वास्तविक रेखा: क्रम, अंतराल और निरपेक्ष मान

सारांश

यह पाठ वास्तविक संख्याओं का अध्ययन एक रेखा के बिंदुओं के रूप में करता है। यह तीन अभिगृहीतों से असमिकाओं पर संक्रियाओं के नियम निगमित करता है, आर्किमिडीज़ गुण से सिद्ध करता है कि परिमेय संख्याएँ रेखा में सघन हैं, पूर्णता से सिद्ध करता है कि प्रत्येक ऋणेतर वास्तविक संख्या का $n$ वाँ मूल होता है, अंतरालों को परिभाषित करता है और उन्हें बिना रिक्तियों वाले समुच्चयों के रूप में अभिलक्षित करता है, तथा निरपेक्ष मान को दूरी के माप के रूप में प्रस्तुत करता है, असमिकाओं पर उसकी आधारभूत प्रमेयिका और त्रिभुज असमिका के साथ। प्रश्न इन साधनों को गुणनफलों को परिबद्ध करने, निरपेक्ष मानों वाले समीकरणों और असमीकरणों को हल करने, किसी सन्निकटन की त्रुटि को नियंत्रित करने और दूरियों के योग को न्यूनतम करने में लगाते हैं।

अधिगम उद्देश्य

क्रम के अभिगृहीतों से असमिकाओं को जोड़ने, गुणा करने और उनके गुणात्मक प्रतिलोम लेने के नियम निगमित करना, और अज्ञात चिह्न वाली संख्याओं से गुणा किए बिना उन्हें लागू करना।
आर्किमिडीज़ गुण को लागू करना और उससे सिद्ध करना कि दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच सदा एक परिमेय संख्या होती है।
वास्तविक संख्याओं के समुच्चयों को अंतरालों द्वारा वर्णित करना, उन पर संक्रियाएँ करना और पहचानना कि कोई समुच्चय कब अंतराल है।
निरपेक्ष मान की व्याख्या दूरी के रूप में करना, निरपेक्ष मानों वाली शर्तों को अंतरालों में बदलना और त्रिभुज असमिका को लागू करना।

वास्तविक रेखा

एक रेखा पर दो बिंदु चुने जाते हैं: एक $0$ को निरूपित करता है और दूसरा, जो उसके दाईं ओर स्थित है, $1$ को। उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड की लंबाई एकांक का काम करती है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के संगत एक बिंदु होता है: यदि $x$ धनात्मक है, तो वह बिंदु जो मूल बिंदु के दाईं ओर दूरी $x$ पर स्थित है; यदि ऋणात्मक है, तो वह जो बाईं ओर दूरी $-x$ पर स्थित है। परिमेय संख्याएँ ऐसे बिंदु घेरती हैं जिनकी रचना पटरी और परकार से होती है, और उनका दशमलव प्रसार, जिसका अध्ययन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार पर पाठ में किया गया, बताता है कि प्रत्येक संख्या एकांक के किस दशमलव उपविभाग में पड़ती है। किंतु संख्या समुच्चयों पर पाठ में देखा गया कि परिमेय संख्याएँ रिक्तियाँ छोड़ती हैं, जैसे वह रिक्ति जिसे $\sqrt{2}$ घेरता है, और यह स्वीकार किया गया कि वास्तविक संख्याएँ एक पूर्ण क्रमित क्षेत्र बनाती हैं, जिसका पूर्णता अभिगृहीत इन रिक्तियों को भर देता है। इसलिए यह स्वीकार किया जाता है कि वास्तविक संख्याओं और बिंदुओं के बीच की संगतता एकैकी आच्छादक है: प्रत्येक वास्तविक संख्या के संगत एक बिंदु है और प्रत्येक बिंदु के संगत एक वास्तविक संख्या। यह अभिज्ञान सिद्ध नहीं किया जाता, क्योंकि यहाँ ज्यामिति की रेखा संख्याओं से स्वतंत्र रूप से परिभाषित नहीं है; यह पूर्णता की ज्यामितीय व्याख्या है, और इसे वास्तविक रेखा कहते हैं।

