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Topos Uranos
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वायरस्ट्रास का चरम मान प्रमेय

सारांश

यह पाठ बिंदुशः से वैश्विक की ओर संक्रमण आरंभ करता है। किसी बिंदु पर सांतत्य फलन को केवल उस बिंदु के निकट नियंत्रित करता है; वायरस्ट्रास की प्रमेय कहती है कि यदि फलन किसी संवृत और परिबद्ध अंतराल के सभी बिंदुओं पर संतत है, तो वह पूरे अंतराल पर परिबद्ध है और उस पर एक उच्चिष्ठ मान और एक निम्निष्ठ मान प्राप्त करता है। दोनों कथन, बोलत्सानो प्रमेय की तरह, सुप्रीमम के माध्यम से पूर्णता अभिगृहीत द्वारा सिद्ध किए जाते हैं: परिबद्धता, उन बिंदुओं के सुप्रीमम से जहाँ तक फलन परिबद्ध रहता है, और सीमा और सांतत्य वाले पाठ की स्थानीय परिबद्धता से; उच्चिष्ठ का अस्तित्व, मानों के सुप्रीमम से और एक सहायक फलन से, जो संतत और अपरिबद्ध होता यदि वह सुप्रीमम प्राप्त न होता। पाठ प्रत्युदाहरणों से दिखाता है कि कोई भी परिकल्पना हटाई नहीं जा सकती, यह निकालता है कि संवृत और परिबद्ध अंतराल का प्रतिबिंब उसी प्रकार का अंतराल है और यह कि यदि फलन अंत्य बिंदुओं पर समान मान लेता है, तो उसका कोई एक चरम मान अंतराल के भीतर प्राप्त होता है, और प्रमेय को धनात्मक, आवर्ती और पूरी रेखा पर परिभाषित फलनों पर लागू करता है।

अधिगम उद्देश्य

  1. किसी फलन के मानों के सुप्रीमम को उसके उच्चिष्ठ मान से अलग पहचानना, और परिमाणकों से यह व्यक्त करना कि कोई फलन किसी समुच्चय पर अपना उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ प्राप्त करता है।
  2. पूर्णता अभिगृहीत से सिद्ध करना कि संवृत और परिबद्ध अंतराल पर संतत फलन परिबद्ध होता है और अपना उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ प्राप्त करता है।
  3. प्रत्युदाहरणों से दिखाना कि यदि अंतराल संवृत नहीं है, यदि वह परिबद्ध नहीं है या यदि फलन संतत नहीं है, तो प्रमेय विफल होती है, और पहचानना कि उसकी परिकल्पनाएँ पर्याप्त हैं, आवश्यक नहीं।
  4. प्रमेय का, मध्यवर्ती मान प्रमेय और अनंत पर सीमाओं के साथ, उपयोग करके किसी संवृत और परिबद्ध अंतराल का प्रतिबिंब ज्ञात करना और यह सिद्ध करना कि कोई फलन उन प्रांतों पर अपने चरम मान प्राप्त करता है जो संवृत और परिबद्ध अंतराल नहीं हैं।

किसी फलन का उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ और सुप्रीमम

इससे पहले की दो इकाइयों ने फलनों का अध्ययन एक बिंदु पर किया: सीमा, सांतत्य और अवकलज वर्णन करते हैं कि aa के निकट क्या होता है। दूसरी ओर, बहुत से प्रश्न पूरे समुच्चय से संबंधित हैं: किसी अंतराल पर फलन जो सबसे बड़ा मान लेता है वह क्या है, यदि ऐसा कोई है, या वह किस बिंदु पर प्राप्त होता है। फलन xx का (0,1)\ioo{0}{1} पर कोई ऐसा मान नहीं है जो अन्य सभी से बड़ा हो: अंतराल के प्रत्येक xx के लिए संख्या x+12\frac{x + 1}{2} भी उसमें है, और बड़ी है। इसके मान 11 के निकट पहुँचते हैं पर उस तक नहीं पहुँचते। इसलिए दो धारणाओं को अलग करना उचित है: मानों का न्यूनतम उपरि परिबंध, जो मानों के परिबद्ध होते ही अस्तित्व में आता है, और उच्चिष्ठ मान, जो फलन का एक मान है।

