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Topos Uranos
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Vectores en el plano y ecuaciones paramétricas de la recta

Resumen

Esta clase introduce los vectores del plano, que representan desplazamientos, como pares ordenados de números reales, y define su suma, su producto por un número, su norma y su producto punto, con sus propiedades. Del producto punto se deducen la condición de perpendicularidad, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la desigualdad triangular, la proyección ortogonal y la clasificación de los ángulos en agudos, rectos y obtusos. Con los vectores se escribe la recta en forma vectorial y paramétrica, se obtienen su vector normal y la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se cortan rectas dadas por parámetros, se dividen segmentos en una razón dada y se describe el movimiento uniforme; los problemas aplican estas herramientas a demostraciones geométricas, a la reflexión en un espejo y al acercamiento de dos móviles.

Objetivos de aprendizaje

  1. Operar con vectores del plano, por componentes y geométricamente, y expresar un vector como combinación lineal de otros dos.
  2. Calcular normas y productos punto, y usarlos para reconocer vectores perpendiculares, clasificar ángulos y proyectar un vector sobre otro.
  3. Escribir una recta en forma vectorial, paramétrica y general, pasar de una forma a otra, y calcular con vectores intersecciones, distancias y puntos que dividen un segmento.
  4. Demostrar propiedades geométricas mediante vectores y modelar con rectas paramétricas el movimiento uniforme.

Vectores en el plano

En la clase sobre la ecuación de la recta cada punto del plano se identificó con el par de sus coordenadas. Muchas magnitudes, sin embargo, no se describen con un punto sino con un desplazamiento: avanzar tres unidades hacia la derecha y dos hacia arriba es la misma instrucción cualquiera que sea el punto de partida. Lo mismo ocurre con la velocidad o con la fuerza, que tienen una intensidad, una dirección y un sentido, y que se estudian en el curso de fundamentos de mecánica. Un desplazamiento se dibuja como una flecha, y queda determinado por dos números: el avance horizontal y el avance vertical. Si esto es así, la definición natural es la siguiente.

Un vector del plano es un par ordenado de números reales, u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right); los números u1u_1 y u2u_2 son sus componentes. El vector que va del punto P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) al punto Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2) es el par de las diferencias de sus coordenadas, y se escribe PQ⃗\vec{PQ}; la flecha de origen PP y extremo QQ lo representa.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

Un mismo vector tiene infinitas representaciones: dos flechas representan el mismo vector cuando producen el mismo avance horizontal y el mismo avance vertical, es decir, cuando una se obtiene de la otra por una traslación. Entre todas ellas hay una sola que parte del origen OO, la flecha que termina en el punto (u1,u2)(u_1, u_2). De ello se sigue que OP⃗\vec{OP}, llamado vector de posición de PP, tiene por componentes las coordenadas de PP. En lo que sigue se escribe P+u⃗P + \vec{u} para el punto al que se llega desde PP con el desplazamiento u⃗\vec{u}, es decir, el extremo de la flecha que representa a u⃗\vec{u} con origen en PP. El vector nulo 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) corresponde a no moverse, y el opuesto de u⃗\vec{u} es −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right), el desplazamiento contrario; así, QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}.

LemaVectores iguales y paralelogramos

Sean PP, QQ, RR y SS puntos del plano. Las igualdades PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} y PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} son equivalentes, y ambas equivalen a que los segmentos PSPS y QRQR tengan el mismo punto medio. Si los cuatro puntos no están alineados, PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} si y solo si el cuadrilátero de vértices PP, QQ, SS y RR, en ese orden, es un paralelogramo.

Las tres equivalencias se reducen a reordenar una igualdad entre números, coordenada a coordenada; la última se apoya en el teorema de la intersección de dos rectas de la clase sobre la recta. Llamamos p1p_1, q1q_1, r1r_1 y s1s_1 a las abscisas de los cuatro puntos.

Demostración

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    La igualdad de las primeras componentes de PQ⃗\vec{PQ} y de RS⃗\vec{RS} equivale, sumando r1−q1r_1 - q_1 a ambos miembros, a la igualdad de las primeras componentes de PR⃗\vec{PR} y de QS⃗\vec{QS}. En la figura, P=(1,0)P = (1, 0), Q=(5,1)Q = (5, 1), R=(2,3)R = (2, 3) y S=(6,4)S = (6, 4).

