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Latineसारांश
यह पाठ पाठ्यक्रम की पाँचवीं और अंतिम इकाई का आरंभ करता है, जो समष्टि की विश्लेषिक ज्यामिति को समर्पित है। यह उन चार पाठों को प्रस्तुत करता है जिनसे इकाई बनी है, और उस धागे को जो उन्हें जोड़ता है: समतल के सदिश, जिनका अध्ययन पाठ्यक्रम I में हुआ, संख्याओं के त्रिक बन जाते हैं, जिनके साथ एक अदिश गुणनफल है जो लंबाइयाँ और कोण मापता है; इकाई 4 का कोटि तीन का सारणिक एक नया गुणनफल देता है, सदिश गुणनफल, और उसके साथ अदिश त्रिक गुणनफल, जो क्षेत्रफल और आयतन मापता है; रेखाएँ और समतल रैखिक समीकरणों से व्यक्त होते हैं, और उनकी सापेक्ष स्थितियाँ जाति और रूशे-फ्रोबेनियस प्रमेय से तय होती हैं; और यह सब मिलकर बिंदुओं, रेखाओं और समतलों के बीच दूरियाँ और कोण मापता है। यह इन विचारों की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि का अवलोकन करता है, देकार्त और फ़र्मा के निर्देशांकों से, जो सत्रहवीं शताब्दी में समतल से मुश्किल से बाहर निकले, गिब्स और हेविसाइड के सदिश कलन और क्रिस्टल-विज्ञान तक; एक मेट्रो जाल की दो सुरंगों के माध्यम से वह समस्या परिशुद्ध रूप से प्रस्तुत करता है जिससे इनका जन्म हुआ, अर्थात् यह तय करना कि समष्टि की दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं, और जब नहीं करतीं तब यह मापना कि वे एक-दूसरे से कितनी दूर हैं; और दिखाता है कि ये विचार इस पाठ्यक्रम में, साइट के अन्य पाठ्यक्रमों में और विज्ञान और प्रौद्योगिकी में फिर कहाँ प्रयुक्त होते हैं।
अधिगम उद्देश्य
- इकाई के पाठों का क्रम बताना और यह समझाना कि प्रत्येक पाठ कौन-सा उपकरण देता है और कौन-से उपकरण वह आव्यूहों वाली इकाई से और पाठ्यक्रम I की समतल ज्यामिति से लेता है।
- समष्टि के निर्देशांकों, अदिश गुणनफल, सदिश गुणनफल और सदिश कलन को उनके ऐतिहासिक संदर्भ में रखना, और उस समस्या का नाम लेना जिसे हल करने के लिए प्रत्येक विचार आया।
- इस प्रश्न को कि समष्टि की दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं, एक रैखिक निकाय के रूप में प्रस्तुत करना, उसे संवर्धित आव्यूह की जाति से तय करना, और दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी परिकलित करना।
- भौतिकी, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स, रोबोटिकी, भूगणित, उपग्रहों द्वारा स्थिति-निर्धारण और रसायन विज्ञान में समष्टि की विश्लेषिक ज्यामिति के उपयोग पहचानना।
प्रवेश मूल्यांकन
इकाई शुरू करने से पहले अपनी आरंभिक स्थिति को मापना उपयोगी है। पहले आठ प्रश्न, दो-दो करके, इकाई के चार पाठों को छूते हैं, और नौवाँ प्रश्न मॉडलिंग का है: वह किसी बिंदु की रेखा से दूरी के सहारे एक ठोस स्थिति को व्यक्त करने को कहता है; यही कौशल अंत में, सारांश पाठ में, फिर मापे जाते हैं। अंतिम तीन प्रश्न जाँचते हैं कि इकाई आव्यूहों वाली इकाई से और पाठ्यक्रम I से क्या ज्ञात मानकर चलती है। यह स्व-जाँच अंक नहीं देती: यह जानने के लिए है कि क्या पक्का हो चुका है और कहाँ रुककर देखना चाहिए।
इकाई शुरू करने से पहले अपना आरंभ बिंदु मापें। यह एक छोटा स्व-मूल्यांकन है: इस पर अंक नहीं दिए जाते और इसका परिणाम केवल आपके ब्राउज़र में रहता है।
प्रश्न 1बिंदुओं और के बीच की दूरी परिकलित कीजिए।
सही उत्तर:
निर्देशांकों के अंतर , और हैं, और दूरी है। यदि मिलता है, तो अंतरों का वर्ग किए बिना और वर्गमूल निकाले बिना उन्हें सीधे जोड़ दिया गया है।दोहराएँ: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल
प्रश्न 2सदिश और कौन-सा कोण बनाते हैं?
