समष्टि की विश्लेषिक ज्यामिति: सारांश और चुनौतियाँ

1. खंड 1 निर्देशांक और अदिश गुणनफल

   • समष्टि में बिंदुओं को स्थित करना और दूरियाँ परिकलित करना, सूत्र को पाइथागोरस प्रमेय से उचित ठहराते हुए।
   • समष्टि के सदिशों के साथ संक्रियाएँ करना और उनसे समांतर चतुर्भुजों और समांतर षट्फलकों के गुण सिद्ध करना।
   • कॉशी-श्वार्ज़ असमिका और त्रिभुज असमिका सिद्ध करना, और उनसे दो सदिशों के बीच का कोण परिभाषित करना।
   • लांबिक प्रक्षेप और दिक् कोज्याएँ परिकलित करना, और लंबाइयों तथा कोणों को सुरक्षित रखने वाले आव्यूहों को पहचानना।

   1. दो बिंदुओं के बीच की दूरी. $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}$ है, जो पहले एक क्षैतिज समतल में और फिर एक ऊर्ध्वाधर समतल में लागू की गई पाइथागोरस प्रमेय से मिलती है।

      आधार: A (समष्टि के यूक्लिडीय तथ्य), C (समतल की ज्यामिति). सिद्ध किया गया: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल.

   2. सदिश और मानक आधार. त्रिक एक सदिश समष्टि बनाते हैं, हर सदिश एक ही प्रकार से $\vec{i}$, $\vec{j}$ और $\vec{k}$ का रैखिक संयोजन है, और यदि $\vec{PQ} = \vec{RS}$ और चारों बिंदु संरेख नहीं हैं, तो वे एक समतल में हैं और $PQSR$ एक समांतर चतुर्भुज है, और विलोमतः भी।

      उपयोग करती है: 1. दो बिंदुओं के बीच की दूरी. आधार: A (समष्टि के यूक्लिडीय तथ्य), C (समतल की ज्यामिति). सिद्ध किया गया: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल.

   3. अदिश गुणनफल के गुण. अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय और वितरणशील है, संख्याओं को बाहर निकालने देता है और $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ को संतुष्ट करता है; परिणामस्वरूप ${\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2$।

      उपयोग करती है: 2. सदिश और मानक आधार. आधार: C (समतल की ज्यामिति). सिद्ध किया गया: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल.

   4. कॉशी-श्वार्ज़ और त्रिभुज असमिका. $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ और $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ सत्य हैं, और पहली में समता होती है यदि और केवल यदि एक सदिश दूसरे का गुणज है।

      उपयोग करती है: 3. अदिश गुणनफल के गुण. आधार: C (समतल की ज्यामिति). सिद्ध किया गया: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल.

   5. कोण ज्यामितीय कोण है. संख्या $\theta$, जो $\icc{0}{\pi}$ में है और जिसके लिए $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ है, उस कोण की माप है जो एक ही मूलबिंदु से खींचे गए $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के तीर बनाते हैं; विशेष रूप से, दो शून्येतर सदिश लंब हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य है।

      उपयोग करती है: 1. दो बिंदुओं के बीच की दूरी, 3. अदिश गुणनफल के गुण, 4. कॉशी-श्वार्ज़ और त्रिभुज असमिका. आधार: A (समष्टि के यूक्लिडीय तथ्य), C (समतल की ज्यामिति), D (त्रिकोणमिति). सिद्ध किया गया: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल.

   6. लांबिक प्रक्षेप. यदि $\vec{v} \neq \vec{0}$, तो हर $\vec{u}$ एक ही प्रकार से $\vec{p} + \vec{w}$ है, जहाँ $\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}$ है और $\vec{w}$, $\vec{v}$ पर लांबिक है, और ${\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2$।

      उपयोग करती है: 3. अदिश गुणनफल के गुण, 5. कोण ज्यामितीय कोण है. सिद्ध किया गया: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल.

   7. लांबिक आव्यूह. $\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)$ सत्य है; यदि $A$ के स्तंभ मात्रक और परस्पर लांबिक हैं, तो $A^{\mathsf{T}} A = I$ और $A$ परिमाणों, दूरियों और कोणों को सुरक्षित रखता है।

      उपयोग करती है: 3. अदिश गुणनफल के गुण. आधार: E (आव्यूह और सारणिक). सिद्ध किया गया: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल.

