही बात कहती हैं; इसकी विषय-वस्तु विभाज्यता वाले पाठ में, विभाज्यता की कसौटियों की नींव रखते समय, एक अन्य रूप में पहले ही देखी जा चुकी है, और यहाँ उसे सभी चरणों सहित सिद्ध किया जाता है।

विशेष रूप से, प्रत्येक पूर्णांक मापांक $n$ के सापेक्ष अपने शेषफल के सर्वांगसम होता है, जो $n$ पूर्णांकों $0, 1, \ldots, n - 1$ में से एक है, और उनमें से केवल एक के, क्योंकि उन पूर्णांकों में से कोई भी दो स्वयं अपने शेषफल हैं और, यदि वे अलग हैं, तो अलग शेषफल छोड़ते हैं। मापांक $n$ के सापेक्ष गणना करने का अर्थ है प्रत्येक संख्या को उसके स्तंभ के किसी सुविधाजनक प्रतिनिधि से बदलना: शेषफल से, या कभी-कभी किसी छोटी ऋणात्मक संख्या से, जैसे $-1$, $n - 1$ के स्थान पर।