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    La misma igualdad equivale, sumando p1p_1 y r1r_1 a ambos miembros y dividiendo entre 22, a que los puntos medios de PSPS y de QRQR tengan la misma abscisa. Con las ordenadas se razona igual; por tanto, las tres afirmaciones son equivalentes.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    Supongamos ahora que los cuatro puntos no están alineados y que PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}. Las rectas PQPQ y RSRS tienen la misma dirección: la misma pendiente, el cociente de las componentes de ese vector, o son ambas verticales si su primera componente es nula. Son distintas, porque si coincidieran los cuatro puntos estarían alineados; por el teorema de la intersección de dos rectas, son paralelas.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    Por la primera parte, también PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}, y el mismo argumento muestra que los lados PRPR y QSQS son paralelos. Los lados opuestos del cuadrilátero PQSRPQSR son paralelos dos a dos: es un paralelogramo.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    Recíprocamente, sea PQSRPQSR un paralelogramo y sea S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}. Por lo ya demostrado, aplicado a los puntos PP, QQ, RR y S1S_1, el punto S1S_1 está en la paralela a PQPQ trazada por RR y en la paralela a PRPR trazada por QQ.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    Esas dos paralelas no son paralelas entre sí, porque PP, QQ y RR no están alineados, y se cortan en un único punto. Como el vértice SS del paralelogramo también está en ambas, coincide con S1S_1.

EjemploEl vector que va de un punto a otro

Calcular el vector que va de P=(1,1)P = (1, 1) a Q=(4,3)Q = (4, 3), trasladarlo al punto R=(−2,2)R = (-2, 2) y al origen, y compararlo con el vector que va de QQ a PP.

Demostración

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    Restamos las coordenadas del origen de la flecha de las de su extremo: el desplazamiento es de 33 unidades hacia la derecha y 22 hacia arriba.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    Con origen en RR, el mismo desplazamiento lleva al punto SS.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    Por el lema, también son iguales PR⃗\vec{PR} y QS⃗\vec{QS}, y los puntos PP, QQ, SS y RR son los vértices de un paralelogramo.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    Con origen en OO, la flecha termina en el punto AA cuyas coordenadas son las componentes del vector: PQ⃗\vec{PQ} es el vector de posición de AA.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    La flecha que va de QQ a PP recorre el mismo segmento en sentido contrario: representa al vector opuesto.

La suma de vectores y el producto por un número

La suma de los vectores u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) y v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) es u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right), y el producto del número real tt por u⃗\vec{u} es tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right). La diferencia de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} es u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right).

La suma corresponde a encadenar desplazamientos: si se recorre u⃗\vec{u} y a continuación v⃗\vec{v}, el avance horizontal total es u1+v1u_1 + v_1 y el vertical, u2+v2u_2 + v_2. En términos de puntos, para tres puntos cualesquiera AA, BB y CC se cumple la relación de Chasles, porque las diferencias de coordenadas se encadenan: (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1, y lo mismo con las ordenadas.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

De ello se siguen dos construcciones de la suma: la regla del triángulo, que coloca el origen de v⃗\vec{v} en el extremo de u⃗\vec{u}, y la regla del paralelogramo, que dibuja ambos vectores con el mismo origen y toma la diagonal del paralelogramo que determinan. En particular, PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}: todo vector entre dos puntos es la diferencia de sus vectores de posición. El producto tu⃗t \vec{u}, por su parte, multiplica ambos avances por tt: si t>0t > 0, conserva la dirección y el sentido de u⃗\vec{u}; si t<0t < 0, conserva la dirección e invierte el sentido; y, como se verá con la norma, multiplica la longitud por ∣t∣\abs{t}.

EjemploLa suma, la diferencia y la regla del paralelogramo

Sean u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right) y v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right). Construir u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} por la regla del triángulo y por la del paralelogramo, y construir u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Demostración

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    Dibujamos ambos vectores con origen en OO.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    Regla del triángulo: con origen en el extremo de u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} lleva al punto (5,4)(5, 4); la suma se calcula componente a componente.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    Regla del paralelogramo: si se recorre primero v⃗\vec{v} y después u⃗\vec{u}, se llega al mismo punto. La suma es la diagonal del paralelogramo de lados u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} que parte de OO.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    El opuesto de v⃗\vec{v} es su producto por −1-1: tiene la misma longitud y el sentido contrario.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    La diferencia es la suma de u⃗\vec{u} y −v⃗-\vec{v}. Trasladada, es la flecha que va del extremo de v⃗\vec{v} al extremo de u⃗\vec{u}: la otra diagonal del paralelogramo.

