समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन

सारांश

यह पाठ इससे ठीक पहले के तीन पाठों के उपकरणों, अर्थात् अदिश गुणनफल, सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल, को रेखाओं और समतलों के समीकरणों के साथ जोड़कर समष्टि में मापन करता है। यह किसी बिंदु की किसी समुच्चय से दूरी परिभाषित करता है और अभिलंब पर प्रक्षेप करके बिंदु की समतल से दूरी का सूत्र, तथा सदिश गुणनफल से बिंदु की रेखा से दूरी का सूत्र सिद्ध करता है; दोनों में लंब का पाद ही एकमात्र निकटतम बिंदु है। इनसे यह समांतर समतलों के बीच की दूरी और समांतर रेखाओं के बीच की दूरी निकालता है, और सिद्ध करता है कि दो विषमतलीय रेखाओं का एक ही उभयनिष्ठ लंब होता है, जो दो समीकरणों का एक निकाय हल करके मिलता है और जिसकी लंबाई एक अदिश त्रिक गुणनफल को एक परिमाण से भाग देने पर मिलती है। यह दो रेखाओं के बीच, एक रेखा और एक समतल के बीच तथा दो समतलों के बीच के कोण परिभाषित करता और निकालता है, और सिद्ध करता है कि वे प्रारंभिक ज्यामिति के कोणों से मेल खाते हैं; किसी रेखाखंड का लंब समद्विभाजक समतल और किसी बिंदु के, एक समतल के सापेक्ष तथा एक रेखा के सापेक्ष, सममित बिंदु बनाता है; सिद्ध करता है कि किसी समतल बहुभुज के प्रक्षेप का क्षेत्रफल उसके क्षेत्रफल और द्वितल कोण की कोज्या का गुणनफल है, और गोले, उसके समीकरण, समतल के साथ उसके प्रतिच्छेदन तथा उसके स्पर्श तल का अध्ययन करता है। अनुप्रयोग किसी क्रिस्टल के तल और उनके मिलर सूचकांक तथा उपग्रह द्वारा स्थिति निर्धारण हैं; प्रश्न सम चतुष्फलक, तीन बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं, एक सौर पैनल की छाया, किसी गोले के उन स्पर्श तलों जिनमें एक दी हुई रेखा स्थित हो, और ऐसे दो विमानों के बारे में हैं जिनके मार्ग विषमतलीय हैं।

अधिगम उद्देश्य

बिंदु की समतल से और रेखा से दूरी, समांतर समतलों के बीच, समांतर रेखाओं के बीच और विषमतलीय रेखाओं के बीच की दूरी निकालना, प्रत्येक सूत्र सिद्ध करते हुए और वे बिंदु ज्ञात करते हुए जहाँ वह दूरी प्राप्त होती है।
दो विषमतलीय रेखाओं का उभयनिष्ठ लंब ज्ञात करना और सिद्ध करना कि वह अद्वितीय है।
रेखाओं के बीच, एक रेखा और एक समतल के बीच तथा दो समतलों के बीच के कोण निकालना, और सिद्ध करना कि वे उन ज्यामितीय कोणों से मेल खाते हैं जिन्हें वे परिभाषित करते हैं।
किसी रेखाखंड का लंब समद्विभाजक समतल और किसी बिंदु के, एक समतल के सापेक्ष तथा एक रेखा के सापेक्ष, सममित बिंदु बनाना।
सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल से क्षेत्रफल और आयतन निकालना, और किसी समतल बहुभुज के क्षेत्रफल तथा उसके प्रक्षेप के क्षेत्रफल के बीच का संबंध सिद्ध करना और लागू करना।
किसी गोले के समीकरण से उसका केंद्र और त्रिज्या प्राप्त करना, किसी समतल के सापेक्ष उसकी स्थिति तय करना, कटान का वृत्त और स्पर्श तल ज्ञात करना, और इन उपकरणों से क्रिस्टलविज्ञान, सौर ऊर्जा, हवाई नौवहन और उपग्रह द्वारा स्थिति निर्धारण के प्रश्नों का प्रतिरूपण करना।

बिंदु की समतल से और रेखा से दूरी

समतल में सदिश वाले पाठ ने समतल में किसी बिंदु की रेखा से दूरी अभिलंब सदिश पर प्रक्षेप करके प्राप्त की थी। समष्टि में, समष्टि में रेखाएँ और समतल वाले पाठ ने उस समतल को, जो $P_0$ से होकर जाता है और जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = \left( a, b, c \right)$ शून्येतर है, उन बिंदुओं $X$ के समुच्चय के रूप में लिखा जिनके लिए $\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0$ , अर्थात् एक समीकरण $ax + by + cz = d$ से, और उस रेखा को, जो $A$ से होकर जाती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{u}$ है, बिंदुओं $A + t \vec{u}$ के समुच्चय के रूप में, जहाँ $t$ वास्तविक है। यदि ऐसा है, तो समतल ज्यामिति वाला विचार समष्टि के समतलों के लिए बिना बदलाव के लागू होता है; परंतु रेखाओं के लिए अभिलंब अब एक ही दिशा नहीं रहता, और सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल वाले पाठ का सदिश गुणनफल उसका स्थान लेता है। समष्टि की यूक्लिडीय ज्यामिति के जिन तथ्यों का उपयोग होता है, वे वही हैं जो समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल वाले पाठ में स्वीकार किए गए थे।