क्रम के अभिगृहीत

“के बाईं ओर होना” संबंध वास्तविक संख्याओं के बीच क्रम संबंध में बदल जाता है, जिसे धनात्मक संख्याओं के समुच्चय से आरंभ करके परिभाषित किया जाता है। जिन अभिगृहीतों को संख्या समुच्चयों पर पाठ वास्तविक संख्याओं के लिए क्षेत्र के अभिगृहीतों और पूर्णता अभिगृहीत के साथ स्वीकार करता है, उनमें से क्रम के अभिगृहीत इसी समुच्चय से संबंधित हैं, और उन्हें याद कर लेना उपयोगी है:

त्रिभाजिता: प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए तीन कथनों $x > 0$ , $x = 0$ या $-x > 0$ में से ठीक एक सत्य होता है।
दो धनात्मक संख्याओं का योग धनात्मक होता है।
दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है।

वास्तविक संख्या $x$ ऋणात्मक है यदि $-x$ धनात्मक हो। $x < y$ , या $y > x$ , तब लिखा जाता है जब अंतर $y - x$ धनात्मक हो, और $x \leq y$ तब जब $x < y$ या $x = y$ । $y - x$ पर लागू करने पर त्रिभाजिता कहती है कि किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं के लिए कथनों $x < y$ , $x = y$ या $y < x$ में से ठीक एक सत्य होता है: रेखा के दो अलग बिंदुओं में से एक सदा दूसरे के बाईं ओर होता है। इसके अतिरिक्त, उसी पाठ के हल प्रश्न 5 में केवल इन अभिगृहीतों और चिह्नों के नियम से सिद्ध किया गया कि प्रत्येक शून्येतर वास्तविक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है; विशेष रूप से, $1 = 1^2 > 0$ । असमिकाओं पर संक्रियाओं के नियम इन अभिगृहीतों और क्षेत्र के अभिगृहीतों के परिणाम हैं; संख्या समुच्चयों पर पाठ ने उन्हें क्रम के नियमों वाली अपनी प्रमेयिका में निगमित किया, और यहाँ उन्हें एकत्र करके रेखा पर उनकी व्याख्या की जाती है।

प्रमेयक्रम के गुणधर्म

सभी वास्तविक संख्याओं $x$ , $y$ और $z$ के लिए: यदि $x < y$ और $y < z$ , तो $x < z$ ; यदि $x < y$ , तो $x + z < y + z$ ; यदि $x < y$ और $z > 0$ , तो $xz < yz$ ; यदि $x < y$ और $z < 0$ , तो $xz > yz$ ; यदि $x > 0$ , तो उसका गुणात्मक प्रतिलोम धनात्मक है; और यदि $0 < x < y$ , तो $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ । प्रत्येक कथन किसी अंतर का चिह्न निर्धारित करने तक सीमित हो जाता है, जैसा कि पूर्णांकों पर पाठ में हुआ, जहाँ ये नियम पूर्णांकों के लिए सिद्ध किए गए; उपपत्ति, जो संख्या समुच्चयों पर पाठ की उपपत्ति को दोहराती है, केवल अभिगृहीतों से निगमित होती है, और इसलिए ये नियम सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य हैं। चित्र प्रत्येक गुणधर्म को रेखा पर दर्शाता है: स्थानांतरण दो बिंदुओं के क्रम को बनाए रखता है, मूल बिंदु से विस्तार भी, जबकि परावर्तन या गुणात्मक प्रतिलोम लेना उसे उलट देता है।

प्रमाण

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
संक्रामकता: यदि $x < y$ और $y < z$ , तो अंतर $y - x$ और $z - y$ धनात्मक हैं, और दूसरे अभिगृहीत से उनका योग भी धनात्मक है, जो $z - x$ है।
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
योग के साथ संगति: दोनों पक्षों में एक ही संख्या $z$ जोड़ने से अंतर नहीं बदलता।
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
धनात्मक संख्या से गुणा: यदि $z > 0$ , तो अंतर $yz - xz$ दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल है, और तीसरे अभिगृहीत से धनात्मक है।
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
ऋणात्मक संख्या से गुणा: यदि $z < 0$ , तो उसका योज्य प्रतिलोम $-z$ धनात्मक है, और पिछला चरण, $-z$ पर लागू करने पर, विपरीत क्रम में एक धनात्मक अंतर देता है।
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
गुणात्मक प्रतिलोम का चिह्न: मान लीजिए $x > 0$ । यदि उसका गुणात्मक प्रतिलोम ऋणात्मक होता, तो $0 < x$ को उससे गुणा करने पर असमिका उलट जाती, और $0 > 1$ प्राप्त होता, जो असत्य है; और गुणात्मक प्रतिलोम शून्य नहीं है, क्योंकि $x$ के साथ उसका गुणनफल $1$ है।
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
गुणात्मक प्रतिलोम: यदि $0 < x < y$ , तो गुणात्मक प्रतिलोमों का अंतर $y - x$ और $xy$ के गुणात्मक प्रतिलोम का गुणनफल है, और दोनों धनात्मक हैं। दो धनात्मक संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम लेने से उनका क्रम उलट जाता है।