Las dos operaciones heredan de los números reales las propiedades siguientes, válidas para todos los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} y todos los reales ss y tt:

  1. Conmutatividad de la suma: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. Asociatividad de la suma: (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. Elemento neutro: u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. Elemento opuesto: u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. Asociatividad del producto: s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. Unidad: 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. Distributividad respecto de la suma de vectores: t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. Distributividad respecto de la suma de números: (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
TeoremaPropiedades de las operaciones con vectores

Para todos los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} del plano y todos los reales ss y tt se cumplen las ocho propiedades de la lista anterior.

Las dos operaciones actúan componente a componente, de modo que cada propiedad se reduce a la propiedad correspondiente de los números reales, aplicada en cada componente. Basta escribir la primera componente, porque la segunda es idéntica con el subíndice 22.

Demostración

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    Conmutatividad y asociatividad: se heredan de las de la suma de números reales.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    Neutro y opuesto: el 00 es neutro de la suma y −u1-u_1 es el opuesto de u1u_1.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    Asociatividad del producto y unidad: el producto de reales es asociativo y tiene al 11 por neutro.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    Las dos distributividades: el producto de reales es distributivo respecto de la suma.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    Dos vectores son iguales si y solo si lo son sus dos componentes; por tanto, las ocho igualdades valen entre vectores. Por ejemplo, la primera.

Estas ocho propiedades son los axiomas de espacio vectorial: todo conjunto cuyos elementos se suman entre sí y se multiplican por números reales cumpliendo esas ocho reglas se llama espacio vectorial, y todo lo que se deduzca de ellas sin usar componentes valdrá en cualquiera de ellos. Los polinomios de la clase sobre el álgebra de polinomios, con su suma y su producto por un número, forman otro espacio vectorial.

Combinaciones lineales y vectores paralelos

Una combinación lineal de los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} es un vector de la forma su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v}, con ss y tt reales. Los vectores e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) y e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right), que avanzan una unidad en la dirección de cada eje, permiten escribir todo vector como combinación de ellos, y de una sola manera, porque ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) es igual a u⃗\vec{u} solo si a=u1a = u_1 y b=u2b = u_2. Por eso se llaman la base canónica del plano:

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

Dos vectores no nulos u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son paralelos cuando uno es múltiplo del otro, es decir, cuando v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} para algún real tt, que no puede ser nulo; tienen el mismo sentido si t>0t > 0 y sentidos contrarios si t<0t < 0. Las flechas que los representan con un mismo origen están entonces sobre una misma recta.

LemaCriterio de paralelismo

Dos vectores no nulos u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son paralelos si y solo si u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.

Una implicación es un cálculo; para la otra hay que fabricar el número tt con v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, dividiendo entre una componente no nula de u⃗\vec{u}.

Demostración

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    Si v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, las componentes de v⃗\vec{v} son tu1t u_1 y tu2t u_2, y la expresión se anula. En la figura, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) y v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    Recíprocamente, supongamos que la expresión se anula, y supongamos primero u1≠0u_1 \neq 0. Definimos tt como el cociente de las primeras componentes, de modo que la primera componente de v⃗\vec{v} es tu1t u_1. En la figura, t=62=3t = \frac{6}{2} = 3.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    Despejamos v2v_2 en la hipótesis: también la segunda componente es tu2t u_2, y por tanto v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. En la figura, 3=3⋅13 = 3 \cdot 1.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    Si u1=0u_1 = 0, entonces u2≠0u_2 \neq 0, porque u⃗\vec{u} no es nulo; la hipótesis da u2v1=0u_2 v_1 = 0, de donde v1=0v_1 = 0, y con el cociente de las segundas componentes resulta v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. En la figura, u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) y v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right), con t=−32t = -\frac{3}{2}.

El número u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 es el determinante de la clase sobre los sistemas lineales, y el lema siguiente explica el motivo.

LemaCombinaciones de dos vectores no paralelos

Si u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son vectores no nulos y no paralelos, todo w⃗\vec{w} es combinación lineal de ellos de una única manera: existen números ss y tt, y solo un par, tales que w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}.

La igualdad buscada, escrita por componentes, es un sistema de dos ecuaciones lineales con las incógnitas ss y tt, y basta aplicarle la regla de Cramer.

Demostración

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    Escribimos la igualdad su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} componente a componente. En la figura, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right), v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) y w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right).

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    El determinante del sistema no es nulo, por el criterio de paralelismo, porque los vectores no son paralelos. En la figura, 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    Por la regla de Cramer, el sistema tiene exactamente una solución, dada por los cocientes siguientes. En la figura, s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 y t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2, y en efecto w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    En particular, si dos combinaciones de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son iguales, ambas son la solución del sistema con el mismo w⃗\vec{w}, y sus coeficientes coinciden. Esta comparación de coeficientes es la herramienta de varias demostraciones de la clase.