यह अदिश गुणनफल को केवल एक परिमाण से भाग देने पर आता है, जिससे मिलता है। कोण की कोज्या अदिश गुणनफल को दोनों परिमाणों के गुणनफल से भाग देने पर मिलती है।यह वह कोण है जिसकी ज्या है। अदिश गुणनफल और परिमाणों के गुणनफल का भागफल कोण की कोज्या है, उसकी ज्या नहीं।अदिश गुणनफल है और प्रत्येक सदिश का परिमाण है; कोण की कोज्या है, जो के संगत है।दोहराएँ: समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल
प्रश्न 3 परिकलित कीजिए।
औपचारिक सारणिक को पहली पंक्ति के अनुसार प्रसारित करते समय दूसरे पद का ऋण चिह्न छूट गया है: दूसरा घटक है। सदिश , पर लंब नहीं है।यह उलटे क्रम में लिया गया गुणनफल है, । सदिश गुणनफल प्रतिक्रमविनिमेय है: गुणनखंडों का क्रम बदलने पर चिह्न बदल जाता है।यह घटक-दर-घटक गुणनफल है, जो न गुणनखंडों पर लंब है और न उसका कोई ज्यामितीय अर्थ है। सदिश गुणनफल का प्रत्येक घटक कोटि दो का एक सारणिक है।घटक , और हैं; परिणाम दोनों गुणनखंडों पर लंब है, जैसा अदिश गुणनफल से जाँचा जा सकता है।दोहराएँ: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल
प्रश्न 4शीर्षों , , और वाले चतुष्फलक का आयतन परिकलित कीजिए।
सही उत्तर:
, और का अदिश त्रिक गुणनफल पंक्तियों , और वाला सारणिक है, जिसका मान है; यह समांतर षट्फलक का आयतन है, और चतुष्फलक का आयतन उसका छठा भाग, , है। यदि मिलता है, तो समांतर षट्फलक परिकलित किया गया है, और यदि मिलता है, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल की तरह आधा लिया गया है।दोहराएँ: सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल
प्रश्न 5उस समतल का समीकरण क्या है जो , और से होकर जाता है?
अक्षों के साथ प्रतिच्छेद बिंदुओं को गुणांक मान लिया गया है। जो समतल अक्षों को , और पर काटता है, उसका समीकरण है; यहाँ , जो के तुल्य है। बिंदु , को संतुष्ट नहीं करता।अभिलंब सदिश सही है, परंतु स्वतंत्र पद परिकलित नहीं किया गया: यह समीकरण मूल बिंदु से होकर जाने वाले समांतर समतल को व्यक्त करता है, और तीनों बिंदुओं में से कोई भी इसे संतुष्ट नहीं करता।यह वह रेखा है जो और से होकर जाती है। एक समतल के लिए दो असमांतर दिशा सदिश, या एक अभिलंब सदिश, चाहिए।एक अभिलंब सदिश है, जो के समानुपाती है; स्वतंत्र पद को प्रतिस्थापित करने से मिलता है: । तीनों बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं।दोहराएँ: समष्टि में रेखाएँ और समतल
प्रश्न 6रेखाओं और की सापेक्ष स्थिति क्या है?
समतल में दो असमांतर रेखाओं के साथ यही होता है। समष्टि में बिंदुओं की समता दो अज्ञातों वाले तीन समीकरण देती है, और तीसरा, , असंभव है।समतल में बिना उभयनिष्ठ बिंदुओं वाली दो रेखाएँ समांतर होती हैं; समष्टि में नहीं, क्योंकि वे विषमतलीय हो सकती हैं। दिशा सदिश और समानुपाती नहीं हैं।उनके दिशा सदिश समांतर नहीं हैं, और निकाय , , का कोई हल नहीं है; दो असमांतर रेखाएँ जिनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो, विषमतलीय होती हैं। , और का अदिश त्रिक गुणनफल है, जो शून्येतर है, और इससे पुष्टि होती है कि वे एक ही समतल में नहीं हैं।दोहराएँ: समष्टि में रेखाएँ और समतल
प्रश्न 7बिंदु की समतल से दूरी परिकलित कीजिए।
सही उत्तर:
बिंदु की समतल से दूरी के सूत्र से, । यदि मिलता है, तो अभिलंब सदिश के परिमाण से भाग देना भुला दिया गया है, और यदि मिलता है, तो स्वतंत्र पद को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है।दोहराएँ: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन
प्रश्न 8दिशा सदिश वाली रेखा समतल के साथ कितना कोण बनाती है?