इन नियमों से अन्य नियम निकलते हैं जिनका प्रयोग निरंतर होता है। एक ही दिशा की दो असमिकाएँ जोड़ी जा सकती हैं: यदि $a < b$ और $c < d$ , तो $a + c < b + c < b + d$ । ऋणेतर संख्याओं के बीच की दो असमिकाओं का गुणा किया जा सकता है: यदि $0 \leq a \leq b$ और $0 \leq c \leq d$ , तो $ac \leq bc \leq bd$ । इसके विपरीत, उन्हें पक्षवार घटाया या भाग नहीं दिया जा सकता, और यदि कोई पक्ष ऋणात्मक हो तो उनका गुणा नहीं किया जा सकता, जैसा कि हल प्रश्न 1 दिखाता है। अंत में, ऋणेतर संख्याओं के बीच वर्ग करना क्रम को बनाए रखता है और उसे प्रतिबिंबित भी करता है, जैसा कि संख्या समुच्चयों पर पाठ में घातों के लिए सिद्ध किया गया:

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

रेखा में परिमेय संख्याओं की सघनता

पूर्णता अभिगृहीत, जिसका कथन संख्या समुच्चयों पर पाठ में किया गया, कहता है कि वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक अरिक्त, ऊपर से परिबद्ध समुच्चय का एक सुप्रीमम होता है, अर्थात एक लघुतम उपरि परिबंध। परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार पर पाठ में इससे आर्किमिडीज़ गुण निगमित किया गया: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए एक प्राकृत संख्या है जो उससे बड़ी है, जिससे बिंदु $1, 2, 3, \ldots$ रेखा पर बिना किसी परिबंध के आगे बढ़ते जाते हैं। इससे एक रूप निकलता है जिसका प्रयोग प्रायः होता है: यदि $h > 0$ और $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है, तो एक प्राकृत संख्या $n$ है जो $\frac{x}{h}$ से बड़ी है, और $h$ से, जो धनात्मक है, गुणा करने पर $nh > x$ प्राप्त होता है। ज्यामितीय रूप से, कोई रेखाखंड, चाहे कितना भी छोटा हो, पर्याप्त बार दोहराने पर किसी भी अन्य रेखाखंड से बड़ा हो जाता है; आर्किमिडीज़ ने इसका इसी प्रकार उपयोग किया, और गुण का नाम उन्हीं से आया है।

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

परिमेय संख्याओं पर पाठ में सिद्ध किया गया कि दो अलग परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। आर्किमिडीज़ गुण से इससे अधिक प्रबल बात सिद्ध की जा सकती है, वह तथ्य जिसे संख्या समुच्चयों पर पाठ ने बिना प्रमाण स्वीकृत छोड़ा था: परिमेय संख्याएँ पूरी वास्तविक रेखा पर फैली हुई हैं, और ऐसा कोई अंतराल नहीं है, चाहे कितना भी छोटा हो, जिसमें उनमें से कोई न हो।

प्रमेयवास्तविक रेखा में परिमेय संख्याओं की सघनता

दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच सदा एक परिमेय संख्या होती है: यदि $x < y$ , तो एक परिमेय संख्या $q$ अस्तित्व में है ऐसी कि $x < q < y$ । विचार यह है कि $x$ और $y$ के बीच के अंतराल को तब तक बड़ा किया जाए जब तक उसकी लंबाई $1$ से अधिक न हो जाए, ताकि उसमें एक पूर्णांक आ जाए, और फिर उसे छोटा किया जाए। चित्र आरंभिक अंतराल को ऊपर और बड़े किए गए अंतराल को नीचे दिखाता है।

