प्राकृत संख्याएँ: सारांश और चुनौतियाँ

1. खंड 1 नींव: समुच्चय, अभिगृहीत, संक्रियाएँ और क्रम

   • समुच्चयों, संबंधों और फलनों की भाषा निर्धारित करना, और सिद्ध करना कि तुल्यता संबंध और खंडन एक-दूसरे के संगत हैं।
   • $1$ और परवर्ती से आरंभ करके पियानो के पाँच अभिगृहीतों के द्वारा प्राकृत संख्याओं को परिभाषित करना।
   • परवर्ती के ऊपर पुनरावर्ती परिभाषाओं की एक सीढ़ी बनाना: योग, गुणन और घातांकन।
   • आगमन द्वारा क्रमविनिमेयता, साहचर्यता, वितरणशीलता और विलोपन नियम निगमित करना।
   • योग से क्रम प्राप्त करना, त्रिभाजिता, संक्रामकता और एकदिष्टता के साथ, और स्पष्ट करना कि अंतर और भागफल का अस्तित्व कब है।

   1. तुल्यताएँ और खंडन. किसी समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध के वर्ग उस समुच्चय का एक खंडन बनाते हैं, और प्रत्येक खंडन एक अद्वितीय तुल्यता संबंध के वर्गों का समुच्चय है।

      सिद्ध किया गया: समुच्चय, संबंध और फलन.

   2. पियानो के अभिगृहीत. प्राकृत संख्याएँ $1$ से परवर्ती के द्वारा उत्पन्न होती हैं: $1$ किसी की परवर्ती नहीं है, अलग-अलग प्राकृत संख्याओं की परवर्ती अलग-अलग होती हैं, और प्रत्येक समुच्चय जिसमें $1$ और उसके प्रत्येक अवयव की परवर्ती हो, सभी प्राकृत संख्याओं को समाविष्ट करता है।

      सिद्ध किया गया: प्राकृत संख्याएँ और पियानो के अभिगृहीत.

   3. पुनरावर्ती योग. योग, जो $n + 1 = S(n)$ और $n + S(m) = S(n + m)$ से परिभाषित है, क्रमविनिमेय और साहचर्य है और विलोपन नियम का पालन करता है।

      उपयोग करती है: 2. पियानो के अभिगृहीत. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), B (पुनरावर्तन प्रमेय). सिद्ध किया गया: प्राकृत संख्याओं पर बुनियादी संक्रियाएँ और क्रम संबंध.

   4. गुणन और घात. गुणन, जो $n \cdot 1 = n$ और $n \cdot S(m) = n \cdot m + n$ से परिभाषित है, क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरणशील है और विलोपन नियम का पालन करता है, और घात $b^n b^m = b^{n + m}$, $(b^n)^m = b^{nm}$ और $(ab)^n = a^n b^n$ को संतुष्ट करती है।

      उपयोग करती है: 3. पुनरावर्ती योग. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), B (पुनरावर्तन प्रमेय). सिद्ध किया गया: प्राकृत संख्याओं पर बुनियादी संक्रियाएँ और क्रम संबंध.

   5. क्रम, व्यवकलन और भाग. यदि $a < b$ का अर्थ है कि $a + k = b$, किसी प्राकृत संख्या $k$ के लिए, तो दो प्राकृत संख्याओं के बीच संबंधों $a < b$, $a = b$ और $b < a$ में से ठीक एक सत्य होता है, और क्रम संक्रामक है और योग और गुणन में बना रहता है; अंतर $a - b$ का अस्तित्व केवल तब है जब $b < a$, और भागफल $\frac{a}{b}$ का केवल तब जब $b$, $a$ को विभाजित करता है, और दोनों विलोपन नियम से अद्वितीय हैं।

      उपयोग करती है: 2. पियानो के अभिगृहीत, 3. पुनरावर्ती योग, 4. गुणन और घात. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत). सिद्ध किया गया: प्राकृत संख्याओं पर बुनियादी संक्रियाएँ और क्रम संबंध.