यह रेखा का अभिलंब सदिश के साथ कोण है, समतल के साथ नहीं। समतल के साथ कोण वह है जो रेखा समतल पर अपने प्रक्षेप के साथ बनाती है, और वह ऊपर बताए गए कोण का पूरक है।यह अदिश गुणनफल को केवल एक परिमाण से भाग देने पर आता है, जिससे कोज्या मिलती है। दोनों परिमाणों के गुणनफल से भाग देना होता है।रेखा समतल के समांतर तब होती जब उसका दिशा सदिश अभिलंब सदिश पर लंब होता; परंतु और का अदिश गुणनफल है, नहीं।दिशा सदिश और अभिलंब सदिश ऐसा कोण बनाते हैं जिसकी कोज्या है, अर्थात् कोण ; रेखा का समतल के साथ कोण उसका पूरक कोण है, ।दोहराएँ: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन
प्रश्न 9एक ड्रोन किसी उद्यान के बिंदु से उड़ान भरता है और सदिश की दिशा में सीधी रेखा में ऊपर उठता है; दूरियाँ मीटर में हैं। ज़मीन के बिंदु पर बैठने की मुद्रा में एक व्यक्ति है। ड्रोन उस व्यक्ति से न्यूनतम कितनी दूरी से होकर गुज़रता है, मीटर में?
सही उत्तर:
प्रक्षेप-पथ रेखा है, जहाँ का परिमाण है, और न्यूनतम दूरी की इस रेखा से दूरी है: । यह दूरी लंब के पाद, अर्थात् बिंदु , पर प्राप्त होती है, क्योंकि , पर लंब है। यदि मिलता है, तो प्रक्षेप परिकलित किया गया है, जो यह मापता है कि ड्रोन उस पाद तक कितना आगे बढ़ता है, दूरी नहीं; यदि मिलता है, तो उड़ान आरंभ होने के बिंदु तक की दूरी मापी गई है।दोहराएँ: समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन
प्रश्न 10पिछली इकाइयों सेपंक्तियों , और वाले आव्यूह का सारणिक परिकलित कीजिए।
सही उत्तर:
पहली पंक्ति के अनुसार प्रसार करने पर, । यदि मिलता है, तो प्रसार के दूसरे पद का एकांतर चिह्न भुला दिया गया है।दोहराएँ: सारणिक: गुणधर्म और क्रेमर नियम
प्रश्न 11पिछली इकाइयों सेदो अज्ञातों वाले तीन रैखिक समीकरणों के एक निकाय में गुणांक आव्यूह की जाति है और संवर्धित आव्यूह की जाति है। उसके कितने हल हैं?
गुणांक आव्यूह की जाति का अज्ञातों की संख्या के बराबर होना अद्वितीयता का आश्वासन तभी देता है जब निकाय संगत हो, और संगति के लिए आवश्यक है कि संवर्धित आव्यूह की जाति भी वही हो।हल अनंत तब होते हैं जब निकाय संगत हो और उभयनिष्ठ जाति अज्ञातों की संख्या से कम हो। यहाँ निकाय संगत नहीं है, क्योंकि दोनों जातियाँ अलग हैं।रूशे-फ्रोबेनियस प्रमेय के अनुसार, किसी निकाय का हल होता है यदि और केवल यदि दोनों आव्यूहों की जाति समान हो; यहाँ जातियाँ अलग हैं, और निकाय असंगत है।दोहराएँ: रैखिक निकाय और गाउस-जॉर्डन विधि
प्रश्न 12पिछली इकाइयों से के किस मान के लिए समतल के सदिश और लंब हैं?
सही उत्तर:
दो शून्येतर सदिश लंब होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो: , जिससे । यदि मिलता है, तो कोई चिह्न उलट गया है; ढालों को बराबर रखने पर लंब सदिश नहीं, बल्कि समांतर सदिश खोजे जाते हैं।
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