परिमेय संख्याएँ: भिन्न और उनकी संक्रियाएँ

भिन्न और उनकी तुल्यता

संख्या समुच्चयों वाले पाठ में परिमेय संख्याओं को शून्येतर हर वाली पूर्णांकों की भिन्नों के रूप में प्रस्तुत किया गया था, और यह चेताया गया था कि भिन्न को भाग के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता, क्योंकि भाग ठीक वही है जिसकी पूर्णांक अनुमति नहीं देते। यह पाठ वह रचना पूरी करता है जिसकी घोषणा वहाँ की गई थी। इसका आरंभ-बिंदु पूर्णांकों वाले पाठ के पूर्णांक हैं, उनके योग, उनके गुणनफल, उनके क्रम और एक ऐसे गुण के साथ जिसका उपयोग बार-बार होगा: दो शून्येतर पूर्णांकों का गुणनफल शून्य नहीं होता। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक शून्येतर गुणनखंड का विलोपन किया जा सकता है, क्योंकि यदि $ab = ac$ हो और $a \neq 0$ हो, तो $a(b - c) = 0$, और इसलिए $b - c = 0$।

परिभाषा (भिन्न)। भिन्न पूर्णांकों का एक क्रमित युग्म $(p, q)$ है, जिसमें $q \neq 0$ हो, और इसे $\frac{p}{q}$ लिखा जाता है; पूर्णांक $p$ इसका अंश है और $q$ इसका हर। कहा जाता है कि $\frac{p}{q}$ और $\frac{r}{s}$ तुल्य भिन्न हैं जब उनके तिर्यक गुणनफल बराबर हों, अर्थात् जब $ps = qr$।

इस प्रकार, $\frac{2}{3}$ और $\frac{4}{6}$ तुल्य हैं, क्योंकि $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, जबकि $\frac{2}{3}$ और $\frac{3}{4}$ तुल्य नहीं हैं, क्योंकि $2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$। यह परिभाषा मनमानी नहीं है। यदि भिन्नों को भागफल होना है, तो समता $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ को, दोनों पक्षों को $qs$ से गुणा करने पर, समता $ps = qr$ के तुल्य होना चाहिए; परिभाषा इसी परिणाम को आरंभ-बिंदु बनाती है, जिसमें केवल पूर्णांकों के गुणनफल हैं और इसलिए जिसका अर्थ भाग के अस्तित्व से पहले भी है। परंतु, तुल्यता समता का स्थान ले सके, इसके लिए उसे समता की तरह व्यवहार करना होगा: उसे समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ के अर्थ में एक तुल्यता संबंध होना चाहिए।

यदि ऐसा है, तो भिन्नों की तुल्यता पर समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ के सामान्य परिणाम लागू होते हैं, जिन्हें दोहराने की आवश्यकता नहीं: तुल्यताओं और खंडनों संबंधी प्रमेय के अनुसार, तुल्य भिन्नों के वर्ग भिन्नों के समुच्चय का एक खंडन बनाते हैं, जिससे प्रत्येक भिन्न केवल एक वर्ग में होती है और दो अलग-अलग वर्गों में कोई भी भिन्न उभयनिष्ठ नहीं होती। प्रत्येक वर्ग एक संख्या है।

परिभाषा (परिमेय संख्या)। परिमेय संख्या किसी भिन्न का तुल्यता वर्ग है, अर्थात् उसके तुल्य सभी भिन्नों का समुच्चय, और उनमें से कोई भी भिन्न उसे निरूपित करती है; समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ के संकेतन में, $\frac{p}{q}$ द्वारा निरूपित परिमेय संख्या वर्ग $C\left( \frac{p}{q} \right)$ है, और यहाँ उसे सीधे $\frac{p}{q}$ लिखा जाता है। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को, जो भिन्नों का उनकी तुल्यता के सापेक्ष भागफल समुच्चय है, $\mathbb{Q}$ से निरूपित किया जाता है। $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ तब लिखा जाता है जब दोनों भिन्न एक ही परिमेय संख्या को निरूपित करती हैं, अर्थात् जब वे तुल्य हों, जैसा कि वहाँ सिद्ध की गई तुल्यता वर्गों संबंधी प्रमेयिका कहती है।

प्रत्येक पूर्णांक $p$ को उस परिमेय संख्या के साथ एक माना जाता है जिसे $\frac{p}{1}$ निरूपित करती है। यह पहचान अलग-अलग पूर्णांकों को आपस में नहीं मिलाती, क्योंकि $\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$, $p \cdot 1 = 1 \cdot r$ के तुल्य है, अर्थात् $p = r$ के; इस अर्थ में, $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$। आगे पुष्टि की जाएगी कि परिमेय संख्याओं की संक्रियाएँ, पूर्णांकों पर लागू होने पर, सामान्य संक्रियाएँ ही देती हैं। संख्या बदले बिना भिन्न बदलने के लिए सबसे अधिक प्रयुक्त व्यावहारिक नियम निम्नलिखित है।