2. खंड 2 उपपत्ति के सिद्धांत

   • सिद्ध करना कि साधारण आगमन, प्रबल आगमन और सुक्रम सिद्धांत तुल्य हैं।
   • संकलन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करना और उसके गुण निगमित करना।
   • दूरदर्शी योगों से सूत्र निगमित करना, उन्हें केवल सत्यापित करने के स्थान पर।
   • समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ियों का योग निकालना।

   6. किसी प्राकृत संख्या से आरंभ होने वाला आगमन. जो गुण $n_0$ के लिए सत्य है और प्रत्येक प्राकृत संख्या $k \geq n_0$ से $k + 1$ तक पहुँचता है, वह प्रत्येक प्राकृत संख्या $n \geq n_0$ के लिए सत्य है।

      उपयोग करती है: 5. क्रम, व्यवकलन और भाग. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत). सिद्ध किया गया: योग, श्रेढ़ियाँ और आगमन.

   7. संकलन और दूरदर्शी योग. पुनरावर्ती रूप से परिभाषित संकलन रैखिक है, क्रमागत योगों में विभक्त होता है, और सूचकांक के खिसकाव और क्रम के उलटाव की अनुमति देता है; क्रमागत मानों के अंतरों का योग अंतिम मान घटा प्रथम मान के बराबर है: $\sum_{k=1}^{n} (b_{k + 1} - b_k) = b_{n + 1} - b_1$।

      उपयोग करती है: 4. गुणन और घात, 6. किसी प्राकृत संख्या से आरंभ होने वाला आगमन. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), B (पुनरावर्तन प्रमेय). सिद्ध किया गया: योग, श्रेढ़ियाँ और आगमन.

   8. श्रेढ़ियाँ. किसी समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ है, और प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r \neq 1$ वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी का योग $a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ है।

      उपयोग करती है: 7. संकलन और दूरदर्शी योग. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), G (पहले से प्रयुक्त संख्याएँ). सिद्ध किया गया: योग, श्रेढ़ियाँ और आगमन.

   9. प्रबल आगमन. यदि कोई गुण $1$ के लिए सत्य है और, $1$ से $n$ तक की सभी प्राकृत संख्याओं के लिए उसे सत्य मान लेने पर, $n + 1$ के लिए सत्य होता है, तो वह सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है।

      उपयोग करती है: 6. किसी प्राकृत संख्या से आरंभ होने वाला आगमन. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत). सिद्ध किया गया: योग, श्रेढ़ियाँ और आगमन.

   10. सुक्रम सिद्धांत. प्राकृत संख्याओं के जिस समुच्चय में कम से कम एक अवयव हो, उसका एक सबसे छोटा अवयव होता है; इस प्रमेयिका के साथ कि $1$ से अलग प्रत्येक प्राकृत संख्या किसी संख्या की परवर्ती है, और क्रम के गुणों के साथ, सुक्रम से बदले में आगमन निकलता है, और तीनों सिद्धांत तुल्य सिद्ध होते हैं।

       उपयोग करती है: 5. क्रम, व्यवकलन और भाग. आधार: C (प्रबल आगमन). सिद्ध किया गया: योग, श्रेढ़ियाँ और आगमन.

3. खंड 3 विभाज्यता का अंकगणित

   • सुक्रम से भागफल और शेषफल का अस्तित्व और अद्वितीयता सिद्ध करना।
   • पूर्णांकों को उनके शेषफल के अनुसार वर्गीकृत करना और उस पर विभाज्यता की कसौटियाँ स्थापित करना।
   • अभाज्य संख्याओं की अनंतता, यूक्लिड की प्रमेयिका और गुणनखंडन की अद्वितीयता को, उनके परिणामों के साथ, सिद्ध करना।
   • यूक्लिड कलन-विधि से महत्तम समापवर्तक का परिकलन करना, उससे बेज़ू सर्वसमिका निगमित करना और रैखिक डायोफैंटी समीकरण हल करना।
   • सर्वांगसमताओं से परिकलन करना, यह तय करना कि कौन-से शेषफल व्युत्क्रमणीय हैं, रैखिक सर्वांगसमताओं और सह-अभाज्य मापांकों वाले निकायों को हल करना, और फ़र्मा की लघु प्रमेय सिद्ध करना।

   11. विभाज्यता के गुण. पूर्णांकों के बीच विभाज्यता स्वतुल्य और संक्रामक है, किसी पूर्णांक $a > 0$ का भाजक $-a$ और $a$ के बीच होता है, और यदि $d$, $a$ और $b$ को विभाजित करता है, तो वह प्रत्येक रैखिक संयोजन $ax + by$ को विभाजित करता है।

       उपयोग करती है: 5. क्रम, व्यवकलन और भाग. आधार: G (पहले से प्रयुक्त संख्याएँ). सिद्ध किया गया: विभाज्यता और शेषफल सहित विभाजन.