2. खंड 2 सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल

   • सदिश गुणनफल को एक औपचारिक सारणिक से परिभाषित करना और सारणिकों से सिद्ध करना कि वह प्रतिक्रमविनिमेय और द्विरैखिक है, पर साहचर्य नहीं।
   • लंबता, लाग्रांज सर्वसमिका, समांतरता की कसौटी और द्वि सदिश गुणनफल का सूत्र सिद्ध करना।
   • अदिश त्रिक गुणनफल को कोटि तीन के सारणिक से अभिन्न रूप में पहचानना और उसे आयतन तथा समतलीयता की कसौटी के रूप में पढ़ना।
   • सदिश गुणनफल के अभिविन्यास में, जो सिद्ध होता है उसे दक्षिणहस्त निकाय की परिपाटी से और दाहिने हाथ के नियम से अलग करना, जिसे स्वीकार किया जाता है।

   8. बीजगणितीय गुण. सदिश गुणनफल, जिसके घटक कोटि दो के तीन सारणिक हैं, प्रतिक्रमविनिमेय और द्विरैखिक है, $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ को संतुष्ट करता है और साहचर्य नहीं है।

      आधार: E (आव्यूह और सारणिक). सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   9. लंबता. $\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ और $\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ सत्य हैं: सदिश गुणनफल अपने दोनों गुणनखंडों पर लंब है।

      उपयोग करती है: 3. अदिश गुणनफल के गुण, 8. बीजगणितीय गुण. सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   10. लाग्रांज सर्वसमिका. सभी सदिशों के लिए ${\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2$ सत्य है।

       उपयोग करती है: 3. अदिश गुणनफल के गुण, 8. बीजगणितीय गुण. सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   11. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल. परिमाण $\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta$ उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाएँ $\vec{u}$ और $\vec{v}$ हैं, और त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}$ है।

       उपयोग करती है: 5. कोण ज्यामितीय कोण है, 10. लाग्रांज सर्वसमिका. आधार: B (प्रारंभिक क्षेत्रफल और आयतन), D (त्रिकोणमिति), G (लांबिक प्रक्षेप). सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   12. शून्य गुणनफल और समांतरता. $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ सत्य है यदि और केवल यदि दोनों सदिशों में से एक दूसरे का गुणज है।

       उपयोग करती है: 8. बीजगणितीय गुण. सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   13. द्वि सदिश गुणनफल. $\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}$ और जैकोबी सर्वसमिका सत्य हैं।

       उपयोग करती है: 3. अदिश गुणनफल के गुण, 8. बीजगणितीय गुण. सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   14. दो सदिशों पर लंब सदिश. यदि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ न शून्य हैं न समांतर, तो कोई सदिश दोनों पर लंब है यदि और केवल यदि वह $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ का गुणज है, और तब वह $\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}$ है।

       उपयोग करती है: 9. लंबता, 12. शून्य गुणनफल और समांतरता, 13. द्वि सदिश गुणनफल. सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है. अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)$ उस आव्यूह का सारणिक है जिसकी पंक्तियाँ $\vec{u}$, $\vec{v}$ और $\vec{w}$ हैं; गुणनखंडों को चक्रीय रूप से क्रमचयित करने पर वह नहीं बदलता, दो को आपस में बदलने पर उसका चिह्न बदल जाता है, और बिंदु और क्रॉस आपस में बदले जा सकते हैं।

       उपयोग करती है: 3. अदिश गुणनफल के गुण, 8. बीजगणितीय गुण. आधार: E (आव्यूह और सारणिक). सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   16. समतलीयता की कसौटी. तीन सदिश समतलीय हैं, अर्थात् किसी शून्येतर गुणांक वाला उनका कोई रैखिक संयोजन शून्य होता है, यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है।

       उपयोग करती है: 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है. आधार: E (आव्यूह और सारणिक). सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   17. आयतन और ग्राम आव्यूह. किनारों $\vec{u}$, $\vec{v}$ और $\vec{w}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन $\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}$ है, चतुष्फलक का उसका छठा भाग, और अदिश त्रिक गुणनफल का वर्ग ग्राम सारणिक है।

       उपयोग करती है: 11. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, 12. शून्य गुणनफल और समांतरता, 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है, 16. समतलीयता की कसौटी. आधार: B (प्रारंभिक क्षेत्रफल और आयतन), G (लांबिक प्रक्षेप), E (आव्यूह और सारणिक). सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

   18. अभिलक्षण और अभिविन्यास. यदि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ न शून्य हैं न समांतर, तो $\vec{u} \times \vec{v}$ वह अकेला सदिश है जो दोनों पर लंब है, जिसका परिमाण क्षेत्रफल के बराबर है और जिसका अदिश त्रिक गुणनफल धनात्मक है; यह कि वह उस ओर इंगित करता है जिधर दाहिने हाथ का अँगूठा दिखाता है, अक्षों के चित्रण की परिपाटी तय होने के बाद स्वीकार किया जाता है।

       उपयोग करती है: 11. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है. आधार: H (दो सदिशों पर लंब सदिश). सिद्ध किया गया: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल.