मान लीजिए $F$ समष्टि के बिंदुओं का एक अरिक्त समुच्चय है और $P$ एक बिंदु है। यदि $P$ की $F$ के बिंदुओं से दूरियों में कोई एक ऐसी है जो बाकी सभी से छोटी या उनके बराबर है, तो वह संख्या $P$ की $F$ से दूरी कहलाती है, और उसे $\operatorname{d}(P, F)$ लिखा जाता है। इसी प्रकार, यदि किसी समुच्चय $F$ के बिंदुओं की किसी दूसरे समुच्चय $G$ के बिंदुओं से दूरियों में कोई एक सभी से छोटी या उनके बराबर है, तो वह संख्या $F$ और $G$ के बीच की दूरी, $\operatorname{d}(F, G)$ , है।

परिभाषा यह सुनिश्चित नहीं करती कि दूरी का अस्तित्व है: अनंत दूरियों में कोई सबसे छोटी न भी हो। इसलिए आगे की प्रमेयें केवल सूत्र नहीं देतीं; वे सिद्ध करती हैं कि एक निकटतम बिंदु होता है, और वह अद्वितीय है।

प्रमेयबिंदु की समतल से दूरी

मान लीजिए $\pi$ समतल $ax + by + cz = d$ है, जहाँ $\vec{n} = \left( a, b, c \right)$ शून्येतर है, और मान लीजिए $P = (x_0, y_0, z_0)$ । बिंदु $H = P - \lambda \vec{n}$ , जहाँ $\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}$ , $\pi$ पर स्थित है, $\vec{HP}$ , $\pi$ पर लंब है, और $H$ , $\pi$ का वह एकमात्र बिंदु है जो $P$ के सबसे निकट है। फलतः:

\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

समतल ज्यामिति की तरह, समतल के किसी भी बिंदु से $P$ तक जाने वाले सदिश का अभिलंब पर प्रक्षेप किया जाता है; न्यूनतमता पाइथागोरस प्रमेय है। आकृति समतल $2x + y + 2z = 4$ और बिंदु $P = (2, 3, 3)$ का उपयोग करती है।

प्रमाण

$\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}$
हम एक बिंदु $Q = (q_1, q_2, q_3)$ चुनते हैं, जो $\pi$ पर हो, और समष्टि में सदिशों वाले पाठ की लांबिक प्रक्षेप की प्रमेय से $\vec{QP}$ का $\vec{n}$ पर प्रक्षेप करते हैं। आकृति में $Q = (2, 0, 0)$ ।
$\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}$
चूँकि $Q$ , $\pi$ पर है, $a q_1 + b q_2 + c q_3 = d$ , और अंश में आया अदिश गुणनफल समीकरण के बाएँ पक्ष का वह मान है जो $P$ पर निकलता है, घटा $d$ ।
$\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}$
अतः $\vec{p} = \lambda \vec{n}$ और $H = P - \vec{p}$ । सदिश $\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p}$ प्रक्षेप का लांबिक घटक है, जो $\vec{n}$ पर लंब है; समतल के अभिलंब सदिश रूप समीकरण से, $H$ , $\pi$ पर स्थित है।
${\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2$
मान लीजिए $X$ , $\pi$ का कोई भी बिंदु है। शाल संबंध से, $\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}$ ; पहला पद $\vec{n}$ का गुणज है और दूसरा $\pi$ के दो बिंदुओं को जोड़ता है, इसलिए वे लांबिक हैं, और पाइथागोरस समता लागू होती है।
$\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
समता केवल तब होती है जब $\vec{HX} = \vec{0}$ , अर्थात् जब $X = H$ : लंब का पाद एकमात्र निकटतम बिंदु है, और दूरी प्रक्षेप का परिमाण है।
$\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3$
आकृति में $\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right)$ , $\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9$ और $\norma{\vec{n}} = 3$ , इसलिए $\lambda = 1$ , पाद $H = (0, 2, 1)$ है और दूरी $3$ है।