   12. शेषफल सहित भाग. प्रत्येक पूर्णांक $a$ और प्रत्येक प्राकृत संख्या $b$ के लिए एक अद्वितीय भागफल $q$ और एक अद्वितीय शेषफल $r$ होते हैं जिनके लिए $a = bq + r$ और $0 \leq r < b$।

       आधार: D (सुक्रम), G (पहले से प्रयुक्त संख्याएँ). सिद्ध किया गया: विभाज्यता और शेषफल सहित विभाजन.

   13. शेषफल और कसौटियाँ. दो पूर्णांक $d$ से भाग देने पर समान शेषफल छोड़ते हैं यदि और केवल यदि उनका अंतर $d$ का गुणज है; इससे किसी योगफल, गुणनफल और घात का शेषफल निकलता है, और $3$, $9$ और $11$ की कसौटियाँ।

       आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), E (शेषफल सहित भाग), F (रैखिक संयोजन). सिद्ध किया गया: विभाज्यता और शेषफल सहित विभाजन.

   14. अभाज्य भाजक और अनंतता. प्रत्येक प्राकृत संख्या $n > 1$ का एक अभाज्य भाजक होता है, और यदि $n$ संयुक्त संख्या है, तो उसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक $p$, $p^2 \leq n$ को संतुष्ट करता है; इससे निकलता है कि कोई भी परिमित सूची सभी अभाज्य संख्याओं को समाविष्ट नहीं करती।

       उपयोग करती है: 5. क्रम, व्यवकलन और भाग, 11. विभाज्यता के गुण. आधार: D (सुक्रम), F (रैखिक संयोजन). सिद्ध किया गया: अभाज्य संख्याएँ और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय.

   15. यूक्लिड की प्रमेयिका. यदि कोई अभाज्य संख्या गुणनफल $ab$ को विभाजित करती है, तो वह $a$ को विभाजित करती है या $b$ को; और यदि वह अनेक गुणनखंडों के गुणनफल को विभाजित करती है, तो उनमें से किसी एक को विभाजित करती है।

       आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), D (सुक्रम), E (शेषफल सहित भाग), F (रैखिक संयोजन). सिद्ध किया गया: अभाज्य संख्याएँ और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय.

   16. आधारभूत प्रमेय. प्रत्येक प्राकृत संख्या $n > 1$ अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है, और यह वियोजन गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर अद्वितीय है।

       उपयोग करती है: 4. गुणन और घात, 15. यूक्लिड की प्रमेयिका. आधार: D (सुक्रम). सिद्ध किया गया: अभाज्य संख्याएँ और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय.

   17. भाजक और अपरिमेय मूल. यदि $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$, तो उसके भाजक संख्याएँ $p_1^{f_1} \cdots p_k^{f_k}$ हैं, जहाँ $0 \leq f_i \leq e_i$, और उनकी संख्या $(e_1 + 1) \cdots (e_k + 1)$ है; एक प्राकृत संख्या $n > 1$ पूर्ण $k$-वीं घात है यदि और केवल यदि उसके गुणनखंडन के सभी घातांक $k$ के गुणज हैं, और यदि ऐसा नहीं है, तो ऐसी कोई प्राकृत संख्याएँ $a$ और $b$ नहीं हैं जिनके लिए $a^k = n b^k$, अर्थात् उसका $k$-वाँ मूल अपरिमेय है।

       उपयोग करती है: 15. यूक्लिड की प्रमेयिका, 16. आधारभूत प्रमेय. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), G (पहले से प्रयुक्त संख्याएँ). सिद्ध किया गया: अभाज्य संख्याएँ और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय.

   18. यूक्लिड कलन-विधि. यदि $a = bq + r$, तो युग्मों $a, b$ और $b, r$ के सार्व भाजक समान होते हैं; अतः $\operatorname{HCF}(a, b)$ क्रमिक भागों का अंतिम शून्येतर शेषफल है।

       आधार: D (सुक्रम), E (शेषफल सहित भाग), F (रैखिक संयोजन). सिद्ध किया गया: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य.