3. खंड 3 रेखाएँ और समतल

   • रेखाओं को सदिश, प्राचलिक और सममित रूप में, और समतलों को प्राचलिक और कार्तीय रूप में लिखना, सदिश गुणनफल की सहायता से एक रूप से दूसरे में जाते हुए।
   • सिद्ध करना कि हर समतल का एक कार्तीय समीकरण होता है, जो एक गुणक को छोड़कर अद्वितीय है, और कि प्रथम घात का हर समीकरण एक समतल को निरूपित करता है।
   • एक रैखिक निकाय की जातियों से और अदिश त्रिक गुणनफल से समतलों और रेखाओं की सापेक्ष स्थितियाँ तय करना।
   • समतलों के गुच्छ से वे समतल बनाना जो किसी रेखा को समाहित करते हैं और एक और शर्त पूरी करते हैं।

   19. दो बिंदुओं से होकर रेखा. दो अलग बिंदुओं $A$ और $B$ से होकर एक ही रेखा जाती है, अर्थात् $A + t \vec{AB}$।

       उपयोग करती है: 2. सदिश और मानक आधार. सिद्ध किया गया: समष्टि में रेखाएँ और समतल.

   20. दो सदिशों के रैखिक संयोजन. यदि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ न शून्य हैं न समांतर, तो $\vec{w}$ उनका रैखिक संयोजन है यदि और केवल यदि $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0$, और तब गुणांक अद्वितीय हैं।

       उपयोग करती है: 9. लंबता, 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है. आधार: F (रूशे-फ्रोबेनियस), E (आव्यूह और सारणिक). सिद्ध किया गया: समष्टि में रेखाएँ और समतल.

   21. समतल का कार्तीय समीकरण. एक बिंदु समतल $A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ में है यदि और केवल यदि $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0$; हर समतल का एक समीकरण $ax + by + cz = d$ होता है, जो एक गुणक को छोड़कर अद्वितीय है, और ऐसा हर समीकरण एक समतल को निरूपित करता है।

       उपयोग करती है: 12. शून्य गुणनफल और समांतरता, 20. दो सदिशों के रैखिक संयोजन. आधार: H (दो सदिशों पर लंब सदिश). सिद्ध किया गया: समष्टि में रेखाएँ और समतल.

   22. समतलों की स्थितियाँ. अज्ञातों $x$, $y$ और $z$ में एक संगत निकाय के हल एक बिंदु, एक रेखा या एक समतल बनाते हैं, इसके अनुसार कि जाति क्रमशः $3$, $2$ या $1$ है; इससे दो और तीन समतलों की स्थितियाँ तथा एक रेखा और एक समतल की स्थितियाँ निकलती हैं।

       उपयोग करती है: 19. दो बिंदुओं से होकर रेखा, 20. दो सदिशों के रैखिक संयोजन, 21. समतल का कार्तीय समीकरण, 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है. आधार: F (रूशे-फ्रोबेनियस), E (आव्यूह और सारणिक), H (दो सदिशों पर लंब सदिश). सिद्ध किया गया: समष्टि में रेखाएँ और समतल.

   23. दो रेखाओं की स्थितियाँ. दो असमांतर रेखाएँ $A + t \vec{u}$ और $B + \lambda \vec{v}$ प्रतिच्छेद करती हैं यदि $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$, और अन्यथा विषमतलीय हैं; वह अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है यदि और केवल यदि वे एक समतल में हैं।

       उपयोग करती है: 19. दो बिंदुओं से होकर रेखा, 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है, 21. समतल का कार्तीय समीकरण. आधार: F (रूशे-फ्रोबेनियस), E (आव्यूह और सारणिक), H (दो सदिशों पर लंब सदिश). सिद्ध किया गया: समष्टि में रेखाएँ और समतल.

   24. समतलों का गुच्छ. दो प्रतिच्छेदी समतलों की उभयनिष्ठ रेखा को समाहित करने वाले समतल उनके समीकरणों के ऐसे संयोजन हैं जिनके गुणांक दोनों शून्य नहीं हैं।

       उपयोग करती है: 20. दो सदिशों के रैखिक संयोजन, 22. समतलों की स्थितियाँ. सिद्ध किया गया: समष्टि में रेखाएँ और समतल.

