सारणिक: गुणधर्म और क्रेमर नियम

प्रमाण

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   $$\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}$$

   प्रारंभिक ज्यामिति की तरह, यह स्वीकार किया जाता है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक तल भुजा और संगत ऊँचाई का गुणनफल है। हम तल भुजा के रूप में वह भुजा लेते हैं जो $\vec{u}$ को निरूपित करती है, उस रेखा पर जो उस दिशा के साथ मूल बिंदु से होकर जाती है; उसका समीकरण $-u_2 x + u_1 y = 0$ है, जिसे मूल बिंदु और $\vec{u}$ का सिरा संतुष्ट करते हैं। अभिलंब सदिश की प्रमेय से, सदिश $\vec{n}$ उस रेखा पर लंब है, और उसका परिमाण $\vec{u}$ के परिमाण के बराबर है।

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   $$h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}$$

   ऊँचाई $\vec{v}$ के सिरे की उस रेखा से दूरी है। दूरी के सूत्र में हम मूल बिंदु को रेखा का बिंदु लेते हैं, जिससे रेखा से बिंदु तक जाने वाला सदिश स्वयं $\vec{v}$ है।

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   $$\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5$$

   क्षेत्रफल तल भुजा गुणा ऊँचाई है, और $\vec{u}$ का परिमाण $\vec{n}$ के परिमाण से कट जाता है। चित्र में तल भुजा की लंबाई $\sqrt{10}$ है, ऊँचाई $\frac{5}{\sqrt{10}}$, और क्षेत्रफल $5$।

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   $$\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}$$

   चिह्न के लिए हम सदिशों को ध्रुवीय निर्देशांकों में लिखते हैं: $r$ और $s$ उनके परिमाण हैं, और $\alpha$ और $\beta$ वे कोण हैं जो वे भुज-अक्ष के धनात्मक भाग के साथ बनाते हैं, जिससे $\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right)$ और $\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right)$। अंतर की ज्या के सूत्र से, सारणिक $rs$ गुणा उस कोण की ज्या है जो $\vec{u}$ से $\vec{v}$ तक जाता है।

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   $$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}$$

   चूँकि $rs > 0$, सारणिक का चिह्न $\sin(\beta - \alpha)$ का चिह्न है, जो धनात्मक है यदि $\beta - \alpha$, $0^\circ$ और $180^\circ$ के बीच हो ($360^\circ$ के किसी गुणज के अंतर को छोड़कर), अर्थात् यदि $\vec{v}$ तक, $\vec{u}$ से आरंभ करके, आधे चक्कर से कम वामावर्त दिशा में घूमकर पहुँचा जाए, और विपरीत स्थिति में ऋणात्मक है। यह शून्य है यदि और केवल यदि $\beta - \alpha$, $180^\circ$ का गुणज है, अर्थात् यदि सदिश समांतर हैं। चित्र में $\beta - \alpha = 45^\circ$; स्तंभों का परस्पर विनिमय करने पर, जो घूर्णन $\vec{v}$ से $\vec{u}$ तक ले जाता है वह दक्षिणावर्त है, और चिह्न बदल जाता है।