प्रारंभिक संचय-सिद्धांत और न्यूटन का द्विपद प्रमेय

गिनती के सिद्धांत

परिमित समुच्चय के अवयवों को गिनना अंकगणित की सबसे प्रारंभिक संक्रिया है, जब तक समुच्चय को अवयव-दर-अवयव पार किया जा सकता है। किंतु जब अवयव किसी मिश्रित चयन को करने के तरीके हों, जैसे दस पुस्तकों को एक ताक पर क्रम से रखना या तीस व्यक्तियों में से तीन प्रतिनिधि चुनना, तब सूचीबद्ध करना अव्यावहारिक हो जाता है, और संख्या चयन को हिस्सों या अवस्थाओं में बाँटकर प्राप्त की जाती है। समस्त प्रारंभिक संचय-सिद्धांत दो सिद्धांतों पर टिका है, जिन्हें “गिनने” के अर्थ की एक सटीक परिभाषा से सिद्ध किया जाता है।

किसी समुच्चय के अवयवों को गिनना उन्हें क्रमांकित करना है: $1$ से $n$ तक की प्रत्येक संख्या को एक अवयव सौंपना, न किसी को दोहराते हुए और न किसी को छोड़ते हुए। कहा जाता है कि समुच्चय $A$ के $n$ अवयव हैं, जहाँ $n$ प्राकृत है, जब समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ से $A$ पर एक एकैकी संगतता विद्यमान हो, अर्थात एक फलन जो अलग-अलग संख्याओं को अलग-अलग अवयवों पर ले जाता है और $A$ के सभी अवयवों तक पहुँचता है; रिक्त समुच्चय के $0$ अवयव हैं, और कोई समुच्चय परिमित है यदि वह रिक्त हो या उसके $n$ अवयव हों, किसी प्राकृत $n$ के लिए। एकैकी संगतताओं, उनके संघटन और उनके प्रतिलोम का अध्ययन समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ में किया जाता है।

बिना प्रमाण स्वीकृत तथ्य (अवयवों की संख्या)। बिना प्रमाण के यह स्वीकार किया जाता है कि परिमित समुच्चय के अवयवों की संख्या सुपरिभाषित है: कोई समुच्चय एक साथ $m$ अवयवों वाला और $n$ अवयवों वाला नहीं हो सकता यदि $m \neq n$। यह भी स्वीकार किया जाता है कि परिमित समुच्चय का प्रत्येक उपसमुच्चय परिमित है।

दोनों तथ्य $n$ पर आगमन से सिद्ध होते हैं; पहला तथ्य वस्तुतः कपोत-कोटर सिद्धांत है, जिसके अनुसार ऐसा कोई फलन नहीं है जो $n + 1$ संख्याओं को, जो $\{1, \ldots, n + 1\}$ की हैं, $\{1, \ldots, n\}$ की अलग-अलग संख्याओं पर ले जाए। इनके प्रमाण लंबे हैं और ऐसे विचार नहीं देते जो बाद में काम आएँ, इसलिए इन्हें स्वीकार कर लिया जाता है। पहले तथ्य के बिना “अवयवों की संख्या” पद का कोई अर्थ न होता, और कोई क्रमचय-संचय प्रमाण, जो एक ही समुच्चय को दो तरीकों से गिनता है, यह निष्कर्ष न निकाल पाता कि दोनों परिणाम बराबर हैं।

हिस्सों की संख्या पर आगमन से, यह सिद्धांत किसी भी परिमित संख्या के ऐसे समुच्चयों तक विस्तारित होता है जिनमें युग्मशः कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है: $A_1, \ldots, A_r$ का सम्मिलन, जिनके क्रमशः $n_1, \ldots, n_r$ अवयव हैं, $n_1 + \cdots + n_r$ अवयवों वाला है, क्योंकि पहले $r + 1$ समुच्चयों का सम्मिलन पहले $r$ समुच्चयों के सम्मिलन और अंतिम समुच्चय का सम्मिलन है, और अंतिम समुच्चय का उनके साथ कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। इससे दूसरा सिद्धांत निकलता है, जो अवस्थाओं में किए गए चयनों को गिनता है।

इसी प्रकार, अवस्थाओं की संख्या पर आगमन से, गुणन का सिद्धांत किसी भी परिमित संख्या की अवस्थाओं तक विस्तारित होता है: $r$ अवस्थाओं वाला चयन, जिनकी अवस्थाएँ क्रमशः $n_1, n_2, \ldots, n_r$ तरीकों से की जा सकती हैं, $n_1 n_2 \cdots n_r$ तरीकों से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्थानीय मान पर आधारित संख्यांकन पद्धतियों वाले पाठ में अध्ययन की गई दशमलव पद्धति में तीन अंकों वाली $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$ संख्याएँ हैं, क्योंकि पहला अंक $0$ नहीं हो सकता और अन्य दो स्वतंत्र हैं। यह ध्यान देना उचित है कि गुणन का सिद्धांत यह माँगता है कि प्रत्येक अवस्था के विकल्पों की संख्या पहले चुने गए पर निर्भर न करे, भले ही विकल्प स्वयं निर्भर करें; यदि यह शर्त पूरी न हो, तो ऐसी स्थितियाँ अलग की जाती हैं जिनमें वह पूरी होती है, और उनके परिणाम योग के सिद्धांत से जोड़े जाते हैं।

किसी चयन की क्रमिक अवस्थाओं को एक वृक्ष आरेख से दर्शाया जाता है: एक प्रारंभिक बिंदु, अर्थात जड़, से उतनी शाखाएँ निकलती हैं जितने विकल्प पहली अवस्था में हैं; प्रत्येक शाखा के सिरे से उतनी जितने विकल्प दूसरी अवस्था में हैं, और इसी प्रकार आगे। जड़ से किसी अंतिम सिरे, अर्थात पत्ती, तक का प्रत्येक मार्ग एक पूर्ण चयन है, और गुणन का सिद्धांत पत्तियों को बनाए बिना गिन लेता है।