परिभाषापरिबद्ध फलन; किसी समुच्चय पर फलन का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ

मान लें ff एक फलन है जो समुच्चय AA पर परिभाषित है और SS, AA का एक अरिक्त उपसमुच्चय है। कहा जाता है कि ff, SS पर ऊपर से परिबद्ध है यदि कोई संख्या KK ऐसी है कि f(x)≤Kf(x) \leq K है, प्रत्येक xx के लिए जो SS में है; नीचे से परिबद्ध, यदि कोई KK ऐसा है कि f(x)≥Kf(x) \geq K है, प्रत्येक xx के लिए जो SS में है; और परिबद्ध, यदि वह दोनों प्रकार से परिबद्ध है, अर्थात् यदि कोई KK ऐसा है कि ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K है, प्रत्येक xx के लिए जो SS में है। कहा जाता है कि ff, SS पर एक बिंदु x0x_0 पर, जो SS में है, अपना उच्चिष्ठ प्राप्त करता है यदि मान f(x0)f(x_0) से ff का SS पर कोई अन्य मान बड़ा नहीं है, और x0x_0 पर अपना निम्निष्ठ प्राप्त करता है यदि SS पर कोई छोटा मान नहीं है:

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

संख्या f(x0)f(x_0), ff का SS पर उच्चिष्ठ मान (या निम्निष्ठ मान) है, और इसे max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x) (या min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)) लिखा जाता है; बिंदु x0x_0 एक उच्चिष्ठ बिंदु (या निम्निष्ठ बिंदु) है।

उच्चिष्ठ मान, यदि अस्तित्व में है, अद्वितीय है, क्योंकि दो उच्चिष्ठ मानों में से प्रत्येक दूसरे से बड़ा या उसके बराबर होगा; उच्चिष्ठ बिंदु अद्वितीय न भी हो: कोज्या अपना उच्चिष्ठ 11, [0,4π]\icc{0}{4\pi} पर तीन बिंदुओं पर प्राप्त करती है, 00, 2π2\pi और 4π4\pi। उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ वाला पाठ इन चरम मानों को निरपेक्ष कहेगा, ताकि उन्हें स्थानीय चरम मानों से अलग किया जा सके, जो f(x0)f(x_0) की तुलना केवल निकट के मानों से करते हैं।

यदि ff, SS पर ऊपर से परिबद्ध है, तो उसके मानों का समुच्चय, f(S)f(S), अरिक्त है और ऊपर से परिबद्ध है; पूर्णता अभिगृहीत से, जिसका स्मरण वास्तविक रेखा वाले पाठ में कराया गया था, उसका एक सुप्रीमम है, जिसे sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x) लिखा जाता है। दोनों धारणाओं के बीच संबंध सरल है: ff, SS पर अपना उच्चिष्ठ प्राप्त करता है यदि और केवल यदि उसके मानों का सुप्रीमम उनमें से एक है, और तब दोनों बराबर होते हैं। वस्तुतः, यदि f(x0)f(x_0) उच्चिष्ठ मान है, तो वह f(S)f(S) का एक उपरि परिबंध है जो f(S)f(S) में है, और कोई छोटी संख्या उपरि परिबंध नहीं हो सकती; विलोमतः, यदि सुप्रीमम एक मान f(x0)f(x_0) है, तो कोई मान उससे बड़ा नहीं है। फलन xx, (0,1)\ioo{0}{1} पर परिबद्ध है, उसका सुप्रीमम 11 है और वह उसे प्राप्त नहीं करता; उसका इन्फिमम 00 है और वह उसे भी प्राप्त नहीं करता। वायरस्ट्रास की प्रमेय ऐसी शर्तें देती है जिनमें यह नहीं होता।