4. खंड 4 माप

   • बिंदु की समतल से और रेखा से दूरी के सूत्र सिद्ध करना, जिनमें लंब का पाद ही अकेला निकटतम बिंदु है।
   • दो विषमतलीय रेखाओं का उभयनिष्ठ लंब ज्ञात करना, सिद्ध करना कि वह अद्वितीय है और उसकी लंबाई एक अदिश त्रिक गुणनफल से परिकलित करना।
   • रेखाओं और समतलों के बीच के कोण परिभाषित करना, सिद्ध करना कि वे ज्यामितीय कोणों से मेल खाते हैं, और किसी समतल आकृति के क्षेत्रफल को उसके प्रक्षेप के क्षेत्रफल से जोड़ना।
   • गोले, किसी समतल के साथ उसके प्रतिच्छेदन और उसके स्पर्श तल का अध्ययन करना, और यह सब क्रिस्टलविज्ञान और उपग्रहों द्वारा स्थिति-निर्धारण पर लागू करना।

   25. समतल से दूरी. $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $ax + by + cz = d$ से दूरी $\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है और वह केवल लंब के पाद पर प्राप्त होती है; इससे अर्धसमष्टियाँ और किसी बिंदु का सममित बिंदु निकलते हैं।

       उपयोग करती है: 21. समतल का कार्तीय समीकरण. आधार: G (लांबिक प्रक्षेप). सिद्ध किया गया: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन.

   26. रेखा से दूरी. $P$ की रेखा $A + t \vec{u}$ से दूरी $\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$ है और वह केवल लंब के पाद पर प्राप्त होती है।

       उपयोग करती है: 10. लाग्रांज सर्वसमिका, 19. दो बिंदुओं से होकर रेखा. आधार: G (लांबिक प्रक्षेप). सिद्ध किया गया: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन.

   27. उभयनिष्ठ लंब. दो विषमतलीय रेखाओं $A + t \vec{u}$ और $B + s \vec{v}$ का एक ही उभयनिष्ठ लंब होता है, और उनके बीच की दूरी $\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}$ है, जो केवल उसके पादों के बीच प्राप्त होती है।

       उपयोग करती है: 10. लाग्रांज सर्वसमिका, 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है, 23. दो रेखाओं की स्थितियाँ. आधार: E (आव्यूह और सारणिक), H (दो सदिशों पर लंब सदिश), G (लांबिक प्रक्षेप). सिद्ध किया गया: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन.

   28. समतलों के साथ कोण और द्वितल कोण. किसी रेखा का किसी समतल के साथ कोण, जिसकी ज्या $\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}$ है, वह कोण है जो रेखा अपने प्रक्षेप के साथ बनाती है, और दो समतलों के अभिलंबों के बीच का कोण, संपूरक को छोड़कर, द्वितल कोण है।

       उपयोग करती है: 4. कॉशी-श्वार्ज़ और त्रिभुज असमिका, 11. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, 13. द्वि सदिश गुणनफल, 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है, 25. समतल से दूरी. आधार: D (त्रिकोणमिति), H (दो सदिशों पर लंब सदिश), G (लांबिक प्रक्षेप). सिद्ध किया गया: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन.

   29. प्रक्षेप का क्षेत्रफल. यदि क्षेत्रफल $S$ वाला एक बहुभुज ऐसे समतल में है जो द्वितल कोण $\alpha$ बनाता है (यह कोण समतल $\pi$ के साथ है, और समांतर होने पर $\alpha = 0$ है), तो $\pi$ पर उसके लांबिक प्रक्षेप का क्षेत्रफल $S \cos \alpha$ है।

       उपयोग करती है: 11. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, 15. अदिश त्रिक गुणनफल एक सारणिक है, 25. समतल से दूरी, 28. समतलों के साथ कोण और द्वितल कोण. आधार: B (प्रारंभिक क्षेत्रफल और आयतन), H (दो सदिशों पर लंब सदिश). सिद्ध किया गया: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन.

   30. गोला और उसका स्पर्श तल. किसी गोले के केंद्र से दूरी $\delta$ पर स्थित एक समतल, जहाँ गोले की त्रिज्या $R$ है, उसे त्रिज्या $\sqrt{R^2 - \delta^2}$ वाले एक वृत्त में काटता है यदि $\delta < R$, और उसे केवल लंब के पाद पर छूता है यदि $\delta = R$; $T$ पर स्पर्श तल का अभिलंब $\vec{CT}$ है।

       उपयोग करती है: 1. दो बिंदुओं के बीच की दूरी, 25. समतल से दूरी. आधार: C (समतल की ज्यामिति), G (लांबिक प्रक्षेप). सिद्ध किया गया: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन.

कलन की ओर. शृंखला वहाँ समाप्त होती है जहाँ प्रारंभिक उपकरण समाप्त होते हैं। पाठ्यक्रम की अंतिम समीक्षा उसे सात समग्र उद्देश्यों के बीच रखती है; कलन III समतलों के स्थान पर वक्र पृष्ठों के स्पर्श तल और सारणिक के स्थान पर किसी रूपांतरण का आयतन गुणक रखेगा।