   19. बेज़ू सर्वसमिका. ऐसे पूर्णांक $x$ और $y$ होते हैं कि $ax + by = \operatorname{HCF}(a, b)$, और महत्तम समापवर्तक वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो इस रूप में लिखी जाती है।

       उपयोग करती है: 18. यूक्लिड कलन-विधि. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), F (रैखिक संयोजन), G (पहले से प्रयुक्त संख्याएँ). सिद्ध किया गया: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य.

   20. महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल. $\operatorname{HCF}(a, b) \cdot \operatorname{LCM}(a, b) = ab$ सत्य है, और $a$ और $b$ का प्रत्येक सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य का गुणज है।

       उपयोग करती है: 4. गुणन और घात, 16. आधारभूत प्रमेय, 17. भाजक और अपरिमेय मूल. आधार: D (सुक्रम), E (शेषफल सहित भाग), F (रैखिक संयोजन). सिद्ध किया गया: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य.

   21. डायोफैंटी समीकरण. समीकरण $ax + by = c$ के पूर्णांक हल होते हैं यदि और केवल यदि $d = \operatorname{HCF}(a, b)$, $c$ को विभाजित करता है, और तब सभी हल $x = x_0 + \frac{b}{d} t$ और $y = y_0 - \frac{a}{d} t$ हैं, जहाँ $t$ पूर्णांक है।

       उपयोग करती है: 19. बेज़ू सर्वसमिका, 20. महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल. आधार: F (रैखिक संयोजन), G (पहले से प्रयुक्त संख्याएँ). सिद्ध किया गया: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य.

   22. सर्वांगसमताएँ और शेषफल. दो पूर्णांक मापांक $n$ के सापेक्ष सर्वांगसम होते हैं यदि और केवल यदि वे $n$ से भाग देने पर समान शेषफल छोड़ते हैं; सर्वांगसमता योग और गुणन के अनुकूल एक तुल्यता संबंध है, और उसके $n$ वर्ग, शेषफलों $0, 1, \ldots, n - 1$ के वर्ग, $\mathbb{Z}_n$ बनाते हैं।

       उपयोग करती है: 1. तुल्यताएँ और खंडन, 13. शेषफल और कसौटियाँ. आधार: E (शेषफल सहित भाग), F (रैखिक संयोजन). सिद्ध किया गया: सर्वांगसमताएँ और मॉड्यूलर अंकगणित.

   23. व्युत्क्रमणीय शेषफल. किसी पूर्णांक $a$ का मापांक $n$ के सापेक्ष व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि $\operatorname{HCF}(a, n) = 1$, और तब वह मापांक $n$ के सापेक्ष अद्वितीय है; सर्वांगसमता $ax \equiv b \pmod{n}$ का हल होता है यदि और केवल यदि $d = \operatorname{HCF}(a, n)$, $b$ को विभाजित करता है, और तब उसके $d$ हल होते हैं, मापांक $n$ के सापेक्ष।

       उपयोग करती है: 22. सर्वांगसमताएँ और शेषफल, 19. बेज़ू सर्वसमिका, 21. डायोफैंटी समीकरण. आधार: F (रैखिक संयोजन). सिद्ध किया गया: सर्वांगसमताएँ और मॉड्यूलर अंकगणित.

   24. चीनी शेषफल प्रमेय. यदि प्राकृत संख्याएँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं, तो $x \equiv a \pmod{m}$ और $x \equiv b \pmod{n}$ से बने निकाय का हल होता है, और वह मापांक $mn$ के सापेक्ष अद्वितीय है।

       उपयोग करती है: 22. सर्वांगसमताएँ और शेषफल, 19. बेज़ू सर्वसमिका, 20. महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल. आधार: G (पहले से प्रयुक्त संख्याएँ). सिद्ध किया गया: सर्वांगसमताएँ और मॉड्यूलर अंकगणित.

   25. फ़र्मा की लघु प्रमेय. यदि $p$ अभाज्य है और पूर्णांक $a$ को विभाजित नहीं करता, तो $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$; और प्रत्येक पूर्णांक $a$ के लिए, $a^p \equiv a \pmod{p}$।

       उपयोग करती है: 22. सर्वांगसमताएँ और शेषफल, 15. यूक्लिड की प्रमेयिका, 23. व्युत्क्रमणीय शेषफल. सिद्ध किया गया: सर्वांगसमताएँ और मॉड्यूलर अंकगणित.