संख्या $a x_0 + b y_0 + c z_0 - d$ के चिह्न का भी, जिसे सूत्र निरपेक्ष मान से छिपा देता है, अर्थ है। चूँकि $P = H + \lambda \vec{n}$ , यह धनात्मक है जब $P$ तक समतल से $\vec{n}$ के अभिविन्यास में चलकर पहुँचा जाता है, और ऋणात्मक जब विपरीत अभिविन्यास में चलकर पहुँचा जाता है। जिन बिंदुओं के लिए $ax + by + cz > d$ है, वे समतल द्वारा निर्धारित दो अर्धसमष्टियों में से एक बनाते हैं, और जिनके लिए $ax + by + cz < d$ है, वे दूसरी बनाते हैं; दो बिंदु समतल के एक ही ओर हैं यदि और केवल यदि व्यंजक का दोनों पर एक ही चिह्न हो। इस प्रकार, मूल बिंदु और बिंदु $(2, 3, 3)$ समतल $2x + y + 2z = 4$ के विपरीत ओर हैं, क्योंकि $0 - 4 < 0 < 9$ ।

प्रमेयबिंदु की रेखा से दूरी

मान लीजिए $r$ रेखा $A + t \vec{u}$ है, जहाँ $\vec{u}$ शून्येतर है, और $P$ एक बिंदु है। बिंदु $H = A + t_0 \vec{u}$ , जहाँ $t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}$ , $r$ का वह एकमात्र बिंदु है जो $P$ के सबसे निकट है, $\vec{HP}$ , $\vec{u}$ पर लंब है, और:

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

$\vec{AP}$ को $\vec{u}$ पर उसके प्रक्षेप और उसके लांबिक घटक में वियोजित किया जाता है; इस दूसरे घटक का परिमाण लाग्रांज सर्वसमिका से व्यक्त होता है। आकृति उस रेखा का, जो $A = (0, 0, 1)$ से होकर जाती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right)$ है, और बिंदु $P = (3, 3, 1)$ का उपयोग करती है।

प्रमाण

$\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0$
लांबिक प्रक्षेप की प्रमेय से, $\vec{AP}$ उसके प्रक्षेप $t_0 \vec{u}$ का, जो $\vec{u}$ पर है, और एक सदिश $\vec{w}$ का, जो $\vec{u}$ के लांबिक है, योग है। बिंदु $H = A + t_0 \vec{u}$ , $r$ पर है और $\vec{HP} = \vec{w}$ ।
$\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2$
किसी भी बिंदु $X = A + t \vec{u}$ के लिए, जो $r$ पर हो, सदिश $\vec{XP}$ , $\vec{w}$ और $\vec{u}$ के एक गुणज का योग है; दोनों पद लांबिक हैं और पाइथागोरस समता लागू होती है।
${\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}$
समता केवल तब होती है जब $t = t_0$ : $H$ एकमात्र निकटतम बिंदु है और दूरी $\vec{w}$ का परिमाण है, जिसका वर्ग प्रक्षेप की पाइथागोरस समता देती है।
${\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$
सदिश गुणनफल वाले पाठ की लाग्रांज सर्वसमिका से, अंश $\vec{AP} \times \vec{u}$ के परिमाण का वर्ग है; वर्गमूल लिया जाता है।
$\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3$
आकृति में $\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right)$ और $\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9$ , इसलिए $t_0 = 1$ , $H = (1, 2, 3)$ और $\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right)$ , जिसका परिमाण $3$ है। सदिश गुणनफल भी यही देता है।

सूत्र की एक सीधी ज्यामितीय व्याख्या है: $\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}$ उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाएँ $\vec{AP}$ और $\vec{u}$ हैं, और $\norma{\vec{u}}$ रेखा पर स्थित उसकी भूमि की लंबाई है; भागफल ऊँचाई है, जो अभीष्ट दूरी है। जब केवल दूरी चाहिए, तब सदिश गुणनफल लंब के पाद की गणना से बचा देता है।

इस पाठ के शेष भाग में

समांतर समतलों के बीच और समांतर रेखाओं के बीच की दूरी
दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की दूरी
रेखाओं और समतलों के बीच के कोण
लंब समद्विभाजक समतल और सममित बिंदु
क्षेत्रफल और आयतन
गोला
अनुप्रयोग
दो पाइपलाइनों के बीच का अंतराल
क्रिस्टल के समतल और मिलर सूचकांक
उपग्रहों द्वारा स्थिति-निर्धारण
हल किए गए प्रश्न
एक सम चतुष्फलक के सम्मुख किनारे
तीन बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु
एक सौर पैनल की छाया
एक रेखा को समाहित करने वाले स्पर्श तल
दो हवाई जहाज़ जिनके मार्ग विषमतलीय हैं
अभ्यास प्रश्न
चार ढलानों वाली छत
समद्विभाजक समतल
एक प्रकाश किरण और एक समतल दर्पण
एक चतुष्फलक का अंतःगोला
दो सम्मुख किनारों के पदों में आयतन

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