प्रमाण

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
आर्किमिडीज़ गुण से, $h = y - x > 0$ पर लागू करने पर, एक प्राकृत संख्या $n$ अस्तित्व में है ऐसी कि $n(y - x) > 1$ : $n$ गुना बड़ा करने पर अंतराल की लंबाई एकांक से अधिक हो जाती है।
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
मान लीजिए $m$ वह सबसे छोटा पूर्णांक है जो $nx$ से बड़ा है। यह अस्तित्व में है: आर्किमिडीज़ गुण से एक प्राकृत संख्या $k$ है जिसके लिए $k > -nx$ , जिससे $nx + k > 0$ ; $nx + k$ से बड़ी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय रिक्त नहीं है, फिर से आर्किमिडीज़ गुण से, और सुक्रम सिद्धांत से उसका एक सबसे छोटा अवयव $j$ है। पूर्णांक $m = j - k$ , $nx$ से बड़ा है, और $m - 1$ नहीं है, क्योंकि $j - 1$ या तो शून्य है या एक ऐसी प्राकृत संख्या है जो $nx + k$ से अधिक नहीं है।
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
पहली असमिका में $1$ जोड़कर और उसे पहले चरण की असमिका से जोड़ने पर, पूर्णांक $m$ , $nx$ और $ny$ के बीच दृढ़ रूप से स्थित होता है।
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
$n$ से, जो धनात्मक है, भाग देने पर असमिकाएँ बनी रहती हैं: $m$ को $n$ से भाग देने पर प्राप्त भागफल, जो परिमेय है, $x$ और $y$ के बीच है।

प्रमेय को $x$ और प्राप्त परिमेय संख्या के बीच के अंतराल पर फिर से लागू करने पर एक और परिमेय संख्या मिलती है, और इसी प्रकार आगे: दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। अपरिमेय संख्याओं के साथ भी ऐसा ही है, जैसा कि अभ्यास प्रश्न 4 में सिद्ध करने को कहा गया है। इसलिए परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ पूरी रेखा पर आपस में घुली-मिली हैं, यद्यपि उनके दशमलव प्रसार इतने अलग स्वभाव के हैं।

मूलों का अस्तित्व

संख्या समुच्चयों पर पाठ में मुख्य $n$ वाँ मूल, ऋणेतर वास्तविक संख्या $a$ का, उस अद्वितीय ऋणेतर वास्तविक संख्या के रूप में परिभाषित किया गया जिसकी $n$ वीं घात $a$ है; वहाँ अद्वितीयता सिद्ध की गई और अस्तित्व को बिना प्रमाण स्वीकृत छोड़ा गया, क्योंकि उसकी उपपत्ति के लिए सुप्रीममों वाली एक युक्ति चाहिए। पूर्णता और क्रम के नियमों से अब वह युक्ति दी जा सकती है। दो घातों के अंतर के लिए एक परिबंध का उपयोग किया जाता है: यदि $0 \leq c \leq b$ , तो निम्नलिखित गुणनफल का विस्तार करने पर बीच के पद कट जाते हैं, जैसे गुणोत्तर श्रेढ़ी के योग में, और दूसरे गुणनखंड के $n$ पदों में से प्रत्येक अधिक से अधिक $b^{n - 1}$ है।

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

प्रमेय

n

वें मूल का अस्तित्व

मान लीजिए $n \geq 2$ एक प्राकृत संख्या है। प्रत्येक वास्तविक संख्या $a \geq 0$ के लिए एक वास्तविक संख्या $s \geq 0$ अस्तित्व में है ऐसी कि $s^n = a$ । यदि $a = 0$ , तो $s = 0$ लेना पर्याप्त है; आगे $a > 0$ । अभीष्ट मूल उन ऋणेतर संख्याओं के सुप्रीमम के रूप में प्राप्त होता है जिनकी $n$ वीं घात $a$ से अधिक नहीं है, और दोनों दृढ़ असमिकाओं को अलग-अलग निरस्त किया जाता है। चित्र वक्र $y = x^n$ और ऊँचाई $a$ वाली रेखा को दिखाता है: समुच्चय $S$ अक्ष का वह भाग है जो वक्र के उस हिस्से के नीचे है जो रेखा से ऊपर नहीं उठता, और $s$ के बारे में प्रत्येक गलत कल्पना को एक ऐसे बिंदु से गलत ठहराया जाता है जो गलत ओर पड़ता है।