4. खंड 4 लेखन और गिनती

   • सिद्ध करना कि प्रत्येक प्राकृत संख्या किसी भी आधार में एक ही प्रकार से लिखी जाती है।
   • हर आधार में स्तंभवार योग और विभाज्यता की कसौटियों का औचित्य सिद्ध करना।
   • योग और गुणन के सिद्धांतों से गिनना, और उनसे द्विपद गुणांक और पास्कल नियम प्राप्त करना।
   • द्विपद प्रमेय सिद्ध करना, जो आगमन, संकलन संकेतन और गिनती को एक साथ लाती है।

   26. स्थानीय मान निरूपण. प्रत्येक आधार $b \geq 2$ के लिए, प्रत्येक प्राकृत संख्या एक ही प्रकार से $a_k b^k + \cdots + a_1 b + a_0$ के रूप में लिखी जाती है, जहाँ अंक $0$ और $b - 1$ के बीच हैं और $a_k \neq 0$।

       आधार: C (प्रबल आगमन), D (सुक्रम), E (शेषफल सहित भाग). सिद्ध किया गया: स्थानीय मान पर आधारित संख्यांकन पद्धतियाँ.

   27. हर आधार में गणना और कसौटियाँ. स्तंभवार योग योगफल का निरूपण देता है, और आधार $b$ में कोई संख्या $b - 1$ से भाग देने पर वही शेषफल छोड़ती है जो उसके अंकों का योग, और $b + 1$ से भाग देने पर वही जो उसका एकांतर योग।

       उपयोग करती है: 7. संकलन और दूरदर्शी योग, 13. शेषफल और कसौटियाँ, 26. स्थानीय मान निरूपण. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), E (शेषफल सहित भाग). सिद्ध किया गया: स्थानीय मान पर आधारित संख्यांकन पद्धतियाँ.

   28. गिनती के सिद्धांत. बिना सार्व अवयवों वाले दो समुच्चयों का सम्मिलन, जिनमें $m$ और $n$ अवयव हैं, $m + n$ अवयवों वाला होता है, और दो अवस्थाओं वाला चयन, जिनमें $m$ और $n$ तरीके हैं, $mn$ तरीकों से होता है।

       उपयोग करती है: 3. पुनरावर्ती योग, 4. गुणन और घात, 5. क्रम, व्यवकलन और भाग. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), H (अवयवों की संख्या). सिद्ध किया गया: प्रारंभिक संचय-सिद्धांत और न्यूटन का द्विपद प्रमेय.

   29. द्विपद गुणांक और पास्कल नियम. $n$ अवयवों वाले समुच्चय के $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ उपसमुच्चय होते हैं जिनमें $k$ अवयव हों; $\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k}$ सत्य है, जिससे गुणांक पास्कल त्रिभुज बनाते हैं, और पंक्ति $n$ का योग $2^n$ है।

       उपयोग करती है: 28. गिनती के सिद्धांत. आधार: B (पुनरावर्तन प्रमेय), H (अवयवों की संख्या). सिद्ध किया गया: प्रारंभिक संचय-सिद्धांत और न्यूटन का द्विपद प्रमेय.

   30. द्विपद प्रमेय. सभी संख्याओं $x$ और $y$ के लिए, प्राकृत या, अगली इकाई का पूर्वानुमान करते हुए, वास्तविक, और प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ के लिए, $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ सत्य है।

       उपयोग करती है: 7. संकलन और दूरदर्शी योग, 29. द्विपद गुणांक और पास्कल नियम. आधार: A (गणितीय आगमन का सिद्धांत), G (पहले से प्रयुक्त संख्याएँ). सिद्ध किया गया: प्रारंभिक संचय-सिद्धांत और न्यूटन का द्विपद प्रमेय.

संख्या समुच्चयों की ओर. शृंखला वहाँ रुकती है जहाँ प्राकृत संख्याएँ पर्याप्त नहीं रहतीं: व्यवकलन और भाग का अस्तित्व केवल कुछ स्थितियों में है, और समीकरण $x^2 = n$ का कोई परिमेय हल नहीं है जब $n$ पूर्ण वर्ग नहीं है। अगली इकाई इसके निवारण के लिए प्राकृत संख्याओं का विस्तार करती है।