मध्यवर्ती मान प्रमेय

प्रमाण

1. 1
   $$S = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}$$

   मान लें $S$ उन $x$ का समुच्चय है जो $\icc{a}{b}$ में हैं और जिनके लिए $f(x) < 0$। यह रिक्त नहीं है, क्योंकि इसमें $a$ है, और $b$ एक उपरि परिबंध है; पूर्णता अभिगृहीत से इसका एक सुप्रीमम $c$ है, जहाँ $a \leq c \leq b$।

2. 2
   $$f(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c$$

   यदि $f(c) < 0$, तो $c \neq b$, क्योंकि $f(b) > 0$। चिह्न के संरक्षण से, $f$, $\ico{c}{c + \delta}$ पर ऋणात्मक है, किसी $\delta > 0$ के लिए, जिसे इस प्रकार लिया जा सकता है कि $c + \delta \leq b$; तब $S$ में $c$ से बड़े बिंदु हैं, और $c$ उपरि परिबंध नहीं होगा।

3. 3
   $$f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}$$

   यदि $f(c) > 0$, तो $c \neq a$। चिह्न के संरक्षण से, $f$, $\ioc{c - \delta}{c}$ पर धनात्मक है, किसी $\delta > 0$ के लिए, जिसे इस प्रकार लिया जा सकता है कि $c - \delta \geq a$, जिससे उस अंतराल का कोई भी बिंदु $S$ में नहीं है; चूँकि $c$ से बड़े बिंदु भी उसमें नहीं हैं, संख्या $c - \delta$ सुप्रीमम से छोटा एक उपरि परिबंध होगी। अतः $f(c) = 0$, और $c$ न $a$ है न $b$। दूसरी स्थिति $-f$ लेकर पहली स्थिति पर आ जाती है।