प्रमाण

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
समुच्चय $S$ , उन ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का जिनकी $n$ वीं घात $a$ से अधिक नहीं है, $0$ को समाविष्ट करता है। यह $1 + a$ से परिबद्ध है: यदि $x > 1 + a$ , तो $x > 1$ , और उसकी घात कम से कम $x$ है, जो पहले ही $a$ से अधिक है।
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
पूर्णता से $S$ का एक सुप्रीमम $s$ है, जो ऋणेतर है क्योंकि $0$ , $S$ में है।
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
मान लीजिए $s^n < a$ । हम एक संख्या $h$ लेते हैं, जो धनात्मक है और $1$ से छोटी है, क्योंकि उसका अंश उसके हर से छोटा है।
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
घातों के अंतर के परिबंध से, $b = s + h \leq s + 1$ और $c = s$ के साथ, $s + h$ की घात $a$ से अधिक नहीं है; अतः $s + h$ , $S$ में है और उसके सुप्रीमम से बड़ा है, जो असंभव है।
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
मान लीजिए $s^n > a$ । तब $s > 0$ , और हम एक और संख्या $h$ लेते हैं, जो धनात्मक है और $s$ से छोटी है, क्योंकि $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ ।
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
$b = s$ और $c = s - h$ के साथ, परिबंध से प्राप्त होता है कि $s - h$ की घात कम से कम $a$ है।
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
यदि कोई $x$ , जो $S$ में है, $s - h$ से बड़ा होता, तो घातों द्वारा क्रम बनाए रखने से $x^n > (s - h)^n \geq a$ होता, जो $S$ की परिभाषा के विरुद्ध है। इस प्रकार $s - h$ , $S$ का एक उपरि परिबंध होता जो $s$ से छोटा है, जो असंभव है।
$s^n = a$
त्रिभाजिता से केवल समता बचती है: $s$ मुख्य $n$ वाँ मूल है, $a$ का, और संख्या समुच्चयों पर पाठ में सिद्ध बात से अद्वितीय है।

इस प्रमेय और परिमेय संख्याओं की सघनता से वह अभिज्ञान भी पूरा हो जाता है जिसे संख्या समुच्चयों पर पाठ ने बिना प्रमाण स्वीकृत छोड़ा था: समुच्चय $A$ का, जो उन परिमेय संख्याओं का है जिनका वर्ग $2$ से छोटा है, सुप्रीमम $\sqrt{2}$ है। वास्तव में, $\sqrt{2}$ , $A$ का उपरि परिबंध है, क्योंकि यदि कोई परिमेय संख्या $x$ , $\sqrt{2}$ से बड़ी होती, तो वह धनात्मक होती और उसका वर्ग $2$ से अधिक होता। और कोई भी छोटा परिबंध काम नहीं करता: यदि $u < \sqrt{2}$ , तो सघनता, उस अंतराल पर लागू करने पर जो संख्याओं $u$ और $0$ में से बड़ी संख्या से $\sqrt{2}$ तक जाता है, एक परिमेय संख्या $q$ देती है जिसके लिए $0 < q < \sqrt{2}$ और $u < q$ ; उसका वर्ग $2$ से छोटा है, क्योंकि ऋणेतर संख्याओं के बीच घातें क्रम बनाए रखती हैं, इसलिए $q$ , $A$ में है और $u$ से बड़ी है।

इस पाठ के शेष भाग में

अंतराल
निरपेक्ष मान
हल किए गए प्रश्न
एक गुणनफल का अंतराल
दो दूरियों का योग
एक बिंदु के दूसरे की अपेक्षा अधिक निकट
एक वर्ग की त्रुटि का नियंत्रण
पाँच घरों के सबसे निकट का बिंदु
अभ्यास प्रश्न
दो संख्याओं में से बड़ी और छोटी
दो अंतरालों का सम्मिलन
पहले के अधिक निकट
दो वास्तविक संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या
एक सुप्रीमम जो प्राप्त नहीं होता

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