समतल के रूपांतरणों के रूप में आव्यूह

रूपांतरणों के रूप में आव्यूह

पाठ्यक्रम बीजगणित और ज्यामिति I के समतल में सदिश वाले पाठ में सदिश को वास्तविक संख्याओं के एक क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित किया गया था, और आव्यूह और आव्यूहों पर संक्रियाएँ वाले पाठ में एक आव्यूह का दूसरे आव्यूह से गुणन, पंक्ति गुणा स्तंभ, परिभाषित किया गया था। यदि युग्म $(x, y)$ को एक स्तंभ के रूप में, अर्थात् दो पंक्तियों और एक स्तंभ वाले आव्यूह के रूप में, लिखा जाए, तो दो पंक्तियों और दो स्तंभों वाला आव्यूह $A$ उसे गुणा कर सकता है, और परिणाम दो प्रविष्टियों वाला एक दूसरा स्तंभ, अर्थात् एक दूसरा सदिश, होता है। इस प्रकार प्रत्येक आव्यूह समतल के बिंदुओं को खिसकाता है, और आव्यूहों के बीजगणित को एक ज्यामितीय अर्थ मिलता है। आगे हम युग्म $(x, y)$ और प्रविष्टियों $x$ और $y$ वाले स्तंभ को एक ही मानते हैं, और $\vec{e}_1 = (1, 0)$ तथा $\vec{e}_2 = (0, 1)$ को मानक आधार सदिश कहते हैं, जिससे प्रत्येक सदिश $\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2$ के रूप में लिखा जाता है।

समतल का रूपांतरण एक ऐसा फलन है जो समतल के प्रत्येक सदिश को समतल का एक दूसरा सदिश निर्दिष्ट करता है। यदि $A$ दो पंक्तियों और दो स्तंभों वाला आव्यूह है, तो आव्यूह $A$ का रूपांतरण वह है जो प्रत्येक $\vec{v}$ को गुणनफल $A\vec{v}$ निर्दिष्ट करता है।

उदाहरण के लिए, प्रविष्टियों $2$, $0$, $0$ और $3$ वाला आव्यूह बिंदु $(x, y)$ को बिंदु $(2x, 3y)$ पर ले जाता है: यह समतल को क्षैतिज दिशा में दुगुना और ऊर्ध्वाधर दिशा में तिगुना खींचता है। आव्यूह वाले रूपांतरणों का एक ऐसा गुणधर्म है जो उन्हें समतल के अन्य फलनों से अलग करता है, और जो निम्नलिखित परिभाषा से व्यक्त होता है।

समतल का एक रूपांतरण $T$ रैखिक है यदि वह सदिशों का योग और किसी सदिश का किसी संख्या से गुणन संरक्षित रखता है: समतल के सभी $\vec{u}$ और $\vec{v}$ तथा प्रत्येक वास्तविक संख्या $t$ के लिए निम्नलिखित दो समताएँ सत्य होती हैं।

यह प्रमेय किसी रैखिक रूपांतरण के अध्ययन को दो सदिशों के अध्ययन पर ले आती है: आव्यूह जानने के लिए इतना जानना पर्याप्त है कि $\vec{e}_1$ और $\vec{e}_2$ कहाँ जाते हैं, और यह जानने के लिए कि कोई आव्यूह क्या करता है, उसके स्तंभ पढ़ना पर्याप्त है। रैखिकता से इसके अतिरिक्त कई ज्यामितीय गुणधर्म निकलते हैं। मूल बिंदु स्थिर रहता है, क्योंकि $A\vec{0} = \vec{0}$; इसीलिए स्थानांतरण, जो मूल बिंदु को खिसकाते हैं, रैखिक नहीं हैं। सदिश समीकरण $\vec{p} + t\vec{d}$ वाली रेखा, जिसका अध्ययन पाठ्यक्रम I के सदिशों वाले पाठ में किया गया था, बिंदुओं $A\vec{p} + tA\vec{d}$ के समुच्चय पर पहुँचती है, जो एक रेखा है यदि $A\vec{d}$ शून्य नहीं है और केवल एक बिंदु यदि वह शून्य है। इसी प्रकार, एक रेखाखंड किसी रेखाखंड या बिंदु पर पहुँचता है, समांतर रेखाएँ समांतर रेखाओं या बिंदुओं पर पहुँचती हैं, और शीर्षों $\vec{0}$, $\vec{e}_1$, $\vec{e}_1 + \vec{e}_2$ और $\vec{e}_2$ वाला वर्ग, जिसे हम एकांक वर्ग कहेंगे, उस समांतर चतुर्भुज पर पहुँचता है, संभवतः पिचका हुआ, जो आव्यूह के दो स्तंभ बनाते हैं।